【备考2026】宁夏中考模拟数学试卷1（含解析）

这是一份【备考2026】宁夏中考模拟数学试卷1（含解析），共16页。
1．（3分）如图，半径为 QUOTE 的圆周上有一点A落在数轴上表示﹣2的点处，现将圆在数轴上向右滚动2周后点A所处的位置在连续整数a、b之间，则a+2b的值是（ ）
A．14B．13C．9D．5
2．（3分）如图，下列推理不正确的是（ ）
A．∵AB∥CD，∴∠ABC+∠C＝180°
B．∵∠1＝∠2，∴AB∥CD
C．∵AB∥CD，∴∠3＝∠4
D．∵∠A+∠ADC＝180°，∴AB∥CD
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．3a2+2a2＝5a4
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
4．（3分）下列运动中是平移的是（ ）
A．前进中的自行车后轮
B．钟表上转动的指针
C．转动的电风扇叶轮
D．笔直铁轨上行驶的火车
5．（3分）《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．如图1、图2中各行从左到右列出的算筹分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图表示的方程组形式为 QUOTE ，类似地，若图2所示的算筹图列出的方程组的解为x＝3，则图2中的“？”所表示的算筹为（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）如图，线段AC，BD′相交于点O，连接AD，BC，并延长AD至点E，∠BCA的平分线与∠BDE的平分线相交于点M．①若∠A＝2∠BCM，则AE∥BC；②若∠M＝2∠BDM，则AE∥MC；③若∠A＝∠B，则∠EDM+∠BCM＝90°；④若∠ADO＝∠BCO，则∠M﹣∠B＝90°，以上命题中真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（3分）如图，平行于y轴的直线与函数 QUOTE 和 QUOTE 的图象分别交于A、B两点，OA交双曲线 QUOTE 于点C，连接CD，若△OCD的面积为2．则k＝（ ）
A．4B．6C．8D．10
8．（3分）如图，某校数学兴趣小组在A处用仪器测得一宣传气球顶部E处的仰角为21.8°，仪器与气球的水平距离BC为20米，且距地面高度AB为1.5米，则气球顶部离地面的高度EC是（ ）
A．（1.5+20sin21.8°）米B．（1.5+20cs21.8°）米
C．（1.5+20tan21.8°）米D． QUOTE 米
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．（3分）已知 QUOTE ，那么 QUOTE ．
10．（3分）如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+4的图象相交于点P（m，1），则关于x、y的二元一次方程组 QUOTE 的解是 ．
11．（3分）如图，在所给的电路图中，同时闭合两个开关能让小灯泡L1发光的概率为 ．
12．（3分）若不等式组 QUOTE 无解，则不等式组 QUOTE 的解是 ．
13．（3分）如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠A＝58°，则∠BOC＝ ．
14．（3分）△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A（2，2），B（3，4），C（6，1），且A'（6，6），则B'的坐标为 ．
15．（3分）一种笔记本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元．小雪买这种笔记本3本，买这种圆珠笔2支，则一共花了 元．
16．（3分）在平面直角坐标系中，点P QUOTE 到原点的距离是 ．
三．解答题（共10小题，满分72分）
17．（6分）计算： QUOTE ．
18．（6分）先化简，再求值： QUOTE ，其中 QUOTE ．
19．（6分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC．
（1）尺规作图：过点D作DE∥AB，DE交BC于E；（不写作法，只保留作图痕迹）
（2）求证：四边形ABED是菱形．
20．（6分）若四位数 QUOTE 满足a+d＝b+c，则称这样的四位数为“和谐四位数”．例如：四位数2154，因为2+4＝1+5，所以四位数2154是和谐四位数．
（1）填空：3122 和谐四位数（填“是”或“不是”）；
