海南省部分学校2023-2024学年高一下学期期中数学试卷（A卷）

这是一份海南省部分学校2023-2024学年高一下学期期中数学试卷（A卷），共10页。试卷主要包含了选择题，非选择题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）已知集合A＝{y|y＝2x}，B＝{x|x2﹣3x+2≤0}，则（ ）
A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．A⊆BD．B⊆A
2．（3分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ）
A．B．f（x）＝﹣|x﹣1|
C．f（x）＝2﹣xD．f（x）＝﹣x2+x
3．（3分）函数f（x）＝2sinx﹣sin2x是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为2π的偶函数
4．（3分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c（2a﹣b）csC，则角C＝（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，F为正方形C1CDD1内一个动点（包括边界），且B1F∥平面A1BE，则下列说法不正确的有（ ）
A．动点F轨迹的长度为
B．三棱锥B1﹣D1EF体积的最小值为
C．B1F与A1B不可能垂直
D．当三棱锥B1﹣D1DF的体积最大时，其外接球的表面积为
6．（3分）复数z＝（1+i）（2﹣i）的虚部是（ ）
A．1B．iC．3D．3i
7．（3分）函数f（x）＝的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）已知函数在[﹣1，+∞）上单调递减（ ）
A．（﹣∞，﹣6]B．[﹣11，﹣6]C．（﹣11，﹣6]D．（﹣11，+∞）
9．（3分）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，某沙漏由上、下两个圆锥组成．这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时（h）的（细管长度忽略不计）．假设细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．这个沙堆的高与圆锥的高h的比值为（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，＝（ ）
A．B．C．D．
11．（3分）如图所示，用符号语言可表达为（ ）
A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝AB．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂nD．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
12．（3分）已知向量，，且⊥，则＝（ ）
A．B．C．D．8
13．（3分）如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是（ ）
A．16B．12C．D．
（多选）14．（3分）设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有（ ）
A．若（1+i）z＝﹣i，则|z|＝1
B．对任意复数z1，z2，有|z1z2|＝|z1|•|z2|
C．对任意复数z1，z2，有＝•
D．在复平面内，若M＝{z||z﹣2|⩽2}，则集合M所构成区域的面积为6π
二、非选择题（共58分）
15．（8分）△ABC中，AB＝2，AC＝1，，若，则x＝ ．
16．（10分）已知复数z＝bi（b∈R），是实数，i是虚数单位．
（1）求|z|的值；
（2）若复数（m+z）2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．
17．（10分）已知向量与的夹角，且．
（1）求；
（2）在上的投影向量；
（3）求向量与夹角的余弦值．
18．（10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c（A﹣）．
（1）求A；
（2）D是线段BC上的点，若AD＝BD＝2，CD＝3
19．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c（sinC+csC）．
（1）求B；
（2）已知BC＝2，D为边AB上的一点，若BD＝1，求AC的长．
20．（10分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形，点E，AD的中点．
