【备考2026】辽宁省中考模拟数学试卷1（含解析）

这是一份【备考2026】辽宁省中考模拟数学试卷1（含解析），共16页。
1．（3分）如图所示，从左面看正三棱柱看到的图形是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）2025年2月12日，中国载人航天工程办公室宣布，载人月球探测任务的登月服命名为“望字”．已知月球距离地球的距离约为384000km，将384000用科学记数法表示为（ ）
A．3.84×105B．384×103C．3.84×103D．0.384×106
3．（3分）剪纸是中国的一项民间艺术，人们将剪好的图案贴在门、窗、灯笼等上面，以表达感情及生活感受．以下是某中学剪纸社团的部分作品，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3m﹣2m＝1B．（﹣m3）2＝m6C．2m3•m＝3m4D．m9﹣m4＝m5
5．（3分）将分别标有“最”、“美”、“龙”、“飞”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字以外其它完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“龙飞”的概率是（ ）
A． QUOTE B． QUOTE C． QUOTE D． QUOTE
6．（3分）如图，BC∥DE，点M、D分别在BC、AB上，MN⊥AB于点N，若∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．120°B．100°C．140°D．130°
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD边的中点，G为AD边上的一点，将矩形沿BG翻折使得点A落在EF上，点A对应点为点A′．若AB＝6，则四边形ABA′G的面积为（ ）
A．9B．12 QUOTE C．15D．8 QUOTE
8．（3分）在平面直角坐标系内，将点P（m，n）先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的点的坐标是（ ）
A．（m﹣2，n﹣1）B．（m+2，n+1）C．（m﹣1，n﹣2）D．（m+1，n+2）
9．（3分）某种品牌的电动车经过四，五月份连续两次涨价，每辆售价由3000元涨到了3600元，设平均每月涨价的百分率为x，根据题意可列出的方程是（ ）
A．3000（1+x）2＝3600B．3000（1﹣x）2＝3600
C．3600（1+x）2＝3000D．3600（1﹣x）2＝3000
10．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝82°分别以点A，点B为圆心，大于 QUOTE 长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线MN交BC于点D，连接AD．若DA平分∠CDN，则∠CAD的度数为（ ）
A．35°B．36°C．37°D．38°
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上8℃记作+8℃，则零下5℃记作 ℃．
12．（3分）如图是某反比例函数图象的一支，根据图象回答下列问题：
（1）举出一个合乎情理且符合图象的生活实例；
（2）写出你所举的例子中两个变量的函数表达式，并指出自变量的取值范围；
（3）说出图象中点A在你所举例子中的实际意义．
13．（3分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择 ．
14．（3分）数学小组研究如下问题：某地的纬度约为北纬28°，求北纬28°纬线的长度．小组成员查阅资料，得到如下信息：
信息一：如图①，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；
信息二：如图②，某地球仪赤道半径OA约为50cm，弦BC∥OA，以BC为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度．
根据以上信息，该地球仪北纬28°纬线的长度约为 cm．
（参考数据：π≈3，sin28°≈0.47，cs28°≈0.88，tan28°≈0.53）
15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是 QUOTE ，以AO为边作菱形OABC，若点C在x轴上，点B在第二象限，则点B的坐标为 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（10分）计算：
（1） QUOTE ；
（2） QUOTE ．
