华东师大版（2024）七年级下册（2024）从实际问题到方程教案

这是一份华东师大版（2024）七年级下册（2024）从实际问题到方程教案，共95页。教案主要包含了知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观，课堂回顾，课后作业，教学反思等内容，欢迎下载使用。
一、知识与技能：
1.让学生理解方程是描述现实世界等量关系的有效工具.
2.让学生初步掌握从实际问题中找到等量关系并列出方程的方法.
3.让学生认识方程的解、方程的根、解方程，会验证未知数的值是否为方程的解，了解“尝试检验法”可以求方程的解.
二、过程与方法：
1.让学生经历从实际问题中抽象出方程的过程，体会从具体到抽象的数学建模过程.
2.培养学生观察、分析的能力和数学表达能力.
三、情感态度与价值观：
1.通过数学与生活的联系激发学生学习数学的兴趣，增强应用数学的意识.
2.鼓励学生合作交流，培养学生积极探索的科学态度.
3.通过对多种方法的分析和对比，培养学生的辩证思维.
教学重点：
厘清实际问题中的数量，找到其中的等量关系，用字母或含有字母的代数式来表示未知数，根据等量关系，列出方程.
教学难点：
在实际问题中，用字母表示恰当的未知数，找到问题中的等量关系并列出方程.
教学过程：
一、问题引入
问题1 课外活动中，张老师组织同学们进行“猜年龄”游戏 ，她首先提出如下问题：
同学们今年的年龄是13岁，我今年的年龄是45岁，经过几年我的年龄正好是你们年龄的3倍？
在课前学习中，你用了什么方法解决这个问题？
让学生各抒己见，分享各种解法，总结其中比较典型的方法，比如：
解法1（尝试——检验）
所以，经过3年，张老师的年龄正好是同学们年龄的3倍.
解法2（分析——列算式）
不管经过多少年，张老师与同学们的年龄差是不变的，根据他们现在的年龄可知，这个年龄差为45－13＝32岁，当张老师的年龄是同学们年龄的3倍时，他们的年龄差应该是同学们年龄的2倍，这时同学们的年龄是32÷2＝16岁，所以要求的年数是16－13＝3，和解法1的答案相同.
【设计意图】通过问题使学生回顾旧知识，探索不同的解法，启发学生对探索更多新方法.解法1的“尝试——检验法”为本节课解方程做铺垫，提供一种思想方法.
二、探索新知
探索1
我们已经学习了“用字母表示数”， 研究这样一个与数量有关的问题，我们不妨先来梳理一下题目中叙述了哪些数量——今年张老师45岁，同学们13岁，是已知数；经过的年数，和那时张老师的年龄、同学们的年龄是未知数.
如果我们用字母（比如x），来表示未知的年数，那么另外两个未知数也可以用同一个字母来表示：
x年后，张老师的年龄为(45＋x)岁，同学们的年龄为（13＋x）岁，这时张老师的年龄是同学们年龄的3倍，即
张老师的年龄＝3×（同学们的年龄），
用字母来表示数，就得到了这样一个含有未知数的等式：
45＋x＝3（13＋x）.
那么解决问题1就转化成了求未知数的值使得等式成立.由解法1、2我们可知经过 3 年老师的年龄是同学们年龄的 3 倍，也就是当x＝3时，等式45＋x＝3（13＋x）成立.
试一试
同学们今年的年龄是13岁，班主任李老师今年的年龄是55岁，经过几年李老师的年龄是同学们年龄的3倍？
学生仿照问题1独立完成，教师提示学生这个问题如果用“尝试—检验法”是要麻烦一些的，逐年验证的次数比较多，同学们可以自行尝试.
让我们回到本章开头提到的问题：
问题2 学校运动员沿校园周边的步道晨跑，甲、乙两队员同时出发，跑完一圈乙比甲多用1min.已知甲、乙队员跑步的平均速度分别是4m/s、3.5m/s.这一圈步道有多长？
探索2
这是一个行程问题，涉及甲乙两人行驶的速度、时间和路程，引导学生列表，以便厘清问题中的数量.
解法1：设一圈步道长为x米，根据题意，
跑完一圈乙比甲多用1min（60s），即跑完一圈
乙所用时间＝甲所用时间＋60s
用字母来表示数，就得到了这样一个含有未知数的等式：
.
解法2：设甲跑完一圈需要x秒，根据题意，
甲、乙都跑完了一圈步道的长度，即
乙所走的路程＝甲所走的路程
用字母来表示数，就得到了这样一个含有未知数的等式：
x＋60＝3.5（x＋60）.
注意：这种情况下使等式成立的未知数的值并不是问题的答案，而是甲跑完一圈所需要的时间，把这个值代入到等式的左边或者右边，得到的才是一圈步道的长度。相比于方法一，直接把所求的未知数有字母表示，这种方法可以理解为是间接设未知数。
方法对比：显然，这个问题用“尝试—检验法”，把步道长的可能值逐一代入检验，是很难实现的。那如果用“分析—列算式法”解决呢？我们来分享两种列算式的方法：
列算式方法1：因为甲的速度为4m/s，所以甲跑1m需要用秒；乙的速度为3.5m/s，乙跑1m需要用秒.所以每跑1米，乙要比甲多用
（s）.
因为全程乙比甲多用60秒，所以全程长度为
（m）.
列算式方法2：甲、乙两人的速度比为，所以跑完相同的路程，，所以，因为乙比甲多用60秒，所以甲用的时间为
60×7＝420（s）.
甲的速度为4米每秒，所以全程长度为
4×420=1680（m）.
