卷06——【上海专用】2023年高考数学模拟卷（原卷版+解析版）

【赢在高考·黄金8卷】备战2023年高考数学模拟卷（上海卷专用）

黄金卷06

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．

3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

4．测试范围：高考全部内容

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、填空题：本大题共12小题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12每题5分．

1．复数________.

【答案】

【详解】由题意可知，为等比数列的前项和，且该数列的首项为，公比为，所以，.

故答案为.

2．曲线在点处的切线方程为__________.

【答案】

【详解】依题意，，，

所以曲线在点处的切线方程为，即.

故答案为：

3．数据的分位数是__________.

【答案】

【详解】由，得分位数是.

故答案为：.

4．已知，平面向量，．若，则实数的取值范围是______．

【答案】

【详解】由，，，得，

因为，所以，当且仅当时取等号，

所以实数的取值范围是．

故答案为：．

5．若展开式的二项式系数和为32，则展开式中的常数项为______．（用数字作答）

【答案】40

【详解】因为二项式系数和，

因此，

又，

令，常数项为.

故答案为：40.

6．已知为定义在R上的偶函数，当时，函数单调递减，且，则的解集为______．

【答案】

【详解】由题意知函数在上单调递增且为偶函数，由得，作出的图象并向左平移一个单位，所以 ，或 ．故的解集为．

故答案为：

7．若直线与曲线有两个公共点，则实数b的取值范围为______.

【答案】

【详解】解：如图所示：

当直线与曲线相切时，

圆心到直线的距离等于半径，

即，解得，

因为直线与曲线有两个公共点，

所以实数b的取值范围为，

故答案为：.

8．若函数的定义域和值域分别为和，则满足的函数概率是______．

【答案】

【详解】因函数的定义域和值域分别为和，则函数有6个，它们是：

；；；

；；，

满足的函数有2个数，它们是或，

因此满足的函数有4个，所以满足的函数概率是.

故答案为：

9．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式.在中，设分别为的内角的对边，S表示的面积，其公式为.若，，，则______.

【答案】1或

【详解】在中，由正弦定理得,

而，故，结合可得,

即有，

由，可得，

整理得，解得或，

故或，符合题意，

故答案为：1或

10．反比例函数的图象是双曲线（其渐近线分别为轴和轴）；同样的，“对勾函数”的图象也是双曲线.设，则此“对勾函数”所对应的双曲线的焦距为__________.

【答案】

【详解】由题可得双曲线为，所以渐近线为及，渐近线夹角为,则

所以，焦点所在的直线方程为，

由,得解得或

此时，则

所以，则焦距为.

故答案为：.

11．某数学兴趣小组的学生开展数学活动，将图①所示的三块直角三角板进行拼接､旋转等变化，进而研究体积与角的问题，其中，，直角三角板与始终全等（假设直角三角板与的另两边的大小可变化）.现将直角三角板与放在平面内拼接，直角三角板的直角边也放在平面内，并使与重合，将直角三角板绕着旋转，使点在平面内的射影始终与点重合于点，如图②，则当四棱锥的体积最大时，直角三角板的内角的余弦值为__________.

【答案】##

【详解】由题意可知平面，设.因为，

所以.又，

所以，

，

当且仅当，即时，等号成立，

此时，

所以.

故答案为：.

12．“外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”．例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项为111221，…，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项．则对于外观数列，下列说法正确的有______．

①若，则从开始出现数字2；

②若（，2，3，…，9），则的最后一个数字均为k；

③不可能为等差数列或等比数列；

④若，则均不包含数字4．

【答案】②④

【详解】对①，，①错；

对②，由外观数列的定义，每次都是从左到右描述，故一开始的k（，2，3，…，9）始终在最右边，即最后一个数字，②对；

对③，取，则，此时既为等差数列，也为等比数列，③错；

对④，，

设数列首次出现数字4，则必出现了4个连续的相同数字m（，2，3，…，9），

而的描述必包含“1个m，1个m”，与的描述矛盾，故均不包含数字4，④对.

故选：②④

二、选择题：本大题共4小题，满分18分，第13~14每题4分，第15~16每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

13．“”是“，成立”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】因为，成立，则，即.

所以，“”是“，成立”的充分不必要条件.

故选：A.

14．古希腊大哲学家芝诺提出一个有名的悖论，其大意是：“阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄，在他和乌龟的赛跑中，他的速度是乌龟速度的10倍，乌龟在他前面100米爬行，他在后面追，但他不可能追上乌龟，原因是在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追了100米时，乌龟已在他前面爬行了10米，而当他追到乌龟爬行的10米时，乌龟又向前爬行了1米，就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，只要乌龟不停地向前爬行，阿喀琉斯就永远追不上乌龟．“试问在阿喀琉斯与乌龟的竞赛中，当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，乌龟共爬行了（    ）

A．11.1米 B．10.1米 C．11.11米 D．11米

【答案】C

【详解】依题意，乌龟爬行的距离依次排成一列构成等比数列，，公比，，

所以当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，乌龟共爬行的距离.

故选：C

15．若函数在区间上的最大值为，则常数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】，

当时，，

则函数的最大值为，解得.

故选：C.

16．在棱长为2的正方体中，M为中点，N为四边形内一点（含边界），若平面，则下列结论正确的是（    ）

A． B．三棱锥的体积为

C．线段最小值为 D．的取值范围为

【答案】D

【分析】根据题意取中点，连接，， ，结合图形对选项逐一判断，即可得到结果.

【详解】

取中点，连接，， ，则有平面平面，

∴平面，即在线段上.

当在时夹角为45°，故A错；

.故B错.

线段的最小值为等腰三角形腰上的高，，故C错.

因为，.