（1）证明：EF∥平面PAB；
（2）若平面BEF将四棱锥P﹣ABCD分成体积为V1和V2的两部分（其中V1＞V2），求的值．
2023-2024学年海南省琼海市嘉积中学高一（下）期中数学试卷（A卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（共14小题，每小题3分，共42分）
1．（3分）已知集合A＝{y|y＝2x}，B＝{x|x2﹣3x+2≤0}，则（ ）
A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．A⊆BD．B⊆A
【分析】分别化简集合A和B，逐一核对答案即可．
【解答】解：集合A＝{y|y＝2x}＝{y|y＞0}＝（6，+∞），
集合B＝{x|x2﹣3x+2≤0}＝{x|（x﹣1）（x﹣5）≤0}＝[1，6]，
∴B⊆A，
故选：D．
【点评】本题考查集合间的关系，以及指数函数的性质和一元二次不等式的解法，属于基础题．
2．（3分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ）
A．B．f（x）＝﹣|x﹣1|
C．f（x）＝2﹣xD．f（x）＝﹣x2+x
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f（x）＝﹣4x，由对数函数的性质，+∞）上单调递增；
对于B，f（x）＝﹣|x﹣1|＝，5）上递增；
对于C，f（x）＝2﹣x＝（）x，由指数函数的性质，则f（x）在区间（0，符合题意；
对于D，f（x）＝﹣x2+x，由二次函数的性质，）上递增．
故选：C．
【点评】本题考查函数单调性的判断，注意常见函数的单调性，属于基础题．
3．（3分）函数f（x）＝2sinx﹣sin2x是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为2π的偶函数
【分析】利用三角函数的周期性与奇偶性判断可得答案．
【解答】解：∵f（﹣x）＝2sin（﹣x）﹣sin（﹣2x）＝﹣4sinx+sin2x＝﹣f（x），
∴函数f（x）为奇函数；
又y＝sinx，y＝sin2x的最小正周期分别为3π，π，
∴f（x）＝2sinx﹣sin2x的最小正周期为7π．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的周期性与奇偶性，考查逻辑推理的核心素养，属于基础题．
4．（3分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c（2a﹣b）csC，则角C＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】结合正弦定理边化角、两角和的公式逆用以及诱导公式化简得sinA＝2sinAcsC，进一步有，由此即可得解．
【解答】解：因为ccsB＝（2a﹣b）csC，
由正弦定理可得sinCcsB＝（2sinA﹣sinB）csC，
整理可得：sinCcsB+sinBcsC＝sin（B+C）＝sinA＝6sinAcsC，
因为A∈（0，π），
解得，
而C∈（0，π）．
故选：B．
【点评】本题考查正弦定理的应用及三角形内角和定义的应用，属于基础题．
5．（3分）如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，F为正方形C1CDD1内一个动点（包括边界），且B1F∥平面A1BE，则下列说法不正确的有（ ）
A．动点F轨迹的长度为
B．三棱锥B1﹣D1EF体积的最小值为
C．B1F与A1B不可能垂直
D．当三棱锥B1﹣D1DF的体积最大时，其外接球的表面积为
【分析】取CC1中点M，C1D1的中点N，通过证明平面B1MN∥平面A1BE，得F点轨迹为线段MN，从而判断A，由此可得F与点N重合时，三棱锥B1﹣D1EF体积的最小，求体积判断B，F与点M重合时，三棱锥B1﹣D1DF体积的最大，确定B1D的中点O是直角三角形B1D1D的外心，从而确定外接球的球心位置，求得外接球半径得表面积从而判断D，证明当F是MN中点时，有A1B⊥B1F可判断C．
【解答】解：取CC1中点M，C1D3的中点N，连接B1M，B1N，MN，则MN∥CD7，
正方体中易知CD1∥A1B，从而MN∥A8B，
又MN⊄平面A1BE，而A1B⊂平面A7BE，所以MN∥平面A1BE，
又正方体中ME与C1D3平行且相等，从而ME与A1B1平行且相等，则A8B1ME是平行四边形，所以B1M∥A3E，同理可得证B1M∥平面A1BE，
B4M∩MN＝M，B1M，MN⊂平面A1MN，所以平面B5MN∥平面A1BE，
平面B1MN∩平面CDD6C1＝MN，所以当F∈MN时，B1F∥平面A4BE，即线段MN为点F的轨迹CD2＝，A正确；