（2）若M QUOTE （d≠0）是和谐四位数，将M的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调后，得到一个新的四位数N，求证：M与N的和一定能被101整除．
21．（6分）马面裙作为汉服的重要组成部分，承载着我国深厚的历史文化底蕴．在某网店中，销量最高的A，B两款马面裙备受消费者青睐，A，B两款马面裙的售价分别为150元/件和200元/件，两款马面裙3月份的总销量为600件，销售总额为110000元．
（1）求3月份A，B两款马面裙的销量分别为多少件？
（2）为满足店铺的日常运营需求，该网店决定从服装厂预定A，B两款马面裙共2400件，且A款马面裙数量不超过B款马面裙数量的 QUOTE ，已知A款马面裙进价为100元/件，B款马面裙进价160元/件，请你设计一种方案，使得这批马面裙全部售出后获利最大，并求出最大利润．
22．（6分）如图，在6×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图1中画出边AC的高BD；
（2）在图2中画出线段EF∥AC，且EF＝3．
23．（8分）神舟十八号载人飞船于2024年4月25日发射升空，并与空间站实现完美自动对接．为了让学生对我国航天事业有进一步了解，校团委开展了以“筑梦空间站”为主题的航天知识宣传活动，活动结束后对学生数相当的七、八年级进行一次航天知识的有关测试，并从七、八两个年级各抽40位同学的成绩进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．（说明：满分100分，成绩80分及以上为优秀，70﹣79分为良好，60﹣69分为合格，60分以下为不合格）
（1）七年级同学成绩的频数分布条形图如图（数据分为五组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）
（2）七年级同学成绩在70≤x＜80这一组的是：70，71，73，73，73，74，76，77，78，79
（3）八年级同学中没有3人成绩相同，其平均数、中位数、众数、优秀率如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）求样本中七年级同学成绩的中位数；
（2）样本中成绩是76分的学生，在哪个年级的名次更好些？请说明理由；
（3）根据上述信息，推断 年级同学测试成绩更好，理由为 ．
（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
24．（8分）如图，过点P作两条直线分别与圆交于A，B和C，D两点，分别求证：PA•PB＝PC•PD．
25．（10分）综合与探究
已知抛物线C1：y＝ax2+bx﹣5（a≠0）．
（1）当抛物线经过（﹣1，﹣8）和（1，0）两点时，求抛物线的函数表达式．
（2）当b＝4a时，无论a为何值，直线y＝m与抛物线C1相交所得的线段AB（点A在点B的左侧）的长度始终不变，求m的值和线段AB的长．
（3）在（2）的条件下，将抛物线C1沿直线y＝m翻折得到抛物线C2，抛物线C1，C2的顶点分别记为G，H．是否存在实数a使得以A，B，G，H为顶点的四边形为正方形？若存在，直接写出a的值；若不存在，请说明理由．
26．（10分）【方法初探】
（1）如图1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝90°，点B在边EF上，连接CF，求证：BE＝CF，BE⊥CF；
【类比应用】
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，将线段AC绕点A逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜180°），得到线段AP，连接BP，过点A作BP的垂线AD，分别交BP与射线PC于点D，F，连接BF．
①线段AC绕点A旋转的过程中，∠BPF的度数是否发生变化，如不变，请求出∠BPF的度数，若发生变化，请说明理由；
②求证： QUOTE ；
③若 QUOTE ， QUOTE ，请直接写出△BCF的面积．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．【考点】数轴
【分析】先求出圆的周长，再估算出周长的值即可得出结论．
解：∵圆的半径为 QUOTE ，
∴圆的周长＝π，
∵3＜π＜4，
∴6﹣2＜2π﹣2＜8﹣2，即4＜2π﹣2＜6，
∴向右滚动2周后点A所处的位置在4与6之间，即a＝4，b＝5，
∴a+2b＝4+2×5＝14，
故选：A．
【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．
2．【考点】平行线的判定与性质
【分析】利用平行线的性质以及平行线的判定，采用逐一检验法进行解答．
