湖南省郴州市2026届高三上学期第一次教学质量监测数学试卷（Word版附解析）

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（命题人：李素钰 李海涛 周二宏 审题人：陈伟 张凯 汪昌华）
一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A. 19B. 29C. 30D. 31
4. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ）
A. 5B. C. D.
5. “湘超”足球比赛正在如火如荼进行中，某企业赞助一批足球训练设备给甲、乙、丙三个球队.这批设备分别为个相同的跳箱和箱相同的药球.要求每队至少有一个跳箱，且药球不能全部分配给同一球队，则不同的分配方案有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
6. 已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ）
A 2B. 3C. 4D. 5
7. 函数对，且为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若时，则
B. 的周期为6
C. 的图象关于中心对称
D.
8. 设，，，则，，的大小关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知函数，则（ ）
A. 的最大值为2
B. 在上单调递增
C. 在上有2个零点
D. 把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若事件满足，且，则相互独立
B. 数据的第75百分位数为11
C. 已知随机变量，则
D. 回归分析中，决定系数越大，说明残差平方和越小，回归方程拟合效果越好
11. 在棱长为的正方体中，点在侧面所在平面内运动，为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 当在线段上运动时，恒有
B. 当为正方形的中心时，与所成角的正弦值为
C. 若点满足，则平面截正方体所得的截面面积为
D. 直线和与平面所成角相等时，动点的轨迹为圆
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知向量，若与的夹角为锐角，且，则实数的值为__________.
13. 在的展开式中，若的系数为，则__________.
14. 已知实数，不等式恒成立，则实数的最大值为__________.
四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 在中，角所对的边分别为，已知是边上的中线，且.
（1）求角的大小；
（2）求及的面积.
16. 湘绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，有着两千多年的历史.湘绣的制作工艺繁杂，一幅湘绣作品要经过设计图案和刺绣两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，两个环节相互独立.只有同时通过这两个环节才能成为成品.某绣坊准备制作三幅不同的湘绣作品，已知三幅作品通过设计图案环节的概率依次为，通过刺绣环节的概率依次为.
（1）求三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节的概率；
（2）若已知三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节，求通过的作品为的概率；
（3）经过设计图案和刺绣两个环节后，三幅作品成为成品作品的件数为.求随机变量的分布列及数学期望.
17. 在四棱锥中，底面为直角梯形，满足，底面.点为棱的中点，点为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成夹角的余弦值；
（3）设点为三棱锥内切球球面上一动点，求三棱锥体积的最大值.
18. 已知双曲线的左右顶点分别为，实轴，且左焦点到其中一条渐近线的距离为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过左焦点的直线交双曲线左右两支于两点（点位于第一象限），直线与相交于点.
（i）求证：点在定直线上；
（ii）求证：射线平分.
19. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，定义数列满足：，
（i）证明：；
（ii）结合（i）的结论，证明：.