三棱锥B1﹣D6EF中，B1到平面D1EF的距离为定值2，当F与N重合时1EF的面积最小值，此时，
所以体积最小值，B正确；
连接C1D，AB1B⊥AB8，
AD⊥平面ABB1A1，而A3B⊂平面ABB1A1，所以AD⊥A6B，
AD∩AB1＝A，AD1⊂平面ADC8B1，则A1B⊥平面ADC5B1，
设MN∩平面ADC1B3＝F（即C1D与MN的交点为F），此时B1F⊂平面DAB6C1，
所以A1B⊥B6F，C不正确；
由选项B讨论可知当F与点M重合时，三棱锥B1﹣D1DF的体积，取AA5中点H，连接MH1C1，
正方体中同理选项C中证明可证A4C1⊥平面B1D3D，所以MH⊥平面B1D1D，
正方体中MH与B7D交于点O且O为MH，B1D的中点，△B1D8D是直角三角形且∠B1D1D＝90°，则O是△B3D1D的外心，
因此三棱锥B1﹣D5DM的外接球的球心K在直线MH上，设外接球半径为R，
即KB1＝KM＝R，，，
由MH⊥平面B1D3D，B1D⊂平面B1D5D得MH⊥B1D，
由勾股定理，，可得，
所以外接球的表面积为：，D正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了空间位置关系的判断，还考查了锥体体积的求解，球的表面积的求解，属于中档题．
6．（3分）复数z＝（1+i）（2﹣i）的虚部是（ ）
A．1B．iC．3D．3i
【分析】根据复数的运算化简z，求出z的虚部即可．
【解答】解：z＝（1+i）（2﹣i）＝5﹣i+2i+1＝4+i，
故z的虚部是1．
故选：A．
【点评】本题考查了复数的运算，考查与复数有关的定义，是基础题．
7．（3分）函数f（x）＝的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意，用排除法分析：先分析函数的奇偶性，排除B，再利用导数分析函数的单调性，排除CD，即可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x）＝，
有f（﹣x）＝＝f（x），排除B，
当x＞0时，f（x）＝，其导数f′（x）＝5+，
则有f′（x）＞4，则f（x）在（0，排除CD，
故选：A．
【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性分析，属于基础题．
8．（3分）已知函数在[﹣1，+∞）上单调递减（ ）
A．（﹣∞，﹣6]B．[﹣11，﹣6]C．（﹣11，﹣6]D．（﹣11，+∞）
【分析】由题意结合复合函数的单调性可得内层函数t＝3x2﹣ax+8在[﹣1，+∞）上是增函数且恒大于0，由此列关于a的不等式组求解．
【解答】解：∵在[﹣2，
且外层函数为减函数，
则内层函数t＝3x2﹣ax+8在[﹣4，+∞）上是增函数且恒大于0，
∴，解得﹣11＜a≤﹣3．
∴实数a的取值范围是（﹣11，﹣6]．
故选：C．
【点评】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．
9．（3分）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，某沙漏由上、下两个圆锥组成．这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时（h）的（细管长度忽略不计）．假设细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．这个沙堆的高与圆锥的高h的比值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】细沙全部在上部时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为h，设圆锥的底面半径为r，则细沙形成的圆锥的底面半径为，求出细沙的体积，再设细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的高为h′，求出细沙的体积，由体积相等求解h′，则答案可求．
【解答】解：细沙全部在上部时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为h，
设圆锥的底面半径为r，则细沙形成的圆锥的底面半径为，
∴细沙的体积为V＝π••＝．
细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径r，
则V＝πr2•h′＝，
得h′＝．
∴．
故选：A．
【点评】本题考查圆锥体积公式的应用，考查计算能力，是中档题．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据向量加法法则以及向量相等的定义进行转化求解即可．
【解答】解：在矩形ABCD中，
＝，
