湖南省郴州市2026届高三下学期3月教学质量监测（三模）数学试卷含答案（word版）

这是一份湖南省郴州市2026届高三下学期3月教学质量监测（三模）数学试卷含答案（word版），共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。)
1-5 BCBAB 6-8 DBA
二、多项选择题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。)
9 ABD ACD 11 ABD
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。)
12. 21 13. 0,33 14. −∞,0∪32+ln4,+∞
四、解答题 (本大题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. 【参考答案】
解: (1) x=1+2+3+4+55=3,y=15i=15yi=215=4.2 , (2 分)
b=i=15xiyi−5xyi=15xi2−5x2=72.6−5×3×4.255−5×32=0.96
a=y−bx=4.2−0.96×3=1.32, (4 分)
所以,回归直线方程为 y=0.96x+1.32 (5 分)
(2)由题意知随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3,则:
PX=0=C40C53C93=1×1084=542.(7 分)
PX=1=C41C52C93=4×1084=1021.(8 分)
PX=2=C42C51C93=6×584=514 (9 分)
PX=3=c43c50c93=484=121. (10 分)
(11 分)
故均值 EX=0×542+1×1021+2×514+3×121=43 . (13 分)
16.【参考答案】
(1)解:在 △BCD 中，设 AB=h ，由题意知 BC=3ℎ,BD=h ， CD=200 ，且 ∠BCD=30 (1 分)
由余弦定理, BD2=BC2+CD2−2⋅BC⋅CD⋅cs30∘
代入得: h2=3ℎ2+2002−2⋅3ℎ⋅200⋅32 (3 分)
化简得: h2=3 h2+40000−600 h ,即 h2−300 h+20000=0
解得 h=100 或 h=200 (5 分)
由 “点 D 位于点 B 的南偏西方向” 可知, B 必在 D 的东北方向,从而 B 的横坐标应大于 D 的横坐标。由 BC=3h,D 点向东位移为 1003 米,可得 3 h>1003 ,即 h>100 。 故只能取 h=200 (7 分)
所以山高 AB=200 米。 (8 分)
(2)由第(1)问知，山高 AB=200 米。因为缆车在点 M 处转换坡度，故两段缆车各上升 100 米。设第一段(倾斜角 15°)的水平距离为 x1 ，第二段(倾斜角 30°) 的水平距离为 x2 . (9 分)
则有: tan15∘=100x1 ,所以 x1=100tan15∘ ;
tan30∘=100x2 ,所以 X2=100tan30∘ ; (11 分) 因此，山脚下缆车上车点到 B 点的距离为
x1+x2=100tan15∘+100tan30∘ (12 分)
利用常用三角函数值: tan15∘=2−3,tan30∘=33 ,
得 x1+x2=1002+3+1003=200+2003 (14 分)
故山脚下缆车上车点到 B 点的距离为 2001+3 米。 (15 分)
17. 【参考答案】
解: (1) 圆 C2:x−22+y−22=1 ,圆心 C22,2 ,半径 r=1 . 由题意可知直线 1 的斜率 k 存在,设直线 l 的方程为 y−3=kx+3 ,即 kx−y+3k+3=0⋯1分
由于直线 l 与圆 C2 相切,所以 d=5k+1k2+1=1 ,解得 k=0 或 −512 , (4 分)
所以直线 l 的方程为y=3 或 5x+12y−21=0 (6 分)
(2)记点 A 关于 x 轴的对称点为 A′ ，则 A′−3,−3 .
由于反射光线所在直线经过点 A′ ,且斜率存在,设反射光线所在直线 l:y+3=kx+3 ,即 kx−y+3k−3=0 .
又圆 Cn 的圆心为 Cn2,n ,半径 r=1 ,直线 l 与圆 Cn 相切,则 d=5k−n−3k2+1=1 ,
整理得24k2−10n+3k+n2+6n+8=0 (8 分)
则两条切线的斜率之积k1k2=n2+6n+824 . (10 分)
所以1an=24n2+6n+8=121n+2−1n+4. (13 分)
Sn=1a1+1a2+⋯+1an=1213−15+14−16+⋯+1n+2−1n+4=12712−1n+3−1n+40 ,故 x2>0 ,因此 m′x 的符号由 x2−a 的符号决定。
分情况讨论:
① 当 a≤0 时
对任意 x>0 ,都有 x2−a>0 ,故 m′x>0 .
所以函数 mx 在区间 0,+∞ 上单调递增。 (6 分)
② 当 a>0 时
当 00时,mx在0,a上单调递减,在a,+∞上单调递增。 (8 分)
(3)由 hx=fx−gx=lnxx−x2−2ex+a ，要使函数 hx 至少存在一个零点,只需方程 lnxx−x2+2ex−a=0 在 0,+∞ 上至少有一个解。
移项得 a=lnxx−x2+2ex . 设 φx=lnxx−x2+2ex,x>0 . (9 分) 则问题转化为:求函数 φx 的值域。
将 φx 拆成两个函数: ux=lnxx,vx=−x2+2ex ,则 φx=ux+vx .
先讨论 ux 的单调性。
因为 u′x=1−lnxx2 , (10 分)
所以: 当 0e 时, u′x