2022重庆市高二下学期期末考试数学含解析

2022年春高二（下）期末联合检测试卷

数学

数学测试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.

3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 命题“，”的否定是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】将全称命题否定为特称命题即可

【详解】命题“，”的否定是，，

故选：D

2. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先具体化集合，得出.

【详解】

所以，，

所以，.

故选：B.

3. 函数的导函数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数直接求解即可.

【详解】.

故选：D.

4. 已知变量与正相关，变量与满足，则下列说法正确的是（    ）

A. 与正相关，与正相关 B. 与正相关，与负相关

C. 与负相关，与正相关 D. 与负相关，与负相关

【答案】D

【解析】

【分析】根据关系式可直接判断.

【详解】因为，所以与负相关，

又因为变量与正相关，所以与负相关.

故选：D.

5. 某科室共4名员工，端午节三天假期中每天需安排一人值班，且每人至多值班一天，则不同的安排方法有（    ）

A. 12种 B. 24种 C. 64种 D. 81种

【答案】B

【解析】

【分析】由题可从4名员工中选3人进行排列即可.

【详解】由题可从4名员工中选3人进行排列即可，有种.

故选：B.

6. 已知函数的定义域为，则“”是“是周期为2的周期函数”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 既不充分又不必要条件 D. 充要条件

【答案】A

【解析】

【分析】通过可以得出，反过来不可以，反例见详解.

【详解】由得，，

所以，，即.

所以“”是“是周期为2的周期函数”的充分条件.

如下图是一个周期为得函数，

得不出，

所以“”是“是周期为2的周期函数”的不必要条件.

所以“”是“是周期为2的周期函数”的充分不必要条件.

故选：A.

7. 的展开式中的系数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】写出展开式的通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项后即可得解.

【详解】因为的展开式通项为，

又因为，

在中，令，可得，

在中，令，可得，

因此，展开式中的系数为.

故选：B.

8. 已知，不等式对恒成立，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】令，分析可知，，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，结合可求得实数的取值范围.

【详解】令，则，由题意可知，.

当时，则当时，，不合乎题意；

当时，，即函数在上为减函数，

当时，，不合乎题意；

当时，令，则，

即函数在上为增函数，则.

①当时，即当时，对任意的，且不恒为零，

故函数在上为增函数，此时，合乎题意；

②当时，即当时，，

，

所以，存在，使得，

且当时，，此时函数单调递减，则，不合乎题意.

综上所述，的取值范围是.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，常利用参变量分离法与分类讨论法，本题利用参变量分离法不方便，注意到，结合端点效应，转化为函数单调性求解.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列说法正确的是（    ）

A. 任何集合都是它自身的真子集

B. 集合共有4个子集

C. 集合

D. 集合

【答案】BC

【解析】

【分析】根据集合的性质依次判断即可.

【详解】对A，空集不是它自身的真子集，故A错误；

对B，因为集合中有2个元素，所以有个子集，故B正确；

对C，因为两个集合中的元素均为被3除余1的所有整数，所以两个集合相等，故C正确；

对D，因为，当时，，所以，但，故两个集合不相等，故D错误.

故选：BC.

10. 下列说法正确的是（    ）

A. 在一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组数据的样本相关系数为1

B. 若变量，的样本相关系数为0，则与不存在相关关系

C. 若以模型拟合一组样本数据，设，将样本数据进行相应变换后算得回归直线的方程为，则，的估计值分别为和0.5

D. 在回归分析中，相关指数的值越大，说明模型拟合的效果越好

【答案】ACD

【解析】

【分析】A. 根据直线方程判断； B. 利用相关系数的意义判断；C. 由两边取对数求解判断；D. 根据相关系数的意义判断.

【详解】A. 因为回归直线方程为，，则正相关，又一组样本数据的散点图中所有样本点都在直线上，则这组数据的样本相关系数为1，故正确；

B. 若变量，的样本相关系数为0，则与可以存非线性相关关系，故错误；

C. 由两边取对数得，设，则，又，则，的估计值分别为和0.5，故正确；

D. 在回归分析中，相关指数的值越大，说明模型拟合的效果越好，故正确.

故选：ACD

11. 设随机变量，随机变量，其中，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据正态分布的对称性可判断AB；取，根据对称性可得.

【详解】记，

A选项：由正态分布的性质可知A正确；

B选项：因为，B正确；

C选项：取，则，，

由B可知，所以C错误；

D选项：由C可知，当时，…①

因为，

所以，即…②

①+②得：，故D正确.

故选：ABD

12. 杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数（，且）在三角形中的一种几何排列，北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，南宋时期杭州人杨辉在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如下图所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”，故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”，杨辉三角形的构造法则为：三角形的两个腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数字相加.根据以上信息及二项式定理的相关知识分析，下列说法中正确的是（    ）

A.

B. 当且时，

C. 为等差数列

D. 存在，使得为等差数列

【答案】ABD

【解析】

【分析】由组合数性质可判断A；利用组合数公式化简可判断B；组合数公式结合等差数列定义可判断CD.

【详解】A选项：由组合数的性质可知A正确；

B选项：，

因为，所以，所以，B正确；

C选项：，C错误；

D选项：当时，，所以数列为公差为1的等差数列，D正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 设函数是偶函数，且值域为，则______.（写出一个正确答案即可）

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】取，结合二次函数的基本性质判断即可.

【详解】因为函数是偶函数，且值域为，不妨取，

二次函数的对称轴为轴，该函数为偶函数，

且，即函数的值域为.

故答案为：（答案不唯一）.

14. 曲线在点处的切线方程为______.

【答案】

【解析】

【分析】利用导数的几何意义求解即可

【详解】由，得，

所以切线的斜率为，

所以所求切线方程，得，

即，

故答案：

15. 设随机变量，，且，则______.