当为点时最大，的最小.

此时为最小，当最小值为直角三角形斜边的高，即，此时为最大，故D正确.

故选:D

三、解答题：本大题共有5题，满分78分．

17．（14分）已知函数.

(1)求 在点处的切线方程;

(2)求证：当时，.

【答案】(1)；(2)证明见解析

【详解】（1）解：由题知，，，

所以，切点为，斜率为，

所以，所求切线为.

（2）证明：，即

令，则

令，，则在恒成立，

所以，在上单调递增，有，

所以，在恒成立，即在上单调递增，

所以，，即，

综上，当时，.

18．（14分）已知数列的前n项和为，且．

(1)证明：数列是等差数列；

(2)设数列的前n项积为，若，求数列的通项公式．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【详解】（1）当时，

当n≥2时，，所以，

所以（常数），

故数列是以为首项，2为公差的等差数列．

（2）由（1）知，，得，

当n≥2时，，

当时，，不符合上式，

故．

19．（14分）2022年9月20日是第34个“全国爱牙日”，宣传主题是“口腔健康，全身健康”．要想口腔健康，良好的刷牙习惯不可少，牙刷的质量也是至关重要的，与手动牙刷相比较，电动牙刷的清洁力更高，刷牙效果更好．某医生计划购买某种品牌的电动牙刷，预计使用寿命为5年，该电动牙刷的刷头在使用过程中需要更换．若购买该品牌电动牙刷的同时购买刷头，则每个刷头20元；若单独购买刷头，则每个刷头30元．某经销商随机调查了使用该品牌电动牙刷的100名医生在5年使用期内更换刷头的个数，得到下表：

用（）表示1个该品牌电动牙刷在5年使用期内需更换刷头的个数，表示购买刷头的费用（单位：元）．

(1)求这100名医生在5年使用期内更换刷头的个数的中位数；

(2)若购买1个该品牌电动牙刷的同时购买了18个刷头，求关于的函数解析式；

(3)假设这100名医生购买1个该品牌电动牙刷的同时都购买了17个刷头或18个刷头，分别计算这100名医生购买刷头费用的平均数，以此作为决策依据，判断购买1个该品牌电动牙刷的同时应购买17个刷头还是18个刷头．

【答案】(1)17.5

(2)

(3)应购买17个刷头

【详解】（1）由题可知，所以这100名医生在5年使用期内更换刷头的个数的中位数为．

（2）若购买该品牌电动牙刷的同时购买刷头，则每个刷头20元；若单独购买刷头，则每个刷头30元，

则当时，，当时，，

所以关于的函数解析式为．

（3）若100名医生购买1个该品牌电动牙刷的同时都购买了17个刷头，则其中有50名医生购买刷头的费用均为340元，

28名医生购买刷头的费用均为370元，12名医生购买刷头的费用均为400元，10名医生购买刷头的费用均为430元，

因此这100名医生购买刷头的费用的平均数为（元）．

若这100名医生购买1个该品牌电动牙刷的同时都购买了18个刷头，则其中有78名医生购买刷头的费用均为360元，

12名医生购买刷头的费用均为390元，10名医生购买刷头的费用均为420元，

因此这100名医生购买刷头的费用的平均数为（元）．

因为364.6<369.6，所以购买1个该品牌电动牙刷的同时应购买17个刷头．

20．（16分）已知椭圆的焦距为，离心率为，直线与交于不同的两点.

(1)求的方程；

(2)设点，直线与分别交于点.

①判段直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点.请说明理由：

②记直线的倾斜角分别为，当取得最大值时，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)①过定点，定点，②

【详解】（1）由题意得，解得，所以，

所以的方程为.

（2）①由题意得整理得，设，

，直线的方程为，

代入整理得，，

设，则，所以，

，即，同理.

，

所以直线的方程为，即，所以直线过定点.

②因为，所以与正负相同，且，所以，

当取得最大值时，取得最大值.

由时，；

所以当且仅当时等号成立，取得最大值，取得最大值，

此时直线的方程为.

21.（18分）对于定义域为的函数，区间。若满足条件：使在区间上的值域为，则把称为上的闭函数.若满足条件：存在一个常数，对于任意，如果，那么，则把称为上的压缩函数.

(1)已知函数是区间上的压缩函数，请写出一个满足条件的区间，并给出证明；

(2)给定常数，以及关于的函数，是否存在实数，，使是区间上的闭函数，若存在，请求出a，b的值，若不存在，请说明理由；

(3)函数是区间上的闭函数，且是上的压缩函数，求满足题意的函数在上的一个解析式.

【答案】(1)（答案不唯一，符合题意即可），证明见详解

(2)不存在，理由见详解

(3)（答案不唯一，符合题意即可），证明见详解

【详解】（1）设，则函数是区间上单调递增，

不妨设任意，令，则，故，

则，

∵，则，

∴，则，

故函数是区间上的压缩函数.

（2）不存在，理由如下：

假定存在实数，，使是区间上的闭函数，

函数的定义域为，值域为，且函数的零点为，则或，

当时，则在区间上单调递减，

则可得，整理得，两式相减得，不合题意，舍去；

当时，则在区间上单调递增，则可得，

即有两个零点，则，

故函数在区间上有两个零点，则必须满足，解得，

若，

∵函数的对称轴为，则函数必有一个零点小于，

故函数在区间上至多只有一个零点，不合题意，舍去；

综上所述：不存在实数，，使是区间上的闭函数.

（3）若，则函数在区间上单调递增，且，

则函数在区间上的值域为，故函数是区间上的闭函数；

不妨设任意，令，

则，即，

则函数是上的压缩函数；

综上所述：函数是区间上的闭函数，且是上的压缩函数.