山东省中学联盟2026届高三下学期普通高中学业水平4月调研数学试卷含解析（word版+pdf版）

这是一份山东省中学联盟2026届高三下学期普通高中学业水平4月调研数学试卷含解析（word版+pdf版），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合 均为 的子集，且 ，则 为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】.
2. 已知复数 ，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
3.已知抛物线 的准线被圆 截得的弦长为 4, 则 的值为
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】A
【解析】抛物线 的准线为 . 代入圆 得 .
设交点纵坐标为 ,则弦长为 .
4.某实验最近 100 天的数据 (单位: )绘制成如图所示的频率分布直方图， 则估计该实验数据的第 80 百分位数为
A. 4.8 B. 5 C. 5.2 D. 5.4
【答案】D
【解析】由图得各组组距都为 1,设图中 对应的频率为 ,则
.
累计频率为 .
故第 80 百分位数在第 4 组, .
5.设 的内角 的对边分别为 ,若 ,且 ,则 △ 的外接圆半径为
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】D
【解析】由正弦定理 ,
得 .
又 ,
代入得 ,
而 ,
故 .
6.若直线 过点 ，则 的最小值为
A. 7B. C. 6 D.
【答案】C
【解析】由题意得 .
设 ,则 .
令 ,则 .
当 时,等号成立,故最小值为 6 .
7.已知函数 在定义域 上单调递减,且函数 的图象关于点 对称,不等式 的解集为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由 的图象关于点 对称,
得 . 令 ,则 ,即 为奇函数.
原不等式化为 . 又 在 上单调递减,故 ,
. 由定义域得 ,
且当 时, ,故 .
8.半正多面体是以边数不全相同的正多边形为面的多面体. 如图所示,某半正多面体由 4 个正三角形和 4 个正六边形构成，其可由正四面体切割而成，已知 ，若在该半正多面体内放一个球, 则该球表面积的最大值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设原正四面体棱长为 ,切下的小正四面体棱长为 , 则 . 原正四面体高 ,其内切球半径 . 截面与对面平行，且小正四面体与原正四面体相似比为 ，故截面到对应原面的距离为 ,球心到截面的距离为 . 所以原正四面体的内切球完整保留在该半正多面体内. 又该半正多面体在原正四面体内,故最大半径就是 , 从而.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.在菱形 中, ,点 满足 ,则
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】设 ,则 , 对.
对.
,若 ,则 ,比较系数得 ,矛盾, B 错.
，D 对.
10.数字1,2,3,4,5,6按如图形式随机排列，设第一行的数为 ，第二、三行中的最大数分别为 ,第二、三行中的最小数分别为 ,则
A. 排列总数为 720 个B. 的概率为
C. 的概率为 D. 满足 的排列有 120 个
【答案】ABC
【解析】总排列数 ，A 对.
时，第二行为 5 与1,2,3,4中的一个, , B 对.
的反面为 ,此时除第一行外的 5 个数中, 第二行恰为较小的 2 个, 第三行恰为较大的 3 个, ,故 , C 对.
若 ,则 6 必在第三行. 当 时,第二行选法数分别为 故 , D 错.
11.设函数 的极小值点为 ,则
A. 的单调递增区间为 和
B. 有且仅有两条斜率为 2 的切线
C.
D.
【答案】AD
【解析】 时 ,
在 上单调递增,注意到 ,
唯一的 使 且当 时, 单调递减;
时, 单调递增, 为 的极小值点 时, 在 上单调递减,作出 大致图象如下: 正确.
当 时, ,当 时,
令 ,
令
唯一的 使 有且仅有一条斜率为 2 的切线, B 错.
对于 错.
对于
.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.数列 满足 ，则 ________.
【答案】
【解析】设 ,则 ，
，
所以 是等差数列,且 ，
.
13.已知函数 的部分图象如下图所示,图中阴影部分的面积为 ，则 _______.
【答案】
【解析】设阴影区域内同一高度 与两支相邻图象的交点横坐标分别为 ,则 ,
,
又由图得 在图象上, ,
.
14.一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件 “第 次命中目标” ， ，则 ________.