【设计意图】引导学生在面对和数量有关的问题时，先梳理题目中的数量，有未知数的可以用字母表示.未知数的选择是要经过思考的，如果能把所有未知数都用同一个字母或者含有这个字母的代数式表示，再找到问题中的等量关系，用含有字母的等式加以表达，就建立含未知数的等式.如果我们能求出未知数的值使等式成立，问题就解决了.
对比学生课前所掌握的“尝试检验法”、“分析列算式法”，显然，复杂问题用“尝试—检验法”，是很麻烦或者很难实现的。“分析—列算式法”的思维难度是比较大的。而用字母表示数，再用含有未知数的等式来“翻译”问题中的相等关系，正向分析，更加简单、直接。让学生感受到问题越复杂，这种方法的优势就越明显.
顺着上述思路，研究这样的等式，进一步寻求解决问题的方法.
概括：以上问题中，得到了含有未知数的等式：
像这样，含有未知数的等式叫做方程.
能使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.例如x＝3是方程①的解，它能使得方程①左右两边的值相等，都等于48.当方程中只有一个未知数，方程的解也叫做方程的根.例如方程①中只含有一个未知数，所以方程的解x＝3也叫做方程的根.
例题：检验下列方程后面大括号内所列各数是否为方程的解：
解：当x＝－5时，
∵左边≠右边，∴x＝－5不是原方程的解.
当x＝3时，
∵左边＝右边，∴x＝3是原方程的解.
概括：求方程的解的过程，叫做解方程.
我们可以用“尝试——检验”的方法来寻找方程的解，同学们课后可以自行阅读教材第4页“读一读”中的例子.
总结列方程解决实际问题的一般步骤：
①审题，找到问题中的已知量、未知量、等量关系；
②设未知数，用字母或含有字母的代数式来表示未知数；
③根据等量关系，列出方程.
【设计意图】我们暂时不关注方程的解法.当然，我们可以用“尝试——检验”的方法来寻找方程的解.本节课，我们认为把问题转化为方程，就找到了解决问题的方法，至于方程的解法后续我们会系统地学习.把实际问题转化为数学问题之后，对于结果的检验，我们也在以后的学习中再来探讨.
三、应用新知
根据题意列出方程（不必求解）
（1）某班原分成两个小组进行课外体育活动，第一组26人，第二组22人，现根据学校活动器材的数量，要将第一组的人数调整为第二组的一半，应从第一组调多少人到第二组去？
解：设应从第一组调x人到第二组，
.
（2）加工某种零件，师傅平均每小时做5个，徒弟平均每小时做4个，加工一盒零件，师傅比徒弟少用2h，问：一盒零件有多少个？
解法1：解：设一盒零件有x个，
.
解法2：解：设徒弟用x小时加工完一盒零件，
.
四、课堂回顾
1.概念：
（1）含有未知数的等式叫做方程.
（2）能使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解.当方程中只有一个未知数时，方程
的解也叫做方程的根.
（3）求方程的解得过程，叫做解方程.
2.根据实际问题列方程的步骤：
①审题，找到问题中的已知量、未知量、等量关系；
②设未知数，用字母或含有字母的代数式来表示未知数；
③根据等量关系，列出方程.
【设计意图】通过梳理、归纳，加深学生对知识的理解和记忆.
五、课后作业
【课后任务A】
1.教材P4——读一读.
2.检验下列方程后面大括号内所列各数是否为方程的解：
.
3.小明去商店买练习本，回来后问同学：“店主告诉我，如果多买一些就给我打
八折，于是，我就买了20本，结果便宜了4.8元，原来每本的价格是多少？”
你能列出方程吗？
【课后任务B】
4.根据题意列出方程（不必求解）：
（1）某班到离 30 km 的国家森林公园春游.先坐车，速度为 36 km/h，下车后以 6 km/h 的
速度步行到达目的地，共花了1h.问：他们步行了多少时间？
（2）某车间接到一批小家电组装任务，原计划每天组装 36 台，预计若干天完成.在组装了任
务的三分之一后，调整工序，改进操作技术，工效提高了1倍，结果提前 2 天完成任务，
求这次组装小家电的总台数.
【设计意图】分层作业有正对性的帮助学生提升，同时也能提高学生完成作业的积极性.作业内容的设计主要进一步加强学生对方程的解的认识，提高学生从实际问题中建立方程的能力.
六、教学反思
方程主要体现的是数量与数量之间相等的关系，它是描述现实世界等量关系的模型，是解决实际问题的重要工具，所以结合实际问题建立方程，分析和解决问题，始终是学习方程的核心。新概念、新方法的引入应该让学生感受到引入的必要性。算术方法解决问题非常困难的时候，教师提供一种新的方法，才能使学生感受到引入新方法的必要性。
方程的本质是描述现实世界中的等量关系。在教学活动中应当让学生感悟方程的本质，感悟如何通过数学的形式表述现实生活中的等量关系，这种感悟对于学生未来的学习和发展都是非常重要的。
板书设计
时间
张老师的年龄
同学们的年龄
是否为3倍
今年
45
13
否
1年后
46
14
否
2年后
47
15
否
3年后
48
16
是
速度（m/s）
时间（s）
路程（m）
甲
4
乙
3.5
速度（m/s）
时间（s）
路程（m）
甲
4
x
乙
3.5
x
速度（m/s）
时间（s）
路程（m）
甲
4
x
4x
乙
3.5
x＋60
3.5（x＋60）
5.1从实际问题到方程
一、概念
1.方程
2.方程的解
3.解方程
二、列方程解决实际问题的步骤
1.审题
2.设未知数
3.列方程
问题1
方法1：
方法2：
方法3：
问题2
方法1：
方法2：
练习
1.
2.