2026重庆市高二上学期期末考试数学含解析

这是一份2026重庆市高二上学期期末考试数学含解析，共8页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1. 已知正项等比数列，若=9，则（ ）
A. 6B. 12C. 15D. 18
【答案】B
解析：由可得，由于，所以，
故选：B.
2. 设直线l与x轴交于点A，其倾斜角为，直线l绕点A顺时针旋转后得直线，有下列四个值：①；②；③；④．则直线的倾斜角为（ ）
A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④
【答案】B
解析：直线l绕点A顺时针旋转后得直线，当时，直线的倾斜角为；
当时，直线的倾斜角为．
综上，直线的倾斜角为或.
故选：B
3. 平面与三个坐标面围成四面体的体积是（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】A
解析：在平面方程中，
令，得，
令，得，
令，得，
则平面与三个坐标面围成四面体的三条棱长分别为2，1，2，
且三条侧棱两两垂直，则所求四面体的体积是.
故选：A
4. 在水泥粉磨系统中，双曲线型进料装置具有节能降耗的优点.某双曲线型进料装置的进料口的轴截面如图所示，它是双曲线的一部分，该双曲线的离心率为，实轴长等于进料口的下口宽度，下口宽度为，上､下口之间的高度为，则该进料口的上口宽度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：如图，建立平面直角坐标系，设该双曲线的方程为），焦距为，
由题意得，得，
所以双曲线的方程为1.
当时，，
所以该进料口的上口宽度为.
故选：B
5. 在三棱柱中，，分别是线段，上靠近，的三等分点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
解析：
，分别是线段，上靠近，的三等分点，
，，
，，
又，，
，即
，故A正确．
故选：A．
6. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：直线的方程为，设直线的倾斜角为，
当时，，
②当时，直线的斜率，
由于或，
所以,,，
所以，
综上所述：；
故选：C．
7. 已知抛物线的焦点为，准线为是上一点，是直线与的一个交点，若，则（ ）
A. B. 3C. D. 2
【答案】D
解析：由题意可知：抛物线的焦点为，准线为，
设，，则，
因为，则，得，
由抛物线定义得.
故选：D.
8. 已知直线与圆交于不同的两点，若存在最小值且最小值不大于，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：将直线变形为，
则可知直线恒过定点，且，
若，则直线可和圆相切，如图所示，此时重合，若直线与圆交于不同的两点，
则可不断趋于0，不存在最小值，与题意不符，故，
即在圆内，直线与圆一定交于两点，此时对于任意给定的半径，
根据圆的性质，当时，弦最短，最小，此时弦长，
在中，当时，此时，
由题意，已知最小值不大于，则最小值对应的弦满足，
即，解得，
综上，的取值范围为.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知空间向量，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 与夹角的余弦值为
D. 若，则共面
【答案】BCD
解析：A：，又，故A错误；
B：，则，故B正确；
C：因为，所以，
所以，故C正确；
D：因为，故D正确.
故选：BCD.
10. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A 公差B.
C. 的最大值为D. 满足的的最小值为16
【答案】AC
解析：因为，
则，即，
则，故A正确；
，故B错误；
由，得，
,
因为，
所以数列是递减数列，且当时，，当时，，
所以的最大值为，故C正确；
，
令，解得，
所以满足的的最小值为，故D错误.
故选：AC.
11. 双曲线的左、右焦点分别为，，过上一点作切线与轴交于点，直线与的两条渐近线分别交于点，，满足，则（ ）
A. B. 满足条件的点有2个
C. D. 点为外接圆圆心
【答案】ACD
解析：A选项，由双曲线光学性质知为的平分线，
由角平分线性质可得，即，A正确；
B选项，设，，，则，
所以，
得，
即，所以，
结合为的内角可得，或，
又，所以或，
当时，满足条件的点在右支上，有2个，
当时，满足条件的点共4个，左支2个，右支2个，
所以满足条件的点有6个，B错误；
C选项，当时，，
由于，故，
当时，，综上，．
设，则，联立，
可得交点，，
其中，
因为，
所以
，
所以，C正确；
D选项，，结合C选项，可知
中点坐标为，
所以是线段中点，又，所以为外接圆圆心，D正确．
故选：ACD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数在上的最大值为4，则实数的值为______.
【答案】
解析：函数在上单调递增，
则当时，，
因此，解得，
所以实数为.
故答案为：.
13. 已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，，，则椭圆的离心率为______________.
【答案】
解析：解：设是椭圆的右焦点，连接，，
由对称性可知：，，则四边形为平行四边形，
则，即，且，
因为，则，，
在中，由余弦定理可得，
即，解得，所以椭圆的离心率为.

