广西壮族自治区柳州市2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题 含解析

这是一份广西壮族自治区柳州市2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题 含解析，共27页。试卷主要包含了 已知命题 ，命题 ，则， 下列四个式子中，计算正确的是等内容，欢迎下载使用。
满分 150 分 考试时间：120 分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1. 下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用整数有理数的定义可判断 A,B 选项；利用集合的定义及集合的特性可判断 C,D 选项.
【详解】对于选项 A：Z 为正整数，显然 A 不正确；
对于选项 B：Q 为有理数，但 为无理数，故 B 不正确；
对于选项 C：利用集合元素的互异性即可判断，C 正确；
对于选项 D： 表示集合里只有一个元素 ，而 表示集合里的两个元素 ，两个集合不存
在包含关系，故 D 不正确.
故选：C
2. 已知 ， ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
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【解析】
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出 、 、 的大小关系.
【详解】因为指数函数 为 上的增函数，则 ，
指数函数 为 上 减函数，则 ，
对数函数 在 上为增函数，则 ，
因此， .
故选：A.
3. 函数 是（ ）
A. 最小正周期为 的奇函数
B. 最小正周期为 的偶函数
C. 最小正周期为 的奇函数
D. 最小正周期为 的偶函数
【答案】B
【解析】
【分析】利用二倍角公式计算可得 ，再由周期公式以及余弦函数的奇偶性可得结论.
【详解】易知 ，
所以其最小正周期为 ，
且满足 ，即该函数为偶函数；
因此函数 是最小正周期为 的偶函数.
故选：B
4. 下列函数中，在 上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
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【分析】由正切函数定义域可判断 A 错误，根据指数函数单调性可得 B 错误，再由幂函数性质及定义域可
得 C 错误，利用分段函数单调性以及对数函数性质可得 D 正确.
【详解】对于 A，显然函数 的定义域不为 ，即 A 错误；
对于 B，因为 ，所以函数 在 上单调递减，即 B 错误；
对于 C，易知 的定义域为 ，即 在 上单调递增，即 C 错误；
对于 D，易知 在 上单调递增， 在 上单调递增，
且 ，所以 在 上单调递增，即 D 正确.
故选：D
5. 已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）条件．
A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要
【答案】C
【解析】
【分析】结合诱导公式及特殊角的三角函数值求出两个条件的 的值，进而结合充分、必要条件的定义判
断即可.
【详解】由题意， ，
由 ，即 ，则 或 ，
由 ，则 ，
所以“ ”是“ ”的必要非充分条件．
故选：C.
6. 某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心.已知仓储中心建造费用 （单位：万
元）与仓储中心到机场的距离 （单位 ）之间满足的关系为 ，则当 最小时， 的
值为（ ）
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A. 2080 B. 40020 C. D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】根据均值不等式求解即可.
【详解】因 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以当 C 最小时，s 的值为 20.
故选：D
7. 已知命题 ，命题 ，则（ ）
A. 和 都是真命题 B. 和 都是真命题
C. 和 都是真命题 D. 和 都是真命题
【答案】B
【解析】
【分析】取出反例得到 是假命题， 是真命题，根据零点存在性定理判断得到方程有根，故 是真命题，
是假命题，得到答案.
【详解】对于 而言，取 ，则 ，故 是假命题， 是真命题.
对于 而言，令 ， ， ，
由零点存在性定理可知，存在 ，使得 ，
故 是真命题， 是假命题.
综上， 和 都是真命题.
故选：B
8. 函数 ，若 ，且 互不相等，则 的
取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
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【解析】
【分析】根据函数解析式将函数图像画出，得到 关于 对称，而 ，再利用不等式性质
即可判断.
【详解】
由题意，假设 ，由上图可知 关于 对称，故 ，
由不等式 得 ，又当且仅当 时取等号，但是 故等号不成立，即
；
又因为 都为负值，故 ；而 ，故 ，
所以 ，故 ，又 ，故 .
故选：C
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列四个式子中，计算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 若 ，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据两角差的正弦公式求 A，由辅助角公式求 B，由两角和的正切公式求 C，由同角三角函数的关
系结合二倍角公式求 D.
