山东中学联盟2026届高三普通高中学业水平4月调研数学试卷 附解析

这是一份山东中学联盟2026届高三普通高中学业水平4月调研数学试卷 附解析，共4页。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用黑色签字笔写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知M，N均为R的子集，且，则为（ ）
A. MB. NC. D. R
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意作出韦恩图，结合韦恩图分析求解.
【详解】因为M，N均为R的子集，且，作出韦恩图，
由韦恩图可知：.
故选：A.
2. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由复数除法求出复数，再求共轭复数的模长.
【详解】，所以，所以.
3. 已知抛物线的准线被圆截得的弦长为4，则的值为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】A
【解析】
【详解】抛物线的准线方程为，
圆化为标准方程，
圆心为，半径，
圆心到准线的距离，
利用圆的弦长公式：得：，
解得，
平方得，即，
所以，
又因为，
所以.
4. 某实验最近100天的数据（单位：）绘制成如图所示的频率分布直方图，则估计该实验数据的第80百分位数为（ ）
A. 4.8B. 5
C. 5.2D. 5.4
【答案】D
【解析】
【分析】利用频率分布直方图求，找该实验数据的第80百分位数，即在横轴找一个点使得它左侧小矩形的面积之和等于即可.
【详解】由题意，
解得，
由频率分布直方图可知，该实验数据的第80百分位数位于区间
设该实验数据的第80百分位数为，则
，
解得.
5. 设的内角，，的对边分别为，，，若，且，则的外接圆半径为（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】利用二倍角公式及余弦定理角化边，然后因式分解得到为直角三角形，进而求得外接圆半径.
【详解】.
由余弦定理得，，
整理得，，即.
又，所以.
所以是以为斜边的直角三角形，
所以外接圆半径为.
6. 若直线过点，则的最小值为（）
A. 7B. C. 6D.
【答案】C
【解析】
【详解】直线过点，代入得，即，且，
由此解得（），代入目标函数并化简得：
，
，
因为，所以，
所以由基本不等式，
得：，
当且仅当即时取等，
故的最小值为.
7. 已知函数在定义域上单调递减，且函数的图象关于点对称，不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性，将不等式变成，利用函数单调性求解即可.
【详解】函数的图象关于点对称，
则函数的图象关于原点对称，即，
从而等价于，即
由函数在定义域上单调递减，
则，解得.
8. 半正多面体是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图所示，某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成，已知，若在该半正多面体内放一个球，则该球表面积的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析出球心的位置，得出半正多面体所在的正四面体的高，求出点到正六边形所在平面的距离，到正三角形所在平面的距离，即可求出当球的表面积最大时该球的半径，进而得出表面积.
【详解】由题意，半正多面体由个正三角形和个正六边形构成，其可由正四面体切割而成，当球的表面积最大时，该球的球心即为半正多面体所在正四面体的外接球的球心，记球心为.
，易得，已知为正三角形，所以，，同理，
易知点为中心，所以，
则该半正多面体所在的正四面体的高为：，
设点到正六边形所在平面的距离为，过点作于，
由几何知识得，∴，即，
解得：，
∴当球的表面积最大时，该球的半径为，表面积为.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在菱形中，，点满足，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据数量积的定义结合可判断A；由题意判断出的位置，利用反证的思想可判断B；根据向量线性运算可判断C；根据数量积的运算律可判断D.
【详解】对于A，在菱形中，由，
得，所以，故A正确；
对于B，由得是的中点，由得是上靠近点的三等分点，若，则应为的中点，与是的三等分点矛盾，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：
，故D正确.
10. 数字1，2，3，4，5，6按如图形式随机排列，设第一行的数为，第二、三行中的最大数分别为，第二、三行中的最小数分别为，则（ ）
A. 排列总数为720个B. 的概率为
C. 的概率为D. 满足的排列有120个
【答案】ABC
【解析】
【分析】A全排列即可；B利用排列组合知识求出所有情况，再结合古典概型的概率公式；C计算满足的所有情况；D根据分、、三种情况讨论.
【详解】共有种排法，故A正确；
若，则可取，共有种排法，
则的概率为，故B正确；
现讨论的所有情况，
若，则第三行其余两数从中选取，，，共有种；
若，则第三行其余两数是，共有种，
则的概率为，故C正确；
若，则，，，
若，则先将安排下去，再排列其他元素，共有种；
若，则在第三行，先另选一个元素与共同排在第三行，再安排元素，最后排列其他元素即可，共有种；
若，则须在第三行，共有种；
则满足的排列有个，故D错误.
11. 设函数的极小值点为，则（ ）
A. 的单调递增区间为和
B. 有且仅有两条斜率为2的切线
C.
D.
【答案】AD
【解析】
【分析】求导，结合零点存在性定理即可判断函数的单调性，进而可求解ACD，根据构造，，即可求解方程的根判断B.
【详解】由题意可得，
则当时，，
令，则，
易知为单调递增函数，令解得，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
又当时，，
，，
所以存在使得，
因此当时，，，此时在单调递减，
当时，，，此时在单调递增，
故是函数的极小值点，
当时，，
令，则，
易知为单调递减函数，令解得，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
所以当时，，在上单调递增，
因此的单调递增区间为和，A说法正确；
由于，所以，即，C说法错误；
因为，所以，
所以，
令，则，
令解得，所以当时，单调递减，
因为，
所以，即，所以，
所以，
所以，即，D说法正确；
当时，令，解得，
令，则，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以的最小值为，
又当时，，
所以在上存在唯一零点，
当时，令，解得，
令，则，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以的最大值为，
所以在上不存在零点，
综上有一个根，B说法错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 数列满足，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】对原式进行化简，构造新数列为常见数列求通项进而求解
【详解】等式两边同时乘以，得
所以
移项得
设，则化简后的式子可表示为
即第项减去第项等于第项减去第项
故数列是等差数列
设公差为，则数列表示首项为，
公差的等差数列，
所以
13. 已知函数的部分图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则___________．
【答案】
【解析】
【详解】如图：
①和②面积相等，故阴影部分的面积即为矩形的面积，由图可得，又面积为，所以.设函数的最小正周期为T，则.