则＝++＝+＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查向量加法及其几何意义，根据向量加法的三角形法则是解决本题的关键．
11．（3分）如图所示，用符号语言可表达为（ ）
A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝AB．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂nD．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
【分析】由点是元素，直线是集合，可判断所给命题中的符号的正确用法．
【解答】解：B中，直线n是集合，所以B不正确；
C中A点是元素，所以A∈m，所以C不正确；
D中，错在n∈α，
故选：A．
【点评】本题考查点与直线，直线与平面的符号的应用，属于基础题．
12．（3分）已知向量，，且⊥，则＝（ ）
A．B．C．D．8
【分析】根据题意，由向量数量积的坐标计算公式可得•＝﹣x+8＝0，解可得x的值，由向量模的计算公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，向量，，且⊥，
则有•＝﹣x+8＝0，
故||＝，
故选：C．
【点评】本题考查向量数量积的定义，涉及向量模的计算，属于基础题．
13．（3分）如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是（ ）
A．16B．12C．D．
【分析】根据斜二测法规则，即可求解．
【解答】解：设原图形的四边形为OABC，
则根据斜二测法规则及题意可知：
原图形中|OB|＝4，|OA|＝5，
又原图形中OB⊥OA，
∴原图形中|AB|＝＝7，
∴原图形的周长是2×（2+2）＝16．
故选：A．
【点评】本题考查根据斜二测法规则，属基础题．
（多选）14．（3分）设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有（ ）
A．若（1+i）z＝﹣i，则|z|＝1
B．对任意复数z1，z2，有|z1z2|＝|z1|•|z2|
C．对任意复数z1，z2，有＝•
D．在复平面内，若M＝{z||z﹣2|⩽2}，则集合M所构成区域的面积为6π
【分析】根据复数的运算逐项判断即可．
【解答】解：（1+i）z＝﹣i，z＝＝＝＝，A错误；
设z8＝a+bi（a，b∈R），z2＝c+di（c，d∈R）1z5＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i，
所以＝，
＝，
所以|z1z2|＝|z5||z2|，B项正确；
C项，＝（ac﹣bd）﹣（ad+bc）i，•，
所以＝•，C项正确；
D项，M＝{z||z﹣2|⩽2}表示圆心为（6，半径为2的圆面，D项错误．
故选：BC．
【点评】本题考查复数的运算，复数的性质，属于中档题．
二、非选择题（共58分）
15．（8分）△ABC中，AB＝2，AC＝1，，若，则x＝ ．
【分析】由题意可知，O为△ABC外接圆的圆心，过O作OD⊥AB，OE⊥AC，已知等式两边同乘以，结合数量积定义得4x﹣y＝2，同理得，从而两式联立即可求得x的值．
【解答】解：由题意可知，O为△ABC的外心，
设半径为r，在圆O中，OE⊥AC，E，
因为，所以，
因为的夹角为∠OAD，且，
所以，即4x﹣y＝2①，
同理由，得，，
所以，即②，
①②联立解得：，．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的数量积与夹角，属于中档题．
16．（10分）已知复数z＝bi（b∈R），是实数，i是虚数单位．
（1）求|z|的值；
（2）若复数（m+z）2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．
【分析】（1）运用复数四则运算可得，结合复数为实数的定义即可求得b，进而可求得复数模．
（2）化简（m+z）2，结合复数几何意义即可求得结果．
【解答】解：（1）因为z＝bi（b∈R），
所以，
又因为是实数，
所以，即b＝﹣7，
所以z＝﹣2i，
所以|z|＝2．
（2）由（1）知，z＝﹣8i，
所以（m+z）2＝（m﹣2i）5＝m2﹣4mi+8i2＝（m2﹣8）﹣4mi，
又因为复数（m+z）2所表示的点在第一象限，
所以，解得m＜﹣2，
故m的取值范围为（﹣∞，﹣5）．
【点评】本题主要考查复数的运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
17．（10分）已知向量与的夹角，且．
（1）求；
（2）在上的投影向量；
（3）求向量与夹角的余弦值．
【分析】（1）先求出，可求得；
（2）根据投影向量的计算公式计算即可；
（3）利用向量的夹角公式求解即可．
