河南省青铜鸣2026届高三下学期4月内部练数学试卷解析版

这是一份河南省青铜鸣2026届高三下学期4月内部练数学试卷解析版，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为 ,所以 .
2. 复数 的实部为
A. -4 B. -3 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】 ,则 的实部为 -4.
3.函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象,则
A. -5B. C. D. 5
【答案】D
【解析】由题意可知,函数 的图象向左平移 个单位长度得到 的图象,则
4.已知单位向量 满足 ,则 与 的夹角为
A. 135° B. 90° C. 60° D. 45°
【答案】B
【解析】由 两边平方得, ,所以 ,所以 ,则 ,故 与 的夹角为 .
5.已知 是函数 图象的一条对称轴,且 的周期为 4,当 时, ,则
A. 1 B. 0 C. -1 D.
【答案】C
【解析】因为 的周期为 4,所以
又 是函数 图象的一条对称轴,所以 ,
则 .
6.记 为等差数列 的前 项和,已知 ,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设等差数列 的公差为 ,则
所以 ,则 .
7.已知点 ,点 是圆: ( 为实数) 上一动点,其中点 为此圆的圆心,则 的最大值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】圆: 的圆心为 ,半径为 ,
当直线 与圆相切时, 取得最大值,在
中, ,
要使 最大,则 取得最小值,所以 的最大值为 .
8.已知函数 ,则不等式 的解集为
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】令 ,
因为 ,所以 为奇函数,
设 ,则 为偶函数,
当 时, 单调递增,且 为增函数,且 ,
所以 在 上单调递增,故 在 上单调递减.
不等式 化为 ,即 ,
又 ,所以 ,即 ,
所以 ,则 或 ,解得 或 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知函数 ,则
A. 曲线 在点 处的切线方程为
B. 在 上单调递增
C. 在 上有极大值 -11
D. ,使得
【答案】AC
【解析】 的定义域为 ,则 ,
则 ,又 ,所以曲线 在 处的切线方程为 , 即 正确;
令 ,即 ,解得 或 , 所以 在 和 上单调递增, 令 ,即 ,解得 或 ,所以 在 和 上单调递减，B 错误；
由上可知, 在 上有极大值,且 , C 正确;
由上知, 在 上有最小值,且 ,所以不存在 ,使得 , D 错误.
10.在平面直角坐标系 中,已知 ,点 在 轴上运动,点 在 轴上运动,且 ,动点 满足 ,记动点 的轨迹为 ,则
A. 的方程为
B.
C. 的最大值为 9
D. 曲线 上有且仅有两点到直线 的距离为 1
【答案】BCD
【解析】设 , 由 ,得 ,
,因为 ,
所以
则 解得 代入 ,得 ,
所以 的方程为 , A 错误;
,又 ,所以当 时, 取最小值 1,
当 时, 取最大值 3,所以 正确;
易知 是椭圆 的两焦点,所以 ,
则 ,当且仅当 时取得等号, 正确;
整理得 ,因为 ,
所以直线 与椭圆 没有交点,
设直线 与椭圆 相切,将 代入 得 ,
则 ,解得 ,
当 时,平行直线 与 之间距离为 ,
即曲线 上点到 的最大距离为
当 时，平行直线 与 之间距离为 ,
即曲线 上点到 的最小距离为
所以曲线 上只有两点到直线 的距离为 1, D 正确.
11.记 为数列 的前 项和,已知 为实数,则
A. 当 是等比数列时,则 ,且
B. 当 时,则
C. 当 时,数列 的前 项和为
D. 当 时,数列 第 7 项的值最大
【答案】ACD
【解析】由 ,得当 时, ,所以 ,
则 ,整理得 , 当 是等比数列时,则 为非零常数,
所以 解得 ,且 正确；
当 时,由上可知, ,当 时, ,所以 ,
此时 是公比为 的等比数列,所以 ,
因为 ,所以 , B 错误;
当 时, ,当 时, ,所以 ,此时 是公比为 2 的等比数列,
则 ,设数列 的前 项和为 ,
所以 ,
所以 ,则 1) 正确;
当 时, ,当 时, ,
所以 ,此时 是公比为 的等比数列, 所以 ,
设 ,则
令 ,即 ,
当 时,易知函数 单调递减,
当 时, , 而 ,所以 .
当 时， ，而 ,所以 ,
综上知,当 时, ,当 , 时, ,
即 ,
所以数列 第 7 项的值最大, 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知一组样本数据7,9,10,5,6,11,8,12,4,10,则该组数据的下四分位数为________.
【答案】6
【解析】将该组数据从小到大排列为:4,5,6,7, 8,9,10,10,11,12,因为 ,所以该组数据的下四分位数为 6 .
13.已知圆台的体积为 ，上底面半径为 1，母线与下底面所成角的余弦值为 ，则该圆台的下底面半径为_______.
【答案】2
【解析】如图所示,梯形 为圆台的轴截面,过点 作 ,垂足为 ,
由题意可知 为母线与下底面所成的角,则
设下底面半径为 ,则 , 所以 ,
所以 ,所以 ,则 ,解得 .
