重庆市2023_2024学年高二数学上学期期末考试试题含解析

这是一份重庆市2023_2024学年高二数学上学期期末考试试题含解析，共15页。
1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；
4.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．圆和圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．外切D．内切
2．已知空间四边形ABCD中，，，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
3．点到直线的距离为
A．B．C．D．
4．设抛物线的焦点为F，点P为C上的任意点，若点A使得的最小值为4，则下列选项中，符合题意的点A可为（ ）
A．B．C．D．
5．已知直线，.则下列说法中正确的有（ ）
①存在实数，使，②存在实数，使；
③对任意实数，都有，④存在点到四条直线距离相等
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．在三棱锥中，P为内一点，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
7．在平面直角坐标系中，为原点，已知，设动点满足，动点满足，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
8．设双曲线的方程为，若双曲线的渐近线被圆：所截得的两条弦长之和为，已知的顶点，分别为双曲线的左、右焦点，顶点在双曲线的右支上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。
9．在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，与向量相等的向量有（ ）
A．B． C． D．
10．已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．为钝角D．在方向上的投影向量为
11．直线和围成直角三角形，则m的值可为（ ）
A．0B．1C．D．
12．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， 抛物线 ，（）与椭圆C在第一象限的交点为P，若 ，则椭圆C的离心率为 （ ）
A．B．C．D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．直线在轴上的截距为．
14．若过点的圆与两坐标轴都相切，则该圆的半径为．
15．椭圆的左右焦点分别为，弦过，若的内切圆周长为，两点的坐标分别为，则值为
16．已知是椭圆的左、右焦点，在椭圆上运动，当的值最小时，的面积为．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）求原点到直线的距离.
（2）已知直线，求直线之间的距离.
18．求满足下列各条件的椭圆的标准方程.
（1）长轴是短轴的3倍且经过点A(3，0)；
（2）过点(，-)，且与椭圆有相同焦点.
19．已知四棱锥，底面是菱形，，平面，，点满足.
(1)求二面角的平面角的余弦值；
(2)若棱上一点到平面的距离为，试确定点的位置.
20．已知双曲线的离心率为，且经过点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)经过点的直线交双曲线于、两点，且为的中点，求的方程．
21．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面是棱（不与端点重合）上的点，分别为的中点，.
(1)证明：平面.
(2)当的长为何值时，平面与平面的夹角的大小为？
22．已知椭圆过点，其长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，直线与轴的正半轴和轴分别交于点，与椭圆相交于两点，各点互不重合，且满足.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线的方程为，求的值；
（3）若，试证明直线恒过定点，并求此定点的坐标
★秘密·启用前
重庆缙云教育联盟2023-2024学年（上）期末质量检测
高二数学答案
1．B2．C3．A4．C5．C
6．C【分析】延长PB到，使得，延长PC到，使得，连接，，，根据 ，，，得到P是的重心求解.
7．C【分析】根据题意可得点在圆内部和圆周上，点的轨迹是以的直径的圆，延长交圆于点，设的中点为，的中点为，则，易得，再结合平面图形的性质和基本不等式即可得出答案.
8．B【分析】根据垂径定理求出圆心到直线的距离为，再根据点到直线的距离公式可得，得到，即可求出，根据正弦定理中角化边公式，即可得结果.
9．BC
10．BD
11．ACD【分析】由分类讨论的思想，让每两条直线分别垂直，由垂直充要条件可得m的值，注意验证舍去不合题意的值即可．
12．CD【分析】作垂直于抛物线的准线于点，则抛物线的定义得出，设，则，由椭圆的定义可得，在中利用余弦定理可求出的值，从而可求出离心率.
13．
14．或
15．/
16．．
17．【详解】（1）根据点到直线的距离公式，得故答案为：．
（2）由题可得，，所以这两条直线之间的距离
18．【详解】（1）若椭圆焦点在x轴上，设所求椭圆的标准方程为(a>b>0)，
∵长轴是短轴的3倍，∴a=3b，又∵椭圆经过点A(3，0)，
∴，得到a=3，∴b=1，所以；
若椭圆焦点在y轴上，设所求椭圆的标准方程为(a>b>0)
∵长轴是短轴的3倍，∴a=3b，又∵椭圆经过点A(3，0)，
∴，得到b=3，∴a=9，∴，
所以椭圆的标准方程为.或.
(2）椭圆的焦点为(0，4)，
设该椭圆方程为(a>b>0)，因此①
∵椭圆过(，-)，(a>b>0) ②，联立①②式，解得a2=20，b2=4.
因此该椭圆方程为.
19． 【详解】（1）连接AC交BD于O，过O作PD的平行线，
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则
则，，
设平面BDT的一个法向量
则，则，
∴平面BDT的一个法向量为
又PD⊥平面是平面BDC的一个法向量
∴，又由图可知二面角为钝角，
∴二面角的平面角的余弦值为；
（2）设，则
∴，
则点M到平面TBD的距离为，
解得
故点M的坐标为，即M为PC的中点.
20． 【详解】（1）由，得，即，
∴，
设双曲线的方程为或，
把代入两个方程，得或，
解得（第二个方程无解），
∴双曲线的标准方程为；
（2）设，，
∵，都在双曲线上，∴，，
两式作差可得：，即，
∵为的中点，∴，，
可得，
∴直线的方程为，即，
联立，得，
，符合题意．
∴直线的方程为．

21．【详解】（1）取的中点，连接，，则且.
因为且，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）解法1：依题意可知，平面底面，平面底面，平面，所以平面，
又底面为直角梯形，，，且，
所以，所以为平行四边形，所以，则，
如图，以为原点，分别以所在直线为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，

则，
，
.
设，则，且，
得.
设平面的法向量为，
则即
令，则，
所以平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，
则即
令，则，
所以平面的一个法向量为.
平面与平面所成的锐二面角的大小为，
则，
解得，所以，
即当时，平面与平面所成角的大小为.
解法2：当为的中点，即当时，平面与平面所成角的大小为.
证明：因为，所以.
因为平面底面，平面底面底面，
所以平面.
又因为分别为的中点，所以，所以平面，
平面，所以，，
又因为平面平面，
所以为平面与平面所成的二面角的平面角，
又为等边三角形，为的中点，为的中点，所以，所以，
即平面与平面所成的二面角为，又，所以.
22．【详解】（1）由题意，因为椭圆过点，可得，
设焦距为，又由长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，
可得，即
又因为，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由直线的方程为，可得而，
设，因为，
可得，
从而，
于是，所以，
由，整理得，可得，
所以.
（3）显然直线的斜率存在且不为零，
设直线的方程为，，可得，
由，可得，
所以，从而，同理，
又，∴——①，
联立，得，
则——②，
且——③
③代入①得，∴，(满足②)
故直线的方程为，所以直线恒过定点.