2026省哈尔滨三中高三下学期第一次模拟考试数学含解析

这是一份2026省哈尔滨三中高三下学期第一次模拟考试数学含解析，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数为纯虚数，则实数（ ）
A．1B．C．0D．1或
3．函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
4．2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bt》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况：
①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳；
②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳；
③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳.
则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ）
A．0.9B．0.91C．0.92D．0.93
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数是定义在上的偶函数，关于中心对称，则下列说法正确的是（ ）
A．的一个周期为6B．
C．D．
7．某广场地面上有一条直线轨道与两个固定反光点和（为灯光照射的角度参数），一移动激光灯P沿轨道l移动，激光灯P发出的光线会同时照射到A和B，形成两个光斑.为了让光斑的亮度达到最佳效果，需要计算激光灯与两个反光点之间的能量耦合值W，W定义为与的数量积.则激光灯在轨道上滑行时能量耦合值W的最小值为（ ）
A．12B．C．D．
8．关于x的方程有两个不同实根，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．如图，在正三棱锥中，，D是中点，E是中点，点F，G满足，，直线DF，GE相交于H，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．与是共线向量D．
10．已知椭圆，，分别是椭圆C的左右焦点，O是原点，P是椭圆C上任意一点，下列说法正确的有（ ）
A．的周长是
B．时，的面积是
C．的最大值是2
D．过P作椭圆C的切线与x轴和y轴分别交于A，B两点，则面积的最小值为
11．已知数列，给出以下定义：对于任意的，都有，则称数列为“友好数列”；特别地，对于任意的，都有，则称数列为“超越友好数列”，下列说法正确的是（ ）
A．若数列满足，且前n项和为，则数列为“友好数列”
B．若数列满足，，且数列为“超越友好数列”，则
C．若数列为“超越友好数列”，且，则数列没有最小项
D．若数列为“友好数列”，则对于任意的，当时，总有成立
三、填空题
12．已知随机变量，，则______.
13．如图，在平面四边形ABCD中，，，，，，则的面积是______.
14．平行六面体所有棱长都相等，，点在底面的射影为中点，且直线与底面夹角为，则三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为_____．
四、解答题
15．已知数列的前项和为.
(1)求的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
16．为了探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校采用按比例分层抽样的方式得到200名学生的测验成绩，样本中认真完成作业的学生成绩频率分布直方图如图1所示.若认为成绩不低于120分为优秀，且数学成绩为优秀的学生年级分布扇形图如图2所示，已知样本中高三年级有15位同学成绩为优秀，且在所有数学成绩为优秀的学生中，认真完成作业的学生占.
(1)求a的值，并且计算出样本中认真完成作业的学生成绩的下四分位数；
(2)根据样本数据完成下方列联表，依据小概率值的独立性检验，分析认真完成作业与成绩是否有关.
附：.
17．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，G，F分别是线段，的中点.
(1)求证：平面；
(2)若平面平面，，，且平面与平面夹角余弦值为，求的长.
18．已知抛物线焦点为，，，为抛物线上的三个动点，且.
(1)求拋物线的方程；
(2)过分别作抛物线的三条切线，分别为，，，，交于点，，交于点E，，交于点.
（i）证明：的垂心在一条定直线上；
（ii）已知G点在曲线（）上，求的面积的最大值.
19．已知函数.
(1)若，求的单调区间；
(2)，成立，求实数a的取值范围；
(3)若时，与的图象有三个交点，横坐标分别为，，（），求证：.
认真完成作业
不认真完成作业
成绩优秀
成绩不优秀
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
参考答案
1．A
【详解】由得，解得，所以
又，所以
2．B
【详解】因为复数为纯虚数，所以，解得.
故选：B.
3．D
【详解】，
，则，即定义域为，
设，则，
故为偶函数，图象关于轴对称，排除BC，
当时，，，，，排除A，
所以选项D正确.
4．D
【详解】.
5．D
【详解】由.
6．B
【详解】选项A，的图像向左平移个单位得到，
又关于中心对称，
关于中心对称，，
将式子中的用代替，得到，
是定义在上的偶函数，，
，将此式子中的用代替，得到，
则是一个以为周期的周期函数，故选项A错误；
选项B，关于中心对称，的定义域为，，
是定义在上的偶函数，，故选项B正确；
选项C，，，但是根据题中已知条件无法得到，故选项C错误；
选项D，是一个以为周期的周期函数，
，，
，，，
，
，，
，
仅根据已知条件无法确定其值，故不能得出，故选项D错误.
7．C
【详解】设，坐标原点为 ，
则，，
即
即，当最小时W最小，
原点到直线的距离为，
所以，
所以.
8．B
【详解】方程，令函数，
而，则函数在R上单调递增，又方程等价于，
因此，
令函数，依题意，方程有两个不同实根，
求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
又，当时，恒有，
则当且仅当时，方程有两个不同实根，
所以实数a的取值范围为.
9．AC
【详解】对于A，设，，
则，
于是，故A正确；
对于B，因为，，所以，则夹角等于，
因为，则为锐角，由数量积的定义可知，故B错误；
对于C，因为，平面，则平面，
同理，平面，则平面，
又平面平面，故，即三点共线，故C正确；
对于D，因
，故D错误.