17．（8分）中考在即，罗晓在文教店用1200元购进了甲、乙两种品牌碳素笔．已知甲种碳素笔进价为每支12元，乙种碳素笔进价为每支10元．文教店在销售时甲种碳素笔售价为每支15元，乙种碳素笔售价为每支12元，全部售完后共获利270元．
（1）求这个文教店购进甲、乙两种碳素笔各多少支？
（2）若该文教店以原价再次购进甲、乙两种碳素笔，且购进甲种碳素笔的数量不变，而购进乙种碳素笔的数量是第一次的2倍，乙种碳素笔按原售价销售，而甲种碳素笔降价销售，当两种碳素笔销售完毕时，要使再次购进的碳素笔获利不少于340元，甲种碳素笔最低售价每支应为多少元？
18．（8分）学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如下不完整的统计表和统计图．
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）该调查统计数据的中位数是 ；
（3）若学校共有4000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数．
19．（8分）草莓是云南多地盛产的一种水果．今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元．经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x的函数表达式，请直接写出x的取值范围；
（2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值．
20．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，且B点坐标是（0，3），∠OAB＝60°，延长BA，与x轴相交于点D．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）将菱形OABC沿x轴向右平移得菱形O′A′B′C′，设 QUOTE ，菱形O′A′B′C′与△OBD重叠部分的面积为S．
①如图2，当点C′与在y轴上时，求S的值；
②当 QUOTE 时，请直接写出t的值．
21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E．
（1）求证：BE＝CE；
（2）若AB＝6，∠BAC＝54°，求 QUOTE 的长．
22．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点A关于直线BC的对称点为点A′，连接A′B，点P为直线BC上的动点（不与点B重合），连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PD，连接A′D，BD．
（1）问题发现：如图1，当点P在线段BC上时，
①连接AD，判断△BAP与△A′AD （填“全等”或“不全等”）；
②∠DA′B＝ ．
（2）拓展探究：如图2，当点P在线段BC的延长线上时，∠DA′B的度数是否改变？若不变，请加以证明，若改变，请说明理由；
（3）问题解决：当∠BDA'＝30°时，请直接写出线段AP的长度．
23．（13分）已知抛物线 QUOTE 与x轴交于点A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，P为第四象限内抛物线Q1上一点．
（1）求抛物线Q1的表达式；
（2）如图，连接BC，交抛物线Q1的对称轴于点D，连接AC，CP，AD，DP，求四边形ACPD面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的情况下，将抛物线Q1向右平移 QUOTE 个单位长度，得到抛物线Q2，M为抛物线Q2对称轴上一点，N为抛物线Q2上一点，若以A，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点N的坐标．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【考点】简单几何体的三视图
【分析】根据左视图的定义即可判断．
解：从左边看是一个三角形．
故选：A．
【点评】本题考查三视图，熟练掌握三视图的定义是解决问题的关键．
2．【考点】科学记数法—表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：384000＝3.84×105．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．【考点】中心对称图形；轴对称图形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．
解：A．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
4．【考点】单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方