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【详解】A 选项，根据两角差的正弦公式， ，
A 选项错误；
B 选项，根据辅助角公式， ，B 选项正确；
C 选项，根据两角和的正切公式， ，C 选项正确；
D 选项， ，D 选项正确.
故选：BCD
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 二次函数 的零点是
B. 函数 与 是同一函数
C. 函数 且 的图象恒过点
D. 若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是
【答案】AD
【解析】
【分析】利用函数的零点定义判断选项 A；利用同一个函数的概念判断 B；求出指数型函数恒过的定点可判
断 C，利用二次函数的单调性判断选项 D.
【详解】对于选项 A：令 ，解得： 或 ，故零点为 ，故 A 正确；
对于选项 B:因为 定义域为 ，函数 定义域为 R,故 B 错误；
对于选项 C：令 得 ，此时 ，所以函数 且 的图
象恒过点 ，故 C 错误；
对于选项 D：函数 开口向上，对称轴为 ，函数在 上单调递增，所以 ，
解得： ，实数 的取值范围是 ，故 D 正确.
故选：AD
11. 函数 的部分图象如图所示，则（ ）
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A. 函数 图象关于点 对称
B. 该图象向左平移 个单位长度可得 图象
C. 该图象的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标缩短到原来 倍可得 图象
D. 函数 在 上单调递减
【答案】ABC
【解析】
【 分 析 】 由 图 可 知 ， 由 得 ， 将 点 代 入 求 得 ， 从 而 得
，验证 是否为 0 可判断 A；根据三角函数图象的变换规律求得变换后的函
数解析式可判断 B、C；利用三角函数的图象及其单调性可判断 D.
【详解】由图可知 ，由 得 ， ，
将点 的坐标代入 中，可得 ，
则 ，因为 ，所以 ，得 ，
对于 A，将 代入 ，得到 ，
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故函数 的图象关于点 对称，故 A 正确；
对于 B， 图象向左平移 个单位，
则 ，故 B 正确；
对于 C，对于 ，如果横坐标伸长到原来的 2 倍，则 ；
同时纵坐标缩短到原来的 倍，得 ，故 C 正确；
D.由于 ，则 ，而 在 不单调
故函数 在 上不单调，故 D 错误.
故选：ABC.
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知弧长为 的弧所对的圆心角为 ，则该弧所在的扇形面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】求出扇形半径，利用扇形面积公式可求得结果.
【详解】弧长为 的弧所对的圆心角为 ，则扇形的半径 ，
因此该扇形的面积为 .
故答案为：
13. 设函数 ，则 __________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用函数 的解析式，由内到外逐层计算可得出 的值.
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【详解】因为 ，则 ，
所以， .
故答案为： .
14. 若函数 且 是指数函数，其图象过点 ，则函数
的单调递增区间为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据指数函数定义确定参数值，再结合复合函数单调性可求得单调区间.
【详解】由指数函数定义可得 ，解得 ；
代入点 可得 ，解得 ；
因此 ，
显然 ，解得 或 ，即 的定义域为 ；
再由复合函数单调性可得 的单调递增区间即为 在 上的单调递减区
间；
由二次函数性质可得 在 上单调递减，
所以函数 的单调递增区间为 .
故答案为：
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图所示，以 为始边作角 与 ，它们的终边与单位圆 分别交于 两点，已
知点 的坐标为 ，点 的坐标为 .
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（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由任意角三角函数定义结合题意可得答案.
（2）由题结合诱导公式、二倍角正切公式可得答案.
【小问 1 详解】
由题结合任意角三角函数定义可得：
，；
【小问 2 详解】
根据诱导公式化简可得：
，
由（1）知， ， ，则 ，
所以 ，
所以 .
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16. 已知集合 （其中 ），
（1）求 ；
（2）当 时，求 ；
（3）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） 或 ；
（2） 或 ；
（3） 或 .