【答案】
【解析】
.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知等差数列 和正项等比数列 满足 ，
(1)求 和 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
【解析】(1)由数列 是等差数列及 ，得 ，
由数列 是等比数列及 ,得 .
设数列 的公差为 ,数列 的公比为 ,
则有 解得 或 (舍),
所以 和 的通项公式为 .
(2)由(1)，得 ，
所以
.
16.如图所示，在所有棱长都为2的三棱柱 中，点 是棱 的中点， .
(1)求证:平面 平面 ；
(2)若 ，点 是线段 上的一个动点，若直线 与平面 所成角的正弦值为 ,求线段 的长度.
【解析】(1) 取 的中点 ,连接 .
因为 为 中点, 为 中点,所以 .
在三棱柱 中, ,则四边形 是菱形,
得 ,则 ,又 ,
平面 ,所以 平面 .
又因为 平面 ,所以 .
因为 是等边三角形, 为 中点,所以 .
又因为 平面 ,所以 平面 .
又因为 面 ,所以平面 平面 .
(2)连接 .
因为 ,所以 是等边三角形,所以 .
又平面 平面 ,平面 平面 平面 , 所以 平面 .
由 平面 ,得 ,又 ,
如图,以 为原点,以 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 .
则 ,
设 ,则 ,
易知平面 的一个法向量 ,
设直线 与平面 所成角为 ,则
令 ,解得 ,此时 ,所以线段 .
17.某商场进行消费抽奖活动, 抽奖分成两轮, 第一轮游戏消费者投掷一枚质地均匀的硬币,若正面朝上，进入第二轮游戏，否则游戏结束，消费者获得三等奖; 第二轮游戏消费者在装有 2 个白球和 且 个红球的抽奖箱中任意抽取两个球，若抽取的两个球均为白球，则获得一等奖，奖金 30 元，若抽取的球为一个红球一个白球, 则获得二等奖, 奖金 20 元, 若抽取的球均为红球, 则获得三等奖, 奖金 10 元, 抽奖箱中的所有小球, 除颜色外均相同.
(1)若 ，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；
(2)记顾客一次抽奖所获得的奖金为 ，若商场希望 的数学期望小于 12 元，求 的最小值.
【解析】
(1)可分为两种情况:
消费者第一轮游戏反面朝上，其概率为 ;
消费者第二轮,且摸出 2 个球均为白球,其概率为 ,
故当 时,消费者参加一次抽奖活动获得三等奖的概率为 .
(2)由题意可得 的可能取值有10,20,30,
且 ,
则 ,
化简可得 ,
由题意可得 ,即 ,即 或 ,
又 ,所以 的最小值为 9.
18.已知函数 ,其中 .
(1)若曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 的值;
(2)若函数 在定义域内不单调，求 的取值范围；
(3)若 ，对任意的 恒成立，求 的最小值.
【解析】(1)因为 ，切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，
所以切线与 轴交点的坐标为 .
所以切线斜率 ,
所以 的值为 -1 或 2 .
(2)由题意得 .
① 在 单调递减，
存在 ,使得 ,
所以 在 单调递增,在 单调递减,即 不单调.
② 在 单调递增,
在 单调递减,
,令 ,即 ,
此时存在 ,使得 ,
所以 在 单调递减,在 单调递增,在 单调递减, 即 不单调.
综上所述 的取值范围为 .
(3)由(2)知当 时， 在 单调递减，
存在 ,使得 ,
所以 在 单调递增,在 单调递减,
所以 ,即 ,
,令
因为
当 时, 单调递增,当 时, 单调递减,
当 时, 单调递增, ,
所以 ,
所以 的最小值为 .
19.已知 是坐标原点，双曲线 左顶点 ， 直线 过点 交 的右支于 两点,记 的面积分别为 . 且当直线 与 轴垂直时, .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)已知直线 交 轴于点 ，
(i) 若 ,求证: 为定值;
(ii) 在 (i) 条件下,若 ,当 时,求 的取值范围.
【解析】(1)由题意知 ，
双曲线 的标准方程为
(2)(i)设直线 的方程为 ，
①
为定值.
(ii) 设 ,图中
且由
而
令 .