【分析】运用合并同类项，同底数幂的乘法，单项式乘单项式，积的乘方等运算法则运算即可．
解：A．3m﹣2m＝m，所以A错误；
B．（﹣m3）2＝m6，所以B正确；
C．2m3•m＝2m4，所以C错误；
D．m9与m4不是同类项，不能合并，所以D错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查了合并同类项，单项式乘单项式，同底数幂的乘法，幂的乘方等运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
5．【考点】列表法与树状图法；概率公式
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字组成“龙飞”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
解：画出树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字组成“龙飞”的结果有2种，
∴两次摸出的球上的汉字组成“龙飞”的概率为 QUOTE ．
故选：A．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，解答本题的关键要明确：树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件，解题时还要注意是放回试验还是不放回试验，
6．【考点】平行线的性质；垂线
【分析】根据平行线的性质可得出∠B＝∠1＝40°，由直角三角形两锐角互余可得∠BMN＝50°，由平角的定义可得∠2＝130°．
解：∵BC∥DE，∠1＝40°，
∴∠B＝∠1＝40°，
∵MN⊥AB，
∴∠B+∠BMN＝90°，
∴∠BMN＝90°﹣∠B＝90°﹣40°＝50°，
又∠BMN+∠2＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠BMN＝180°﹣50°＝130°，
所以∠2的度数为130°，
故选：D．
【点评】本题主要考查平行线的性质，垂线，关键是平行线性质的熟练掌握．
7．【考点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；等边三角形的判定与性质
【分析】连接AA'，根据翻折的性质，可得到△ABA′是等边三角形，可得到∠ABG QUOTE ∠ABA'＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质即可求解．
解：如图，连接AA'，
在矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD边的中点，
∴EF⊥AB，AE＝BE，
∴EF垂直平分AB，
∴A'A＝A'B，
由折叠可得AB＝A'B，∠ABG＝∠A'BG，△ABG≌△A'BG，
∴AB＝BA'＝AA'，
∴△ABA'是等边三角形，
∴∠ABA'＝60°，
∴∠ABG QUOTE ∠ABA'＝30°，
∴AG QUOTE BG，
∵AB＝6，
∴BG2＝AB2+AG2，
∴BG2＝62 QUOTE BG2，
解得：BG＝4 QUOTE ，
∴AG＝2 QUOTE ，
∴S△ABG QUOTE 6×2 QUOTE 6 QUOTE ，
∴S四边形ABA′G＝2S△ABG＝12 QUOTE ；
方法2：过点A'作PQ⊥AD于P点，PQ⊥BC于Q点，
∵BA＝6，E是中点，
∴BE＝AE＝3，
∴A'Q＝A'P＝3，
由折叠可知AB＝A'B＝6，
∴BQ＝3 QUOTE ，
设AG＝x，则GP＝3 QUOTE x，
在Rt△GPA'中，x2＝32+（3 QUOTE x）2，
解得x＝2 QUOTE ，
∴AG＝2 QUOTE
∴S＝2 QUOTE 6＝12 QUOTE ；

故选：B．
【点评】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
8．【考点】坐标与图形变化﹣平移
【分析】根据点的坐标的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减求解即可．
解：将点（m，n）先先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，最后所得点的坐标是（m﹣1，n﹣2），
故选：C．
【点评】本题考查坐标与图形变化—平移，正确记忆相关知识点是解题关键．
9．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程
【分析】第一次涨价后价格为3000（1+x），第二次涨价后价格为3000（1+x）2，即可得出关于x的一元二次方程．
解：根据题意可列出的方程是3000（1+x）2＝3600．