解：A、∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠C＝180°，正确，不符合题意；
B、∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC，原说法错误，符合题意；
C、∵AB∥CD，
∴∠3＝∠4，正确，不符合题意；
D、∵∠A+∠ADC＝180°，
∴AB∥CD，正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角．
3．【考点】完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方
【分析】根据同底数幂的乘法运算法则判断选项A；根据合并同类项法则判断选项B；根据积的乘方运算法则判断选项C；根据完全平方公式判断选项D即可．
解：A．a2•a3＝a5，故选项A错误；
B.3a2+2a2＝5a2，故选项B错误；
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6，故选项C正确；
D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握完全平方公式，合并同类项法则，同底数幂的乘法运算法则，幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键．
4．【考点】生活中的平移现象
【分析】根据平移和旋转的定义进行判断即可得到答案．
解：A．前进中的自行车后轮是旋转现象，不符合题意；
B．钟表上转动的指针是旋转现象，不符合题意；
C．转动的电风扇叶轮是旋转现象，不符合题意；
D．笔直铁轨上行驶的火车是平移现象，正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查生活中的平移现象，平移是指图形上的所有点都按照某个直线方向做相同的移动，旋转是指图形围绕一个点或者一个轴做圆周运动，熟练掌握平移和旋转的定义是解题的关键．
5．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识
【分析】由图2可得出方程2x+y＝11，代入x＝3可求出y的值，再利用“？”所表示的算筹表示的数＝（27﹣4x）÷y，即可求出结论．
解：由图2可列出方程2x+y＝11，
∵x＝3，
∴y＝5，
∴图2中的“？”所表示的算筹表示的数为（27﹣12）÷5＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
6．【考点】命题与定理；平行线的判定与性质
【分析】本题涉及角平分线的性质、平行线的判定与性质以及三角形内角和定理等知识点．通过角之间的关系来判断各个命题的真假．
解：1．判断命题①，设∠BCM＝∠MCA＝x，
∵∠A＝2∠BCM，
∴∠A＝2x．
∵AE∥BC，
∴∠A＝∠BCA．而∠BCA＝2x，∠A＝2x，满足条件，
所以命题①是真命题．
2．判断命题②，设∠BDM＝∠MDE ＝ y，
∵∠M＝3∠BDM，
∴∠M＝3y．在△DCM中，∠MCA＝∠M+∠MDE，
设∠BCM＝∠MCA＝z，则z＝3y+y＝4y．
∵∠A＝2∠BCM，
∴∠A＝8y．
若AE∥CM，则∠A＝∠MCA，但∠A＝8y，∠MCA＝4y，不相等，
所以命题②是假命题．
3．判断命题③设∠BCM＝∠MCA＝x，则∠A＝2x，
∵∠A＝∠B，
∴∠B＝2x．设∠BDM＝∠MDE＝y．∠BOC＝180°﹣（∠B+∠BCO）＝180°﹣（2x+2x）＝180°﹣4x，
∠DOM ＝ 180°﹣（∠M+∠MDO），
∵∠BOC＝∠DOM，且∠M ＝ 180°﹣（x+y），∠EDM+∠BCM＝y+x，∠A＝∠B，
在△AOD和△BOC中，∠ADO+∠A＝∠BCO+∠B，由于∠A＝∠B，∠ADO＝∠BCO，
所以∠EDM+∠BCM＝90°，
命题③是真命题．
4．判断命题④，
设∠BDM＝x，∠DCM＝y，
∵∠ADO＝∠BCD＝2∠OCM＝2y，
∴2x+2y＝180°，
∴x+y＝90°，
在△BDN中，∠DNC＝x+∠B，
∵∠M＝∠DNC+y＝x+y+∠B，
∴∠M＝90°+∠B，
∴∠M﹣∠B＝90°，
故④正确；
综上，真命题有①③④，共3个．
故选C．
【点评】本题知识点全面且关联紧密，考查角平分线的性质、平行线的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角性质等知识．
7．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的图象
【分析】作CE⊥x轴于E，则CE∥AD，求出S△OCE＝S△DCE＝1，得出点E为OD的中点，再由CE∥AD得出点C是OA的中点，从而得出S△OAD＝2S△OCD＝4，即可得解．