由题意得，解得，
即，又，解得.
14. 一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件“第次命中目标”，，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意两次利用全概率公式依次求出、.
【详解】由题意知，，
所以，
因为，，
所以.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知等差数列和正项等比数列满足，，．
（1）求和的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
【答案】（1）；，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列和等比数列的性质求出，再列方程组求解；
（2）利用分组求和以及等差、等比求和公式计算.
【小问1详解】
设的公差为，数列的公比为，
由，得，
因为，，所以，，得，，
故，；
【小问2详解】
由（1）可知，，
则
16. 如图所示，在所有棱长都为2的三棱柱中，点是棱的中点，．
（1）求证：平面平面；
（2）若，点是线段上的一个动点，若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）如图，由题意可得，根据线面垂直的判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
【小问1详解】
取的中点，连接，，，因为为中点，为中点，
所以，在三棱柱中，，
则四边形是菱形，得，则，又，
，，平面，所以平面，
又因为，平面，所以，因为是等边三角形，为中点，所以，
又因为，，平面，所以平面，又因为平面，
所以，平面平面.
【小问2详解】
连接，因为，，所以是等边三角形，所以，又平面平面，
平面平面，平面，所以平面，得，，又，
如图，以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设，则，
，易知平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，
则，令，解得，
此时，所以线段.
17. 某商场进行消费抽奖活动，抽奖分成两轮，第一轮游戏消费者投掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，进入第二轮游戏，否则游戏结束，消费者获得三等奖，奖金10元；第二轮游戏消费者在装有2个白球和个红球的抽奖箱中任意抽取两个球，若抽取的两个球均为白球，则获得一等奖，奖金30元，若抽取的球为一个红球一个白球，则获得二等奖，奖金20元，若抽取的球均为红球，则获得三等奖，奖金10元，抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同．
（1）若，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；
（2）记顾客一次抽奖所获得的奖金为，若商场希望的数学期望小于12元，求的最小值．
【答案】（1）
（2）9
【解析】
【小问1详解】
硬币只有正反两面，第一轮反面朝上的概率为；
当时，抽奖箱中有2个白球和4个红球，从6个球中任意摸出2个球的组合数为，从4个红球中任意摸出2个球的组合数为，
第二轮摸到2个红球的概率为；
第一轮硬币正面朝上且第二轮摸到的2个球均为红球的概率为；
顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率为.
【小问2详解】
由题意得，的所有可能取值为10，20，30.
商场希望的数学期望小于12, ，即
化简得，解得或.
且，的最小值为9.
18. 已知函数，其中．
（1）若曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的值；
（2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围；
（3）若，对任意的,恒成立，求的最小值．
【答案】（1）或2
（2）
（3）
【解析】
【分析】(1) 先对函数求导，结合导数的几何意义求出函数在处的切线方程，再求切线与坐标轴的交点，由此可求结论；
(2)因为函数在定义域内不单调，所以其导数在定义域内有正有负，即在上有解，且解的两侧导数符号不同；对求导，根据参数分离的方法整理导函数，分析导函数对应的函数的单调性、最值，再根据导数有正有负的条件求出的取值范围；
(3)因为对任意恒成立，所以；对求导，分析的单调性，求出的表达式，得到与的关系，从而将转化为关于的函数，再通过求导分析该函数的单调性，进而求出最小值.
【小问1详解】
，.
当时，，.
曲线在点处的切线方程为.
令时，;令时，;
该切线与坐标轴围成的三角形的面积
由题意知，即，解得或
的值为或2.
【小问2详解】
函数的定义域为；由，解得.
令，则函数不单调的充要条件是其导函数变号，
这等价于大于的最小值.
由，令，解得
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
，即，解得.
的取值范围是
【小问3详解】
，函数的定义域为，，
设，则
在上单调递减
令，则
，，
在上单调递减，且当时，
，，
又，在上单调递减，
，使得，即，得
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
,恒成立，
,,，解得
令，
则
令，解得或
∵ ，∴ ，故 舍去，解得 ”
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
的最小值为.
19. 已知是坐标原点，双曲线左顶点，直线过点交的右支于两点，记的面积分别为，．且当直线与轴垂直时，．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知直线交轴于点，
（i）若，求证：为定值；
（ii）在（i）条件下，若，当时，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）（i）为定值，证明过程见解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据双曲线特征和三角形面积得到双曲线方程；
（2）（i）设出直线，联立双曲线方程，根据向量关系进行求解；
（ii）在（i）基础上，用表达出，求出取值范围.
【小问1详解】
由题意得，
当直线与轴垂直时，，即，即，
故，将其代入中，得，
所以双曲线方程为；
【小问2详解】
（i）显然直线不为0，故设直线为，
又直线交轴于点，故直线与轴不垂直，故，
与联立可得，
，
设，则，
过点交的右支于两点，故，不妨设，
，即，
即，解得，，
，同理可得 ，，
则；
（ii）由于，由几何关系可得，
其中，故，整理可得，
又，，
所以，
由（i）知，，，
故，又，，
故，整理得，，
令，则，，
所以，
由对勾函数可知在上单调递增，
故.