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是关键．
10．【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质
【分析】由题意可得：直线MN垂直平分线段AB，得到AD＝BD，推出∠ADN＝∠BDN，结合DA平分∠CDN，可得∠ADN＝∠ADC＝∠BDN＝60°，最后结合∠C＝82°，根据三角形的内角和定理即可求解．
解：∵分别以点A，点B为圆心，大于 QUOTE 长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线MN交BC于点D，
∴直线MN垂直平分线段AB，
∴AD＝BD，
∴∠ADN＝∠BDN，
∵DA平分∠CDN，
∴∠ADN＝∠ADC，
∴∠ADN＝∠ADC＝∠BDN＝60°，
∵∠C＝82°，
∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣60°﹣82°＝38°，
故选：D．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．【考点】正数和负数；数学常识
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
解：“正”和“负”相对，所以，若气温为零上8℃记作+8℃，则零下5℃记作﹣5℃．
故答案为：﹣5．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．
12．【考点】反比例函数的应用
【分析】（1）一个矩形面积和长、宽的例子；
（2）根据图象求出函数关系式，且自变量的取值范围为大于0；
（3）A点坐标为（2，3），表示的实际意义就是矩形的长为2、宽为3．
解：（1）设一个矩形的长为x、宽为y，面积为6，则矩形长、宽、面积的关系表达式为：y QUOTE ；
（2）根据图象在第一象限可知：y QUOTE 自变量x的取值范围为：x＞0；
（3）∵A点的坐标为（2，3），
根据表达式的实际意思，
则A点的实际意义就是矩形的长为2、宽为3．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确地识别图象是解题的关键．
13．【考点】方差；算术平均数
【分析】根据题意可知要选择平均数大且方差小的运动员参赛，据此可得答案．
解：根据题意可知：从平均数角度看应该从乙、丙中选择一人参赛，
从方差来看，应该选择乙参赛，
故答案为：乙．
【点评】本题主要考查了用方差和平均数做决策，熟练掌握该知识点是关键．
14．【考点】解直角三角形的应用
【分析】根据垂径定理，平行线的性质，锐角三角函数的定义求解．
解：作OK⊥BC，则∠BKO＝90°，
∵BC∥OA，∠AOB＝28°，
∵∠B＝∠AOB＝28°，
在Rt△BOK中，OB＝OA＝50cm，
∴BK＝OB×csB≈50×0.88＝44（cm），
∴北纬28°的纬线长度＝2π•BK
≈2×3×44
＝264（cm），
故答案为：264．
【点评】本题考查垂径定理，解直角三角形的应用，解题关键是熟练三角函数的含义及解直角三角形的方法．
15．【考点】菱形的性质；坐标与图形性质
【分析】根据题意，作出图形，延长BA交y轴于点E，确定AO＝AB＝2，结合图形即可求解．
解：∵以AO为边作菱形OABC，若点C在x轴上，点B在第二象限，
∴只有一种情况，如图所示：
延长BA交y轴于点E，
∴BE⊥y轴，
∵点A的坐标是 QUOTE ，
∴ QUOTE ，
∴ QUOTE ，
∴AO＝AB＝2，
∴BE＝3，
∵点B在第二象限，
∴ QUOTE ，
故答案为： QUOTE ．
【点评】本题目主要考查菱形的性质，勾股定理，理解题意，作出相应图形是解题关键．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．【考点】分式的混合运算；实数的运算
【分析】（1）先运用负整数次幂、零次幂、逆用积的乘方化简，然后再计算即可；
（2）直接运用分式的混合运算法则计算即可．
解：（1）原式＝2﹣1+（0.25×4）2018
＝2﹣1+12018
＝2﹣1+1
＝2．
（2）原式 QUOTE
QUOTE
QUOTE
QUOTE
QUOTE
QUOTE
QUOTE ．
【点评】本题主要考查了实数的混合运算、逆用积的乘方、分式的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．
17．【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用