解：如图，作CE⊥x轴于E，则CE∥AD，
∵OA交双曲线过点C，
∴S△OCE＝1，
∵S△OCD＝2，
∴S△OCE＝S△DCE＝1，
∴点E为OD的中点，
∵CE∥AD，
∴点C是OA的中点，
∴S△OAD＝2S△OCD＝4，
∵函数 QUOTE 的图象经过点A，且AD⊥x轴，函数图象在第一象限，
∴k＝8，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的几何意义、与中点有关的三角形的面积的计算，熟练掌握以上知识点是关键．
8．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【分析】由题意得，四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质得到AB＝CD＝1.5m，AD＝BC＝20m，解直角三角形即可得到结论．
解：由题意得，四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝1.5m，AD＝BC＝20m，
在Rt△ADE中，
∵AD＝BC＝20m，∠EAD＝21.8°，
∴DE＝AD•tan21.8°＝20tan21.8°（m），
∴CE＝CD+DE＝（1.5+20tan21.8°）m，
答：气球顶部离地面的高度EC是（1.5+20tan21.8°）m．
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，矩形的性质，正确地理解仰角的定义是解题的关键．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．【考点】立方根
【分析】根据立方根的定义将原式化为 QUOTE 即可．
解：∵ QUOTE 2.35，
∴ QUOTE 0.235．
故答案为：﹣0.235．
【点评】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键．
10．【考点】一次函数与二元一次方程（组）
【分析】先利用y＝﹣x+4确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断．
解：把P（m，1）代入y＝﹣x+4得﹣m+4＝1，解得m＝3，
所以P点坐标为（3，1），
所以关于x、y的二元一次方程组 QUOTE 的解是 QUOTE ，
故答案为： QUOTE ．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
11．【考点】列表法与树状图法；概率公式
【分析】根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能够让灯泡发光的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
解：设S1、S2、S3、S4分别用1、2、3、4表示，
画树状图得：
由树状图可知能够让灯泡发光的概率为： QUOTE ，
故答案为： QUOTE ．
【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率的知识．熟练掌握该知识点是关键．
12．【考点】解一元一次不等式组
【分析】根据不等式组无解，得出a＞b，进一步求得3﹣a＜3﹣b，即可得出不等式组 QUOTE 的解集．
解：∵不等式组 QUOTE 无解，
∴a＞b，
∴﹣a＜﹣b，
∴3﹣a＜3﹣b，
∴不等式组 QUOTE 的解集为3﹣a＜x＜3﹣b．
故答案为：3﹣a＜x＜3﹣b．
【点评】本题主要考查了不等式的解集求法，根据已知得出a＞b是解决问题的关键．
13．【考点】三角形的内切圆与内心
【分析】先由三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再由⊙O是△ABC的内接圆得到∠BCO QUOTE ∠ACB，∠CBO QUOTE ∠ABC，最后根据三角形内角和定理即可求出∠BOC．
解：∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝58°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝122°，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，
∴∠BCO QUOTE ∠ACB，∠CBO QUOTE ∠ABC，
∴∠BOC＝180°﹣∠CBO﹣∠BCO＝180° QUOTE ∠ACB QUOTE ∠ABC＝180° QUOTE （∠ABC+∠ACB）＝180° QUOTE 122°＝119°．
故答案为：119°．