【答案】

【解析】

【分析】由题意可得，则，可求出，从而可求出，进而由求得结果

【详解】因为随机变量，

所以，

因为，，

所以,

解得，

所以,

所以

故答案为：

16. 已知事件，满足，，，则______.

【答案】##

【解析】

【分析】根据全概率公式计算可得.

【详解】因为互为对立事件且，所以，，所以.

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知的展开式共有11项.

（1）求展开式中各项二项式系数的和；

（2）求展开式中的系数.

【答案】（1）1024；   

（2）.

【解析】

【分析】(1)通过二项式展开式的项数，可得的值，二项式系数的和为.(2) 结合二项式的展开式的通项公式求出展开式中的系数.

【小问1详解】

由的展开式共有11项可得，，

故二项式的展开式中各项二项式系数的和为

；

【小问2详解】

二项式的展开式的通项公式为

，

令，解得：.

所以二项式展开式中的系数为.

18. 设函数的定义域为集合A.

（1）求A；

（2）已知集合，其中，若，求的取值范围

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据解析式有意义列不等式组求解可得；

（2）先求集合B，然后考查两个集合的端点关系可得.

【小问1详解】

由得，解得，

所以

【小问2详解】

解不等式得，即

因为，所以或，即或

所以取值范围为

19. 某学校为了调查高中男生和女生在英语单词记忆能力上是否存在差异，从高一年级选取了50名同学，其中男女生各25人，调查他们一周内能准确记忆的单词量（单位：个），将所得数据从小到大排列如下：

男生：37  38  39  39  43  43  45  47  47  47  48  48  49  49  49  50  52  53  54  54  57  58  58 60  62

女生：37  39  40  47  48  48  49  49  50  52  52  53  53  53  53  54  54  54  56  57  59  60  60  61  63

（1）根据上述数据判断哪个群体在一周内准确记忆的单词量更大，请说明理由.

（2）记这50名同学在一周内准确记忆的单词量的中位数为，将这50人中单词量超过的记为“优秀”，不超过的记为“一般”，完成下面的列联表，依据的独立性检验，能否认为男生女生的单词记忆能力有差异？

单位：人

附：，

【答案】（1）见解析    （2）见解析

【解析】

【分析】（1）计算平均数即可得出判断；

（2）计算中位数，并填写列联表，计算卡方，进行独立性检验.

【小问1详解】

25名男生一周内能准确记忆的单词量平均数为

25名女生一周内能准确记忆的单词量平均数为

因为，所以女生群体在一周内准确记忆的单词量更大

【小问2详解】

由题意可知，这50名同学在一周内准确记忆的单词量的中位数为

则列联表如下：

则依据的独立性检验，认为男生女生的单词记忆能力有差异.

20. 已知函数，且

（1）若的最小值为，求的值；

（2）讨论的单调性.

【答案】（1）2或   

（2）见详解.

【解析】

【分析】（1）的最小值为也就是从极小值出发，求出的值；（2）利用导数的符号来讨论的单调性.

【小问1详解】

函数定义域为 ，且的最小值为，则

，且

所以，或

当 时，令 ，解得 ; 令 ，解得 .

的增区间为 ；减区间为 ;满足题意；

当 时，令 ，解得 ；

令 ，解得 ， 的增区间为 ，减区间为 ，满足题意.

综上，的值为2或；

【小问2详解】

函数定义域为 ，

当 时，令 ，解得 ; 令 ，解得 .

当 a=0时， 恒成立，所以 只有增区间 .

当 时，令 ，解得 ；

令 ，解得

综 上: 当 时， 的增区间为 ；减区间为 ;

当 时， 增区间 ，无减区间；

当 时， 的增区间为 ，减区间为

21. 某专业技能测试分为甲、乙两项，每项测试均有两道题，参加测试者至少共答对三道题才可获得专业资格认定.已知该专业技能测试允许每人多次参加，且各次测试结果相互独立，王先生首次参加该测试时，甲项测试中每题能答对的概率为，乙项测试中每题能答对的概率为，两项测试互不影响，各题答对与否互不影响，

（1）求王先生首次参加此专业技能测试就能获得专业资格认定的概率；

（2）王先生在经过一段时间的训练后专业技能得到提升，他在甲、乙两项测试中每题能答对的概率分别为和，已知王先生一旦获得该专业资格认定就停止参加测试，否则他会继续参加下次测试，设王先生还需参加次该专业技能测试，若，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）分别求出答对四道题的概率和答对三道题的概率即可求出；

（2）先求出在一次测试中王先生能通过的概率，再根据即可求出.

小问1详解】

答对四道题的概率为，答对三道题的概率为，

所以王先生首次参加此专业技能测试就能获得专业资格认定的概率为；

【小问2详解】

在一次测试中王先生能通过的概率为，

由知，即连续三次测试均未通过，概率为，

所以，解得，所以.

22. 已知函数，

（1）讨论的极值点个数；

（2）若在内有两个极值点，，且，求的取值范围.

【答案】（1）答案见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出函数导数，令，讨论的正负情况判断函数单调性即可得出；

（2）根据题意可得，构造函数，利用导数求出单调性，不等式化为，求出的范围即可根据求出.

【小问1详解】

，令，，

当时，，即，则在上单调递减，无极值点；

当时，有两个零点，，

当，，即，单调递减；

当时，，即，单调递增，

所以处取极小值，在取极大值，有2个极值点，

综上，当时，无极值点，当时，有2个极值点；

【小问2详解】

由题意可得在有两个零点，故且，所以，

 由得，故，同理，

又，所以，

结合知，

令，则，

当时，，单调递增，又，

所以即，所以，则，

因为，所以.