【解答】解：（1），，
所以；
（2）在上的投影向量为：；
（3），
则，
即向量与夹角的余弦值为．
【点评】本题主要考查了数列的数量积运算，属于中档题．
18．（10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c（A﹣）．
（1）求A；
（2）D是线段BC上的点，若AD＝BD＝2，CD＝3
【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tanA＝﹣，结合范围A∈（0，π），可求A的值．
（2）设∠B＝θ，，由题意可得∠BAD＝θ，∠ADC＝2θ，∠DAC＝﹣θ，∠ACD＝﹣θ，在△ADC中，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求sinθ＝csθ，可求sinθ，csθ，利用二倍角的正弦函数公式可求sin2θ，进而根据三角形的面积公式可求S△ADC的值．
【解答】解：（1）由正弦定理可得asinB＝bsinA，
则有bsinA＝b（sinA﹣，化简可得csA，
可得tanA＝﹣，
因为A∈（0，π），
所以A＝．
（2）设∠B＝θ，，由题意可得∠BAD＝θ，∠DAC＝，∠ACD＝，
在△ADC中，，则＝，
所以＝，可得sinθ＝，
又因为sin2θ+cs4θ＝1，可得sinθ＝，
则sin2θ＝2sinθcsθ＝，
所以S△ADC＝sin∠ADC＝＝．
【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
19．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c（sinC+csC）．
（1）求B；
（2）已知BC＝2，D为边AB上的一点，若BD＝1，求AC的长．
【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanB的值，结合B的范围即可求解B的值．
（2）由题意利用余弦定理可求CD的值，由∠BDC＝+∠A，利用诱导公式，正弦定理可求csA，进而可求tanA＝＝，即可得解AC的值．
【解答】解：（1）因为a＝b（sinC+csC），
所以sinA＝sinB（sinC+csC），
即sinBcsC+csBsinC＝sinBsinC+sinBcsC，
所以csBsinC＝sinBsinC，
所以csB＝sinB，
因为B∈（0，π）．
（2）因为BC＝2，BD＝7，
根据余弦定理得CD2＝BC6+BD2﹣2BC•BD•csB＝5+12﹣2×1×6×＝7，
所以CD＝，
因为∠BDC＝+∠A，
所以sin∠BDC＝sin（+∠A）＝csA，
在△BDC中，由正弦定理知，＝，
所以＝，
所以csA＝，tanA＝＝，
所以AC＝．
【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，诱导公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
20．（10分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形，点E，AD的中点．
（1）证明：EF∥平面PAB；
（2）若平面BEF将四棱锥P﹣ABCD分成体积为V1和V2的两部分（其中V1＞V2），求的值．
【分析】（1）分别在平面PAB内构造直线与EF平行，利用线面平行的判定定理证明；
（2）延长BF交CD的延长线于G，连接GE交PD于点H，取PD的中点I，连接EI，可得，设平行四边形ABCD的面积为S，点P到底面ABCD的距离为h，所以五面体BCDFHE的体积V′＝VE﹣BCG﹣VH﹣FDG，从而求得V1，V2．
【解答】解：（1）证法一，如图，连接PM，
因为F为AD的中点，所以，
所以F为MC的中点．而点E为PC的中点，
而EF⊄平面PAB，PM⊂平面PAB．
 
证法二，如图，连接NA，又E为PC中点，
则NE为△PBC的中位线，故NE∥BC且．
∵四边形ABCD为平行四边形，F为AD的中点，
∴AF∥BC且．
∴NE∥AF且NE＝AF，
∴四边形AFEN为平行四边形，∴EF∥AN，
而EF⊄平面PAB，AN⊂平面PAB，
∴EF∥平面PAB．
（2）如图，延长BF交CD的延长线于G，，
则DG＝DC，连接GE交PD于点H，
则平面BEF即平面BEHF．取PD的中点I，则EI∥CG，
∴，从而．
设平行四边形ABCD的面积为S，点P到底面ABCD的距离为h，
则四棱锥P﹣ABCD的体积．
而五面体BCDFHE的体积为：．
，
∴．
【点评】本题考查线面平行的判定与性质、几何体体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
C
B
B
C
A
A
C
A
B
A
题号
12
13
答案
C
A