【点评】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，由三角形的内切圆与内心及三角形内角和定理求出∠CBO+∠BCO的度数是解决问题的关键．
14．【考点】位似变换；坐标与图形性质
【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
解：∵△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A（2，2），B（3，4），C（6，1），且A'（6，6），
∴B′（9，12），
故答案为：（9，12）．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．
15．【考点】列代数式
【分析】根据笔记本与圆珠笔的单价，以及小红与小明买的数目列出关系式即可．
解：∵一种笔记本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元．小雪买这种笔记本3本，买这种圆珠笔2支，
∴一共花了（3x+2y）元，
故答案为：（3x+2y）．
【点评】此题考查了列代数式，解题的关键是理解题意，列出代数式．
16．【考点】勾股定理的应用；坐标与图形性质
【分析】根据勾股定理直接计算即可．
解：由题意得： QUOTE ，
∴点P QUOTE 到原点的距离是3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查勾股定理的应用，坐标与图形性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
三．解答题（共10小题，满分72分）
17．【考点】实数的运算
【分析】先计算零指数幂，负整数指数幂，算术平方根，化简绝对值，然后进行加减运算即可．
解：原式 QUOTE
＝﹣1．
【点评】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是关键．
18．【考点】分式的化简求值
【分析】先通分，计算括号内，除法变乘法，化简后代值计算即可．
解： QUOTE
QUOTE
QUOTE
QUOTE ；
当 QUOTE 时，原式 QUOTE ．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是关键．
19．【考点】作图—复杂作图；菱形的判定
【分析】（1）作∠BDE＝∠ABD，BE交BC于点E；
（2）高科技邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵AD∥BE，AB∥DE，
∴四边形ABED是平行四边形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝∠ABD，
∴AB＝AD，
∴四边形ABED是菱形．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．【考点】整式的加减
【分析】（1）四位数 QUOTE 满足a+d＝b+c，则称这样的四位数为“和谐四位数”，而3122中，3+2＝5≠1+2，据此可得3122不是和谐四位数；
（2）若M QUOTE （d≠0）是和谐四位数，可得a+d＝b+c，将M的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调后，得到一个新的四位数N，可得 QUOTE ，分别表示出M、N，然后表示出M+N，然后进行因式分解，就可以证明M与N的和一定能被101整除．
解：（1）由“和谐四位数”可知，且3+2＝5≠1+2，
∴3122不是和谐四位数；
故答案为：不是；
（2）∵ QUOTE 是和谐四位数，
∵a+d＝b+c，
∴ QUOTE ，
则 QUOTE ， QUOTE ，
M+N＝1000a+100b+10c+d+1000d+100c+10b+a
＝1001a+1001d+110b+110c
＝1001（a+d）+110b+110c
＝1001（b+c）+110（b+c）
＝1111（b+c）
＝101×11（b+c），
∵b+c为整数，
∴101×11（b+c）一定能被101整除，
∴M与N的和一定能被101整除．
【点评】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是根据“和谐四位数”的定义进行解答即可．
21．【考点】二元一次方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用