【分析】（1）设这个文教店购进甲种碳素笔x支，乙种碳素笔y支，根据进货总价＝进货单价×进货数量及总利润＝每本的销售利润×销售数量（进货数量），列出二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设甲种碳素笔售价每支应为m元，根据总利润＝每本的销售利润×销售数量（进货数量），列出一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
解：（1）设这个文教店购进甲种碳素笔x支，乙种碳素笔y支，
根据题意得： QUOTE ，
解得： QUOTE ，
答：这个文教店购进甲种碳素笔50支，乙种碳素笔60支；
（2）设甲种碳素笔售价每支应为m元，
根据题意得：50（m﹣12）+（12﹣10）×60×2≥340，
解得：m≥14，
∴m的最小值为14．
答：甲种碳素笔最低售价每支应为14元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式．
18．【考点】中位数；用样本估计总体
【分析】（1）先求出被调查的总人数，再根据各次数的人数和等于总人数求出a的值，由百分比的概念可得b的值；
（2）根据中位数的概念求解可得；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
解：（1）本次调查的总人数为13÷26%＝50，
∴a＝50﹣（7+13+10+3）＝17，
b% QUOTE 100%＝20%，即b＝20，
故答案为：17，20；
（2）该调查统计数据的中位数是 QUOTE 2（次），
故答案为：2次；
（3）4000 QUOTE 240（人）．
答：估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数为240人．
【点评】本题主要考查中位数，样本估计总体．解题的关键是读懂统计图，从扇形统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
19．【考点】二次函数的应用
【分析】（1）根据函数图象得到直线上的两点，再结合待定系数法即可求得y与x的函数解析式；
（2）根据总利润＝每千克利润×销售量，列出函数关系式，配方后根据x的取值范围可得W的最大值．
解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
QUOTE ，
解得 QUOTE ，
∴y与x的函数关系式y＝﹣2x+340，（20≤x≤40）；
（2）由已知得：W＝（x﹣20）•y
＝（x﹣20）（﹣2x+340）
＝﹣2x2+380x﹣6800
＝﹣2（x﹣95）2+11250．
∵﹣2＜0，
∴当x≤95时，W随x的增大而增大．
∵20≤x≤40，
∴x＝40时，最大值为﹣2×（40﹣95）2+11250＝5200（元），
即单价定为40元时，最大利润是5200元．
【点评】本题主要考查的是待定系数法及二次函数的应用，根据相等关系列出函数解析式，并由二次函数的性质确定其最值是解题的关键．
20．【考点】一次函数综合题
【分析】（1）连接AC交y轴于点I，根据菱形的性质求出 QUOTE ，再由待定系数法求解函数解析式；
（2）①先证明△BC′H为等边三角形，则∠OC′O′＝60°，那么C′H＝BC′，∠OO′C′＝90°﹣60°＝30°，则 QUOTE ，故 QUOTE ，过点H作HJ⊥C′O′于点J，可得 QUOTE ，故 QUOTE ，证明四边形HC′O′K为平行四边形，则 QUOTE ；
②当重叠部分为五边形时，过点H作HJ⊥C′O′于点J，表示出 QUOTE ， QUOTE ，则 QUOTE ，证明△C′QR为等边三角形，则 QUOTE ，故 QUOTE ，则 QUOTE ，然后表示 QUOTE ，则 QUOTE ，过点Q作QT⊥C′O′于点T，同理可得 QUOTE ， QUOTE ，然后计算 QUOTE ，而 QUOTE ，最后由S＝S▱HC′O′K﹣S△C′RQ建立方程求解；当重叠部分为平行四边形时，由①可得平行四边形的最大面积为 QUOTE ，故不符合题意．
解：（1）连接AC交y轴于点I，
由条件可知 QUOTE ，AC⊥BO，
∵B（0，3），
∴ QUOTE ，
∴BA＝2BI＝3，
∴ QUOTE ，
∴ QUOTE ，
设直线AB：y＝kx+b，
∴ QUOTE ，
∴ QUOTE ，
∴直线 QUOTE ；
（2）①在图1中，AB＝AO，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OBA＝60°，OB＝AB＝3，
∴AB＝O′C′＝B′C′＝3，∠A′＝∠OAB＝∠B′C′O′＝60°，O′C′∥BD∥A′B′，
∴∠O′C′B′＝∠BHC′＝60°，
∴∠OBD＝∠BHC′＝∠BC′H＝60°，
∴△BC′H为等边三角形，∠OC′O′＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴C′H＝BC′，∠OO′C′＝90°﹣60°＝30°，
∴ QUOTE ，
∴ QUOTE ，