故答案为：.
14. 数列中，．定义：使数列的前项的积为整数的数叫做期盼数，则区间内的所有期盼数的和等于______.
【答案】
解析：因为，
所以，
设，则，
所以为的整数次幂，
因为，
所以，
故满足条件的，，，，，，，，，
故区间内的所有期盼数的和为：
．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，已知，边上的中线所在直线方程是，边的高线所在直线方程是.
（1）求点的坐标；
（2）求的外接圆的标准方程.
【答案】（1）
（2）
（1）
设，
因为边的高线所在直线方程是，所以，
又，所以①，
又点在直线上，所以②，
由①②解得，，所以点的坐标为；
（2）
设，则的中点坐标为，
将代入直线的方程得③，
将代入直线的方程得④，
将③④联立解得，，即，
设的外接圆的一般方程为，
则，解得，
所以外接圆的一般方程为，
所以的外接圆的标准方程为.
16. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4．
（1）求C的方程；
（2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求．
【答案】（1）
（2）
（1）
因为长轴长为4，故，而离心率为，故，
故，故椭圆方程为：.
（2）
由题设直线的斜率不为0，故设直线，，
由可得，
故即，
且，
故，
解得，
故.
17. 如图，在四棱锥中，为矩形，底面，，，为棱的中点，为棱上一点，且，连接，，.

（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若平面与四棱锥的棱交于点，求的值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
（1）
因为底面，底面，所以，
又底面为矩形，所以，
又平面，平面，且、相交于点，
所以平面，又平面，所以，
又，为棱的中点，所以，
又平面，平面，且、相交于点，
所以平面，又平面，所以；
（2）
由（1）可得，，，，
所以，以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，，，，，，

则，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，解得，，即平面的法向量为，
设直线与平面所成角为，则；
（3）
因为平面与四棱锥的棱交于点，
设，则，
设，则，，则，
所以，所以，
由（2）得，平面的法向量为，
所以，即，解得，
所以的值为.
18. 已知数列的各项均为正数，其前项和记为，，，其中为非零常数.
（1）证明：；
（2）若，求；
（3）是否存在，使得数列为等差数列？若存在，求出的通项公式；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，
（1）
数列的各项均为正数，，则，
两式相减，整理得，而，
所以.
（2）
解法1：当时，由（1）得，
则，，
于是，数列是公差为6的等差数列，
由，，得，则，
.
解法2：由，，得，
当时，由（1）得，
因此数列的奇数项构成首项为1，公差为3的等差数列，
偶数项构成首项为3，公差为3的等差数列，
.
（3）
由，，得，
由（1）知：，则，
假设存在使得数列为等差数列，
则，即，解得，
下面证明：当时，数列为等差数列.
由，，，
得数列是首项为1，公差为2的等差数列，，
数列是首项为2，公差为2的等差数列，
因此，，
所以存在使得数列为等差数列，.
19. 已知抛物线.过点的动直线与交于两点（在第一象限），且（为坐标原点）.
（1）求的值；
（2）设抛物线在处的切线交于点，求面积的最小值；
（3）面积最小时，过作直线交抛物线于两点.轴且的中点在直线上，证明：直线过定点.
【答案】（1）
（2）32. （3）证明见解析
（1）
设，
联立方程①，
②，
.
（2）
由（1）知，故处切线方程为：，即.
同理，点处切线方程：.联立解得.
由②及可得.
方程①中，.
点到直线的距离.
故，当且仅当时等号成立，故面积的最小值为32.
（3）
由（2）知，此时，设，
联立方程，
，
，令，得，
，
又
，即，