【解析】
【分析】（1）解分式不等式求出集合 ，再由补集运算可得结果；
（2）将 代入，再由交集运算可得；
（3）根据交集结果得出集合间的包含关系，再对集合 是否为空集分类讨论可得结果.
【小问 1 详解】
不等式 ，解得 ，故 ，
所以 或 ；
【小问 2 详解】
当 时，集合 ，
所以 或 ；
【小问 3 详解】
由 可得 ，
当 时，即 时，满足题意；
当 时，要使得 ，
或 ，
解得 或 ；
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综上可知，实数 的取值范围为 或 .
17. 已知函数 .
（1）求函数 的最小正周期及单调递减区间；
（2）求函数 在 上的最值；
（3）若 ，求 的值.
【答案】（1） ，单调减区间为 .
（2） ， .
（3）
【解析】
【分析】（1）化简函数为 ，结合三角函数的图象与性质，即可求解；
（2）由（1）得出函数 的单调递增区间，结合 ， 和 的值，即可求解；
（3）根据题意，求得 ，结合 ，
即可求解.
【小问 1 详解】
由函数
，
所以 的最小正周期为 ，
令 ，可得 ，
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所以 的单调减区间为 .
【小问 2 详解】
由（1）知，函数的单调递增区间为 ，
因为 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
且 ， ， ，所以 ，
.
【小问 3 详解】
由函数 ，可得 ，
因 ，
所以
.
18. 函数 ，函数 ，已知函数 是定义域为 的奇函数.
（1）解不等式： ；
（2）求 的值，并判断函数 在 上的单调性（不用证明）；
（3）若存在 使 成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2） , 在 上单调递增
（3）
【解析】
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【分析】（1）结合指数函数的值域解指数型不等式即可；
（2）根据奇函数的定义求参数值，然后根据定义判断函数的单调性；
（3）结合（2）的函数单调性，分离参数，得到 ，然后根据不等式能成立的方法求解.
【小问 1 详解】
由题知， ，即 ，即 ，
根据指数函数的性质， 恒成立，于是解得 ，解得 ，
即 的解为
【小问 2 详解】
由题知， ，由于 在 上 奇函数，
则 对于 成立，
即 ，
即 ，
即 ；
于是 .任取 ，结合指数函数性质，
，
即 在 上单调递增
【小问 3 详解】
由（2）可知，根据 可得 ，
由 ，整理可得 ，
存在 ，使得 成立，
故需求不等式右边的最小值，由 ，则 ，
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故当 时，不等式右边取到最小值 ，
即 .
19. 现定义：对于一个函数，如果自变量 与函数值 ，满 足：若 ，则 （ ， 为实数），
我们称这个函数在 上是同步函数.比如：函数 在 上是同步函数.理由：
， ， ，得 ， 在 上是同步函数.
（1）若函数 在 上是同步函数，求 的值；
（2）已知反比例函数 在 上是同步函数，求 的值；
（3）若抛物线 在 上是同步函数，且在 上的最小值为
，求 的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3） .
【解析】
【分析】（1）直接按新定义求解 即可；
（2）经分析得出含 的方程组解出 即可；
（3）由新定义解出抛物线方程，进而利用基本不等式解出 的最小值即可.
【小问 1 详解】
函数 在 上是同步函数，且函数 是递减函数，
又 ， ，故当 时， ；当 时， ；
即 ，解得， .
【小问 2 详解】
由反比例函数 在 上是同步函数， ， ，
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反比例函数 在 和 上都是递减的，
当 时， 取最大值 ，当 ， 取最小值 ，
即 ，故得 .
【小问 3 详解】
可化为 ，过点 ，
因 ， ，则对称轴 ，
故 在 上递增，
又 在 上是同步函数，
当 时， 取最小值 1，当 时， 取最大值 3.
即得， ，解得， ，
函数表达式为 ，
所以 ，当且仅当 时取“ ”，
所以 的最小值为 .
【点睛】方法点睛：转化思想是解决集合新定义题目的一种常见方法；如小问 由函数新定义解出
，变形转化为 ；小问 解出函数表达式为 ，将 转化成基本不等式求最值.
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