过点H作HJ⊥C′O′于点J，
∴∠C′HJ＝30°，
∴ QUOTE ，
∴ QUOTE ，
由条件可知四边形HC′O′K为平行四边形，
∴ QUOTE ；
②当重叠部分为五边形时，如图：
过点H作HJ⊥C′O′于点J，
由①可得O′R＝2OR，
∴ QUOTE ，
∴ QUOTE ，
∴ QUOTE ，
∴ QUOTE ，
由条件可知∠C′QR＝∠C′RQ＝∠C′＝60°，
∴△C′QR为等边三角形，
∴ QUOTE ，
∴ QUOTE ，
∴ QUOTE ，
∴ QUOTE ，
∴ QUOTE ，
过点Q作QT⊥C′O′于点T，
同理可得： QUOTE ， QUOTE ，
∴ QUOTE ，
∵ QUOTE ，
∴ QUOTE ，
解得 QUOTE ；
当重叠部分为平行四边形时，由①可得平行四边形的最大面积为 QUOTE ，故不符合题意，
综上：当 QUOTE 时， QUOTE ．
【点评】本题主要考查了一次函数与几何综合，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，30°角直角三角形的性质，二次根式的混合运算，平移的性质，等边三角形的判定与性质等知识点．
21．【考点】弧长的计算；等腰三角形的性质；圆周角定理
【分析】（1）如图，连接AE，利用圆周角定理推知AE是等腰△ABC等边上的高线，结合等腰三角形的性质证得结论；
（2）如图，连接OD，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可以求得圆心角∠AOD 的度数，然后利用弧长公式进行解答．
（1）证明：如图，连接AE．
∵AB是圆O的直径，
∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC．
又∵AB＝AC，
∴AE是边BC上的中线，
∴BE＝CE；
（2）解：连接OD，
∵AB＝6，
∴AO＝3．
又∵OA＝OD，∠BAC＝54°，
∴∠OAD＝∠ODA＝54°，
∴∠AOD＝180°﹣2×54°＝72°，
∴ QUOTE 的长为： QUOTE ．
【点评】本题考查了圆周角定理、弧长的计算以及等腰三角形的判定与性质．通过作辅助线，利用圆周角定理（或圆半径相等）的性质求得相关角的度数是解题的难点．
22．【考点】几何变换综合题
【分析】（1）①通过“边角边”证明两三角形全等即可；
②再利用全等三角形的性质求解即可；
（2）连接AD，通过“边角边”证明△BAP≌△A′AD，利用全等三角形的性质，即可求解；
（3）分两种情况，P在CB延长线或BC延长线上时，利用全等三角形和旋转的性质求解即可．
解：（1）①△BAP与△A′AD全等；
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2，∠BAC＝60°，
由勾股定理可得： QUOTE ，
由题意可得：AC＝A′C＝1，∠APD＝60°，PA＝PD，
∴AB＝A′A＝2，△PAD为等边三角形，
∴∠PAD＝60°，PA＝PD＝DA，
∴∠BAP＝∠BAC﹣∠PAC＝∠PAD﹣∠PAC＝∠CAD，
在△BAP和△A′AD中，
QUOTE ，
∴△BAP≌△A′AD（SAS），
故答案为：全等；
②∵△BAP≌△A′AD，
∴∠AA′D＝∠ABP＝30°，
又∵∠BAC＝60°，
∴△A′AB为等边三角形，即∠BA′A＝60°，
∴∠DA′B＝90°，
故答案为：90°；
（2）∠DA′B的度数不变；
证明：如图2，连接AD，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2，∠BAC＝60°，
∵点A关于直线BC的对称点为A′，
∴∠ABC＝∠A′BC＝30°，AB＝A′B，
∴∠ABA′＝60°，
∴△AA′B是等边三角形，
∴AB＝AA′，∠BAC＝60°，
∵将线段AP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PD，
∴AP＝DP，∠APD＝60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AP＝PD＝AD，∠PAD＝60°＝∠BAC，
∵∠BAP＝∠BAC+∠CAP，
∠A′AD＝∠PAD+∠CAP，
∴∠BAP＝∠A′AD，
在△BAP与△A′AD中，
QUOTE ，
∴△BAP≌△A′AD（SAS），
∴∠AA′D＝∠ABC＝30°，
∵∠BAA′A＝60°，
∴∠DA′B＝∠BA′A+∠AA′D＝90°，
∴∠DA′B的度数不变；
（3）AP的长度为2或 QUOTE ．
如图3，当P在BC延长线，
由（2）可得，∠BA′D＝90°，
∵∠BDA′＝30°，
∴∠DBA′＝60°，
∴D在BA的延长线上，
由旋转的性质可得：AP＝PD，∠APD＝60°，
∴△APD为等边三角形，
∴PA＝PD＝AD，
在Rt△BA′D中，BA′＝AB＝2，∠BDA′＝30°，
