2026省齐齐哈尔高三下学期第一次模拟考试数学含解析

这是一份2026省齐齐哈尔高三下学期第一次模拟考试数学含解析，共18页。试卷主要包含了 设集合，则， 已知点是重心，若，则， 若，则， 古巴比伦泥板， 若，则的最小值为， 对任意，函数都满足，则等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：由，得到，所以，
由，即，解得，所以，
故.
2. 复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
解析：设，由，得，
即，得，
所以在复平面内对应的点为位于第四象限.
3. 已知点是重心，若，则（ ）
A. -1B. C. 0D. 1
【答案】C
解析：
设是的中点，则.
所以.
因为，所以，
因此.
4. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
解析：因为在上单调递增，所以，可得，
根据，且在上单调递增，可得，即，
由在上单调递增，可得，结合，可得.
5. 古巴比伦泥板（大英博物馆藏K90泥板）上记录的月相变化数列，是人类早期对天文现象进行数学描述的重要例证.该数列将满月等分为240份，记数列为第天月球被太阳照亮部分占满月的份数（其中且）组成的数列，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即份；第15天为满月，即.若在数列中，前5项构成公比为的等比数列，第5项到第15项构成公差为的等差数列，且均为正整数，则第10天可见部分占满月的（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解析：由题知，，即，
所以，因均为正整数，当时，，
当时，，满足；当时，，
所以，此时月球被太阳照亮部分占满月的.
6. 3名男生和2名女生站成一排，其中男生甲不站在两端，且2名女生不相邻的不同站法有（ ）
A. 24种B. 48种C. 72种D. 96种
【答案】B
解析：第一类：先排3名男生，甲在两端的排序有种，再2名女生插空有种；
第二类：先排3名男生，甲在中间的排序有种，再2名女生插空有种，
故男生甲不站在两端，且2名女生不相邻的不同站法有（种）.
7. 若，则的最小值为（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】C
解析：，
当且仅当，即时取等号.
目标式最小值为4.
8. 已知数列的首项，若数列是递增数列，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
解析：因为，整理得，
由于，可得数列是首项为，公比为的等比数列，
则.
因为数列是递增数列，所以，
即对任意的正整数都成立.
当为偶数时，恒成立，所以，
由单调递减，可得，则；
当为奇数时，恒成立，所以，
由单调递增，可得，
则，则的取值范围是.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 一组数据的极差为4，平均数为3，方差为2，若，则（ ）
A. 的第80百分位数为
B. 的极差为8
C. 的平均数为7
D. 的方差为4
【答案】BC
解析：数据的大小不确定，所以第80百分位数不能确定，故A错误；
数据的极差为4，即.
由，可知，，
，故B正确；
由数据的平均数为3，，得数据的平均数为，故C正确；
由数据的方差为，由，得数据,的方差为，故D错误.
10. 对任意，函数都满足，则（ ）
A.
B.
C. 在上单调递增
D. 直线是曲线的切线
【答案】ACD
解析：令，则有，
所以，故A正确；
因为，
所以对任意均成立，
当取任意值，取定值时，为常数，
当取任意值，取定值时，为常数，
所以与等于同一个常数，
设，
令，则，
解得，故B错误；
由，得，
所以在上单调递增，故C正确；
因为，所以，
令，得，
又，所以直线是曲线在处的切线，故D正确.
11. 已知椭圆：的左､右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于，两点，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 周长的最大值为8
B. 若，则直线方程为
C. 若，则直线方程为
D. 若动点满足，则点轨迹方程为
【答案】ABD
解析：选项A：椭圆中，，.
周长为，当且仅当直线过时取等号，故A正确；
选项B：当时，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立，整理得，
设，，
因为，所以，所以，即，解得，
此时直线的方程为，故B正确；
选项C：当时，，所以，，
则，解得，
则，
所以，
整理得，显然不是方程的根，故C错误；
选项D：设，因为，，
所以，即，
两式相乘可得，同理可得，
则，
所以，
又，椭圆上，所以，，则，
若，则，此时点不存在；若，则，此时不满足题意；
所以，所以，
动点的轨迹方程为，即，故D正确.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知双曲线：的实轴长是虚轴长的2倍，则的离心率为_______________.
【答案】##
解析：因为的实轴长是虚轴长的2倍，所以，从而.
故答案为：
13. 已知函数，若的图象关于直线对称，，则的值为______.
【答案】##
解析：函数，因为函数图象关于直线对称，
所以，即，因为，所以，
所以，
又，所以，
所以
.
14. 已知正三棱柱的各棱长均为分别为棱的中点，经过作该三棱柱外接球的截面，则截面面积的最小值为__________.