【分析】（1）设A款马面裙的销量为x件，B款马面裙的销量为y件，根据两款马面裙3月份的总销量为600件，销售总额为110000元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购进A款马面裙a件，则购进B款马面裙（2400﹣a）件，根据A款马面裙数量不超过B款马面裙数量的 QUOTE ，列出一元一次不等式，解得a≤800，再设总利润为W元，由题意列出一次函数关系式，然后由一次函数性质即可解决问题．
解：（1）设3月份A款马面裙的销量为x件，B款马面裙的销量为y件，
由题意得： QUOTE ，
解得： QUOTE ，
答：3月份A款马面裙的销量为200件，B款马面裙的销量为400件；
（2）设网店购进A款a件，再购进B款（2400﹣a）件，总利润为W元，
由题意得： QUOTE ，
解得：a≤800，
设总利润为W元，
由题意得：W＝（150﹣100）a+（200﹣160）（2400﹣a）＝10a+96000，
∵10＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴a＝800时，W的最大值＝10×800+96000＝104000（元），
此时2400﹣x＝2400﹣800＝1600，
答：网店购进A款马面裙800件，B款马面裙1600件，获利最大，最大利润为104000元．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
22．【考点】作图—应用与设计作图；平行线的判定
【分析】（1）利用网格结合三角形的高的定义画图即可．
（2）在线段AB上取格点E，使BE：AB＝3：5，过点E作AC的平行线，交BC于点F，则线段EF即为所求．
解：（1）如图1，分别作△ABC的BC，AB边上的高线，相交于点E，连接BE并延长，交AC于点D，
则BD即为所求．
（2）如图2，在线段AB上取格点E，使BE：AB＝3：5，过点E作AC的平行线，交BC于点F，
可得EF：AC＝3：5，
∵AC QUOTE 5，
∴EF＝3，
则线段EF即为所求．
【点评】本题考查作图—应用与设计作图、平行线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．【考点】频数（率）分布直方图；加权平均数；中位数；众数；方差
【分析】（1）根据中位数的确定方法即可确定样本中七年级同学成绩的中位数；
（2）根据（1）中求出的中位数，再与八年级成绩的中位数比较即可作出判断；
（3）可重中位数和优秀率两个方面比较判断，并说明理由即可．
解：（1）样本中七年级同学成绩的中位数应是数据由小到大排列第20，第21个数据的平均数，
∵3+9＝12，3+9+10＝22，
∴数据由小到大排列第20，第21个数据为70≤x＜80这一组第8，第9个数据，即77，78，
∴样本中七年级同学成绩的中位数为（77+78）÷2＝77.5（分），
答：样本中七年级同学成绩的中位数为77.5分；
（2）样本中成绩是76分的学生，在八年级的名次更好些．
理由：由七年级同学成绩在70≤x＜80这一组的是数据和中位数可知，76分在七年级位于第22名，
∵样本中八年级同学成绩的中位数为76分，
∴76分的学生，在八年级应在20名或21名，
∴样本中成绩是76分的学生，在八年级的名次更好些；
（3）七年级同学测试成绩更好，
理由：①七年级成绩的中位数高于八年级成绩的中位数；
②七年级的成绩的优秀率为： QUOTE 100%＝45%，高于八年级学生成绩的优秀率40%．
故答案为：七；
①七年级成绩的中位数高于八年级成绩的中位数；
②七年级的成绩的优秀率高于八年级学生成绩的优秀率．
【点评】本题考查频数分布直方图，中位数，众数，理解题意，能从统计图中获取信息，掌握相关统计量的确定方法是解题的关键．
24．【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【分析】对于左边图由同弧所对圆周角相等得到∠A＝∠D，∠C＝∠B，则可证明 QUOTE ，进而可得PA•PB＝PC•PD；对于右边图，利用圆内接四边形对角互补和平角的定义得到∠BCP＝∠A，则可证明△PBC∽△PDA，得到 QUOTE ，进而可得PA•PB＝PC•PD．
解：如图1，
∵A、B、C、D都在同一个圆上，
∴∠A＝∠D，∠C＝∠B，
∴△ACP∽△DBP，
∴ QUOTE ，
∴PA•PB＝PC•PD；
当四边形ABCD是圆内接四边形时，如图2，连接AD，BC，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠BCP+∠BCD＝180°，
∴∠BCP＝∠A，
又∵∠P＝∠P，
∴△PBC∽△PDA，
∴ QUOTE ，
∴PA•PB＝PC•PD．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质．解答本题的关键是熟练掌握相似的性质．
25．【考点】二次函数综合题