∴BD＝2BA′＝4，
∴AD＝BD﹣AB＝2，
即AP＝2；
如图4，P在CB延长线时，
由（2）可知，∠BA′D＝90°，
∵∠BDA′＝30°，BA′＝AB＝2，
∴∠DBA′＝60°，BD＝4，
由勾股定理可得： QUOTE ，
由旋转的性质可得：AP＝PD，∠APD＝60°，
∴△APD为等边三角形，
∴PA＝PD＝AD，∠PAD＝60°，
∴∠PAB＝∠PAD﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD＝∠DAA′，
在△PAB和△DAA′中，
QUOTE ，
∴△PAB≌△DAA′（SAS），
∴ QUOTE ，
∴ QUOTE ，
由勾股定理可得： QUOTE ，
综上所述，AP的长度为2或 QUOTE ．
【点评】本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
23．【考点】二次函数综合题
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出B、C坐标，进而求出直线BC的表达式为y＝x﹣4，再求出对称轴，进而求出点D的坐标，则根据S△ACD＝S△ABC﹣S△ABD求出S△ACD，设点P的坐标为（m，m2﹣3m﹣4）（0＜m＜4），则点E的坐标为（m，m﹣4），再由S△CDP＝S△OEP﹣S△DEP，S四边形ACPD＝S△CDP+S△ACD，列出S四边形ACPD关于m的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可；
（3）先求出平移后的抛物线解析式，进而得到平移后的对称轴，再分①当AP为▱AMPN的对角线时，②当AP为▱APMN的边，且AM为对角线时，③当AP为▱APNM的边，且AN为对角线时，三种情况分别平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解即可．
解：（1）由条件可得1+3+c＝0，
解得c＝﹣4，
∴y＝x2﹣3x﹣4；
（2）在y＝x2﹣3x﹣4中标，当y＝0时，x2﹣3x﹣4＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴点B的坐标为（4，0），
当x＝0时，y＝x2﹣3x﹣4＝﹣4，
∴点C的坐标为（0，﹣4）．
设直线BC的表达式为y＝kx+b（k≠0），
由条件可得 QUOTE ，
解得 QUOTE ，
∴直线BC的表达式为y＝x﹣4，
∵抛物线表达式为 QUOTE ，
∴抛物线的对称轴为直线 QUOTE ，
在y＝x﹣4中，当 QUOTE 时， QUOTE ，
∴点D的坐标为 QUOTE ，
∴ QUOTE ．
如图，过点P作PE∥y轴交BC于点E．
设点P的坐标为（m，m2﹣3m﹣4）（0＜m＜4），则点E的坐标为（m，m﹣4），
∴ QUOTE ， QUOTE ，
∴ QUOTE
QUOTE
QUOTE ，
∴ QUOTE ，
∵ QUOTE ，
∴当m＝2时，S四边形ACPD取最大值 QUOTE ，
当m＝2时，y＝m2﹣3m﹣4＝﹣6，
∴四边形ACPD面积的最大值为 QUOTE ，此时点P的坐标为（2，﹣6）；
（3）∵Q1： QUOTE ，
∴Q2： QUOTE ，
∴抛物线Q2的对称轴为直线x＝3，
∴点M的横坐标为3，
设 QUOTE ，
由（2）得，P（2，﹣6），
分以下三种情况讨论：
①当AP为▱AMPN的对角线时，
∵平行四边形对角线中点坐标相同，
∴ QUOTE ，
解得n＝﹣2，
∴ QUOTE ，
∴ QUOTE ；
②当AP为▱APMN的边，且AM为对角线时，
∵平行四边形对角线中点坐标相同，
∴﹣1+3＝2+n，
解得n＝0，
∴ QUOTE ，∴ QUOTE ；
③当AP为▱APNM的边，且AN为对角线时，
∵平行四边形对角线中点坐标相同，
∴﹣1+n＝2+3，
解得n＝6，
∴ QUOTE ，
∴ QUOTE ．
综上所述，点N的坐标为 QUOTE 或 QUOTE 或 QUOTE ．
【点评】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，平行四边形的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键
题号
一
二
三
总分
得分
甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
192
195
195
193
方差
3.2
4.7
6.5
6.0
借阅图书的次数/次
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3
4及以上
人数/人
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13
a
10
3