14.已知抛物线 的焦点为 ,过点 且斜率不为零的直线与 交于 两点,线段 的垂直平分线与 轴交于点 ,若 ,则 ________.
【答案】6
【解析】设直线 的方程为 ，
由 整理得 ,
则 ,
所以 ,则
设线段 的中点为 ,则 ,
所以线段 的垂直平分线的方程为
令 ,解得 ,即 , 所以 ,
又 ,所以 ,解得 ,
所以 ,故 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.设 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求
(2)若 的面积为 ，求 的值 .
【解析】(1) 由 ,得 ,即 (2 分)
由余弦定理得 , (4 分)
因为 ,所以 . (6 分)
(2)由 的面积为 ，得
则 ,又 ,所以 , (8 分)
代入 ,得 ,解得 (10 分)
由正弦定理,得 ,
所以 , (12 分)
故 . (13 分)
16.甲、乙两人进行比赛, 采用三局两胜制, 即先胜两局者获胜, 比赛结束. 已知甲第一局获胜的概率为 ,从第二局开始,若甲上一局获胜,则该局甲获胜的概率为 ,若甲上一局失败，则该局甲获胜的概率为 ，且每局比赛没有平局.
(1)求第二局比赛甲获胜的概率;
(2)设比赛结束甲获胜的局数为 ，求 的分布列和数学期望.
【解析】(1) 记第 局甲获胜为事件 ,
则 (3 分)
第二局比赛甲获胜的概率为 (6 分)
(2) 的可能取值为 0,1,2 ， (7 分)
(8 分)
(10 分)
(12 分)
所以 的分布列为
(15 分)
17.如图，在 中， ， ，D为 的中点，过 作 ， 交 于 ,将四边形 沿 翻折至四边形 ,使得平面 平面 .
(1)证明: 是直角三角形.
(2)若 ， ， ， ， ， 五点均在球 的球面上.
(i)求球 的表面积；
( ii ) 求平面 与平面 夹角的余弦值.
【解析】
(1) 证明: 因为 ,所以 , , (1 分)
因为平面 平面 ,且平面 平面 ,
所以 平面 . (2 分)
因为 平面 ,所以 . (3 分) 故 是直角三角形. (4 分)
(2)(j)由(1)知， 两两互相垂直，以 为原点,以 所在直线分别为 , 轴建立如图所示空间直角坐标系,则 ,
因为 ,所以四边形 的外接圆的圆心 为 的中点,则
因为 平面 ,设 , (7 分)
设半径为 ,
由 ,得
解得 , (8 分)
所以 (9 分)
故球 的表面积为 . (10 分)
(ii) 易知平面 的一个法向量为 , 0); (11 分)
设平面 的法向量为 ,
由
得 取 ,则 , (13 分)
设平面 与平面 的夹角为 ,
于是 ,(14 分)
故平面 与平面 夹角的余弦值为 .(15 分)
18.已知 分别是双曲线 的左、右顶点,且 . 动点 在 上,当 时, .
(1)求 的标准方程.
(2)已知 是 的右支上不同于 的两点.
(i)若线段 的中点为 ，证明:直线 的斜率为定值；
(ii) 若点 ，直线 ， 的斜率互为相反数，且 ，求 的面积.
【解析】(1) 根据题意可知,
即 (2 分)
解得 , (3 分)
故 的标准方程为 . (4 分)
(2)(1)证明:设 ，则 (5 分)
两式相减,并整理得, , (6 分)
因为线段 的中点为 ,所以 (7 分)
所以 , (8 分)
整理得 , (9 分)
故直线 的斜率为定值 . (10 分)
(ii) 设直线 的方程为 ,
因为直线 的斜率互为相反数,则直线 的方程为 ,
联立 整理得 ,由 ,得
则 ,所以 (12 分)
同理 ,(13 分)
所以 的面积为
(14 分)
设 的倾斜角为 ,则 的倾斜角为 , 当 时, ,
解得 ,
当 时,
解得 ,
所以 , (16 分)
故 . (17 分)
19.已知函数 .
(1)当 时，求 的极值；
(2)当 时，证明: ；
(3)已知 ,证明: .
【解析】(1) 当 时, 的定义域为 , (1 分)
(2 分)
当 时, ; 当 时,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减， (3 分)
故 的极大值为 ，无极小值.
(2)证明:当 时，设
则 , (5 分)
设 ,则
因为 在 上均单调递减,所以 在 上单调递减,
又 ,所以存在 ,使得 . (6 分)
当 时, ,当 时,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减, (7 分)
因为 ,
所以存在 ,使得 ,(8 分) 当 时, ,当 时,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减, (9 分)
又 ,
所以 在 上恒成立, 故 . (10 分)
(3)证明:由(1)可知， 0,即 ,当 时取得等号.(11 分)
设 ,则 ,所以 在 上单调递增,(12 分)
因此 ,所以 ,则 ,
故 .
取 ,则 ,所以 ,(14 分)
因此 ,
所以 1), (15 分)
由 (2) 得 ,
取 同理得 , (16 分)
综上可知, (17 分)0
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