【答案】
解析：正三棱柱的外接球的球心为上下底面的外接圆圆心的连线的中点，连接，
设外接球的半径为，为正三角形，其外接圆半径为
则下底面外接圆的半径为，
在中，，则，
在中，，，，
作于，由于，则F为的中点，
则过的平面垂直时截面圆的面积最小，
则，截面圆的半径为，
所以截面圆的面积最小值为.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 在锐角中，角所对的边分别是，且.
（1）求；
（2）求的最大值.
【答案】（1）
（2）
（1）
因为，
由正弦定理可得，
在中，，
代入整理可得，
又，则，可得，即，
又，则，则，可得.
（2）
由余弦定理可得.
因为为锐角三角形，且，所以，，
所以.
由，所以，所以，即.
所以当，即时，即为等边三角形时，取得最大值.
16. 中国的航天事业历经数十年的发展，已经形成了完整的航天技术体系，涵盖运载火箭､载人航天､深空探测等多个领域.为了了解不同学历人群对航天工程的关注情况，某社区随机调查了200位社区居民，得到如下数据（单位：人）：
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为对航天工程的关注情况与学历有关？
（2）现为了激发社区居民对航天工程的关注，该社区举办了一次航天知识闯关比赛，规则如下：
第一关：设置3道必答题，参与者需至少答对2道才能参与下一关答题，否则淘汰；
第二关：设置3道题，前2道题每答对1道奖励200元，答错即结束答题，奖励清零，2道题都答对可选择放弃答题，领取奖励，也可以选择继续答题（等可能的选择），第3道题答对奖励400元，答错前2道奖励减半，答题结束.已知甲参与闯关比赛，第一关答题的3道题每道题答对的概率均为，第二关答题的前2道题每道题答对的概率均为，第3道题答对的概率为，各题答对与否相互独立.
（i）求甲能进入第二关答题的概率；
（ii）已知甲进入第二关答题，从期望的角度，帮助甲分析是否挑战第3道题，使获取的奖金更多.
参考公式及参考数据：.
【答案】（1）能 （2）（i）；（ii）当时，建议挑战第3道题；当时，挑战和不挑战第3道题都可以；当时，建议不挑战第3道题.
（1）
解：零假设为：对航天工程的关注情况与学历无关，
依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为对航天工程的关注情况与学历有关.
（2）
解：（i）记甲能进入第二关答题为事件，即3道题至少答对2道题，
所以
（ii）若确定不挑战第3道题，获得奖金为，的可能取值为0,400，
，
则的分布列为：
所以；
若确定挑战第3道题，获得奖金为，的可能取值为0,200,800，
，，
则的分布列为
所以.
令，
故当时，，建议挑战第3道题；
当时，，挑战和不挑战第3道题都可以；
当时，，建议不挑战第3道题.
17. 已知动圆过定点，且被轴截得的弦长为4.
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）已知过点的直线与圆心的轨迹交于两点，点关于轴的对称点为.
（i）求（为坐标原点）面积的最小值；
（ii）证明：直线必过定点.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）证明见解析
（1）
解：设动圆圆心为，
则，
圆心到轴距离为，动圆被轴截得的半弦长为2，
则，
化简得，
所以动圆圆心的轨迹方程为.
（2）
（i）解：设直线的方程为，
联立，消去整理得，
则，
则的面积为，
当且仅当时取等号.
所以面积的最小值为.
（ii）证明：由题得，
则直线的方程为，
根据抛物线的对称性可知定点必定在轴上，
令，得
，
所以直线必过定点.
18. 如图，线段为圆锥底面的直径，点为线段的中点，点是以为直径的圆上除外的一个动点，，且.
（1）证明：平面平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（1）
因为垂直于圆锥的底面，又底面，所以，
因为，是线段的中点，又，则，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）
以为坐标原点，以为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，
设，因为点是以为直径的圆上除外的一个动点，
则点的轨迹方程为，
由（1）知，，所以点也在以为直径的圆上，
则点的轨迹方程为，
联立，可得，
因为两交点关于轴对称，不妨取，
，
设平面的法向量为，则，
取，则，
设与平面所成的角为，
则.
19. 已知函数.
（1）当时，求函数在上的值域；
（2）若对任意，都有，求实数的取值范围；
（3）证明：.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
（1）
当时，，则，
令，则，即；
令，则，即.
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，
所以的值域为.
（2）
由，得，
设，则，
，
设，则，
所以当时，，所以在上单调递增，
所以.
①当时，在上单调递减，则，不满足题意；
②当时，，使得，
当时，在上单调递减，则，不满足题意；
③当时，在上单调递增，则，满足题意.
综上可得，即实数的取值范围是.
（3）
证明：由（2）得，当时，任意恒成立，
即，
所以，
所以
.
令，则，
存在，使得.
则当时，；当时，，
于是在上单调递增，在上单调递减，而，
所以，即当时，
所以，
所以
.学历
关注
不关注
合计
本科及以上
80
20
100
本科以下
60
40
100
合计
140
60
200
0.05
0.01
3.841
6.635
0
400
0
200
800