【分析】（1）利用待定系数法即可求抛物线的函数表达式；
（2）由ax2+4ax﹣5＝m，根据根与系数的关系可得xA+xB＝﹣4，xA•xB QUOTE ，则AB＝|xA﹣xB| QUOTE ，再由题意可得20+4m＝0，求出m的值即可求AB；
（3）先求出G（﹣2，﹣4a﹣5），抛物线C2的解析式为y＝﹣ax2﹣4ax﹣5＝﹣a（x+2）2+4a﹣5，再求出H（﹣2，4a﹣5），由于AB∥x轴，GH⊥x轴，可知AB、GH为正方形的对角线，则AB＝GH＝4，求出a的值即可．
解：（1）将（﹣1，﹣8）和（1，0）两点代入抛物线C1：y＝ax2+bx﹣5（a≠0）得，
QUOTE ，解得 QUOTE ，
∴抛物线的函数表达式为：y＝x2+4x﹣5；
（2）由ax2+4ax﹣5＝m，
∴xA+xB＝﹣4，xA•xB QUOTE ，
∴AB＝|xA﹣xB| QUOTE ，
∵线段AB的长度不变，
∴20+4m＝0，
解得m＝﹣5，
∴AB＝4；
（3）存在实数a使得以点A，B，G，H为顶点的四边形为正方形，理由如下：
∵y＝ax2+4ax﹣5＝a（x+2）2﹣4a﹣5，
∴G（﹣2，﹣4a﹣5），
设抛物线C2上任意一点（x，y），则点（x，y）关于y＝﹣5对称的点的坐标为（x，﹣10﹣y），
∴﹣10﹣y＝ax2+4ax﹣5，
∴抛物线C4的解析式为y＝﹣ax2﹣4ax﹣5＝﹣a（x+2）2+4a﹣5，
∴H（﹣2，4a﹣5），
∵AB∥x轴，GH⊥x轴，
∴AB、GH为正方形的对角线，
∴AB＝GH，
∴|4a﹣5+4a+5|＝4，
解得a＝± QUOTE ．
【点评】本题是二次函数综合题，考查待定系数法求函数的解析式，二次函数的图象及性质，正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
26．【考点】几何变换综合题
【分析】（1）根据已知条件得到∠BAE＝∠CAF，根据全等三角形的性质得到BE＝CF，求得∠E＝∠AFC，得到∠CFB＝90°，于是得到BE⊥CF；
（2）①根据旋转的性质得到∠CAP＝a，AP＝AC，求得 QUOTE ，得到AB＝AP，求得∠BAP＝90°+α，于是得到∠BPF＝∠APC﹣∠APB＝45°；
②过点A作AE⊥AF，交FB的延长线于点E．得到AP＝AB，根据线段垂直平分线的性质得到FP＝FB，求得AE＝AF，由（1）得△ABE≌△ACF，根据全等三角形的性质得到BE＝CF，在Rt△AEF 中， QUOTE ，推出 QUOTE ；
③由①知∠BPF＝45，根据线段垂直平分线的性质得到BF＝PF，求得∠PBF＝∠BPF＝45°，得到∠BFP＝90°，根据勾股定理得到BF•CF＝5，于是得到△BCF的面积 QUOTE ．
（1）证明：∵∠EAF＝∠BAC＝90°，
∴∠EAF﹣∠BAF＝∠BAC﹣∠BAF，
即∠BAE＝∠CAF，
∵AB＝AC，AE＝AF，
∴△ABE≌△ACF（SAS）．
∴BE＝CF，
∴∠E＝∠AFC，
∵∠EAF＝∠BAC＝90°，AB＝AC，AE＝AF，
∴∠E＝∠AFE＝45°，
∴∠CFB＝90°，
即BE⊥CF；
（2）①解：∠BPF 的度数不变，为45°，
理由如下：
由旋转可知，∠CAP＝a，AP＝AC，
∴ QUOTE ，
∵AB＝AC，
∴AB＝AP，
∴∠BAP＝90°+α，
∴ QUOTE ，
∴∠BPF＝∠APC﹣∠APB＝45°；
②证明：过点A作AE⊥AF，交FB的延长线于点E．
∵AP＝AC，AB＝AC，
∴AP＝AB，
∵AD⊥BP，
∴D为BP中点，
∴AD垂直平分BP，
∴FP＝FB，
∴∠PBF＝∠BPF＝45°．
∴∠PFB＝90°，
∴∠BFD＝∠PFD＝45°，
∵AE⊥AF，
∴∠E＝90°﹣∠AFE＝45°，
∴AE＝AF，
由（1）得△ABE≌△ACF，
∴BE＝CF，
在Rt△AEF 中， QUOTE ，
∴ QUOTE ；
③由①知∠BPF＝45，
∵AB＝AC，AC＝AP，
∴AB＝AP，
∵AD⊥BP，
∴BD＝PD，
∴AF垂直平分BP，
∴BF＝PF，
∴∠PBF＝∠BPF＝45°，
∴∠BFP＝90°，
∵AB＝AC＝3 QUOTE ，∠BAC＝90°，
∴BC QUOTE 3 QUOTE ，
∴BF2+CF2＝BC2＝54，
∵ QUOTE ，
∴BF2+CF2+2BF•CF＝2AF2，
∴54+2BF•CF＝2×（4 QUOTE ）2，
∴BF•CF＝5，
∴△BCF的面积 QUOTE ．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，勾股定理，三角形的面积的计算，等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键
题号
一
二
三
总分
得分
平均数
中位数
众数
优秀率
79
76
84
40%