10．ACD
【详解】对于A，由椭圆知椭圆焦点在轴上，且，
则的周长是，故A正确；
对于B，由椭圆的定义得，，
由余弦定理得，，
则，即，则，
所以的面积为，故B错误；
对于C，由，则，
当且仅当时等号成立，故C正确；
对于D，先证明：椭圆上的一点处的切线方程为.
联立，得，
点在椭圆上，，
，即，
， 得，故直线和椭圆仅有一个公共点，
则椭圆上的一点处的切线方程为.
设，由题意知的切线斜率存在，则切线方程为，
令，得，令，得，即，
又，则，
即，当且仅当时等号成立，
则面积为，
即的面积的最小值为，故D正确.
11．ABD
【详解】对于A，由，则，
对于任意的，都有，
故，所以数列是“友好数列”，故A正确；
对于B，因为数列为“超越友好数列”，
所以对于任意的，都有，即，
又，，则，即，
所以，故B正确；
对于C，因为数列为“超越友好数列”，，
所以对于任意的，都有，即，
设，则数列为单调递增数列，且，
所以，
因为，所以，
所以存在，时，，，
当时，，数列为递减数列；
当时，，数列为递增数列.
因此，数列存在最小项为，故C错误；
对于D，因为为“友好数列”，
所以对任意的，都有，即，
所以对于任意的，当时，
总有，
所以.
又，
所以.
由于，故，故D正确.
12．/
【详解】由题意得.
13．15
【详解】在中，由余弦定理得，
即，解得，，
而，则，又，因此，
所以的面积是.
14．/
【详解】设中点为，
，，
，，
即，
，则，
，
又平面，平面，
，则，
，即，
三棱锥中均为直角三角形，
且平面平面，
三棱锥的外接球是以为直径，为球心，半径，
设到平面的距离为，外接球被平面截得的截面半径为，
，
，，
，解得，
截面半径，面积为．
15．(1)
(2)
【详解】（1）当时，，
当时，，
当时，也符合，
所以.
（2）由（1）可得，
16．(1)，下四分位数
(2)有关
【详解】（1）根据频率分布直方图的性质，所有组频率和为，组距为，
因此：，解得：，
下四分位数即第百分位数，计算累计频率
频率，累计；频率，累计；
频率，累计；频率，累计。
，因此第百分位数在区间内，
计算得：下四分位数
（2）零假设：认真完成作业与成绩无关
，因为，
依据小概率值的独立性检验，零假设不成立，即认真完成作业与成绩有关，
该判断出错概率不超过0.001，
认真完成作业的学生中成绩优秀的频率为0.4，
不认真完成作业的学生中成绩优秀的频率为0.1，
可以发现认真完成作业的学生成绩优秀的频率是不认真完成作业的学生的4倍，差异显著.
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接，
因为四边形为正方形，G是线段的中点，
所以G是线段的中点.
又因为F是线段的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为平面平面，平面平面， ，平面，
所以平面，
过点作，，所以平面，
又因为，所以以点为原点，以为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，
所以，
取平面的法向量为，
，
设平面的法向量为 ，
则，
令，则，
因为平面与平面夹角余弦值为，
所以 ，
即，
化简得到，解得 或（舍去），
因为 ，所以，故.
18．(1)
(2)（i）证明见详解
（ii）
【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，已知焦点，故，
因此抛物线方程为：.
（2）（i）由方程，故在点处切线方程为：
方程为，
方程为方程为，
联立故解得，
同理可得
则过点与垂直的直线为：，①
过点点与垂直的直线：，②
①－②可得：
故的垂心在一定直线上
（ii）设，由（i）可知：的直线方程为，
将代入可得：，
同理可得，
故的直线方程为，
联立直线与抛物线得，
由弦长公式，
为了使的面积最大，必须保证处的切线与直线平行，
所以，
从而故的面积为：
，
当时，取得最大值.
19．(1)递减区间为，递增区间为
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）解：当时，可得，可得，
令，可得，
当时，，可得，
即，单调递减；
当时，，所以，单调递增，
则，即，单调递增，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）解：令，
可得，令，
则，
当时，，，，故，
当时，，，故，
所以当时，可得，单调递增，即单调递增，，
当时，，则，在上单调递增，
所以，所以成立，满足题意；
当时，存在，使得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
当时，，不满足题意，
综上可得，实数的取值范围为.
（3）解：当时，，可得，
设，可得，
设，可得，
设，可得，
当时，，可得，
则在上单调递增，
因为，
所以存在唯一，使得，
可得在上单调递减，在上单调递增，
，
所以存在唯一的，使得，
且在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
由，，，
又由
，
因为，，可得，，
可得，，所以，
则存在唯一，使得，
且在上单调递增，在上单调递减，
当时，，，则在上单调递增，
则，则存在唯一，使得，
当时，，当时，，
当时，，可得，
在上单调递增，，，
综上可得，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
要使得与的图像有三个交点，
则，
，则，
又因为，则，则，认真完成作业
不认真完成作业
成绩优秀
成绩不优秀