2026商洛高三上学期期末考试数学含解析

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数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，为虚数单位，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．已知向量，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知椭圆上任意一点到它的两个焦点的距离之和为10，且，则椭圆的焦距为（ ）
A．2B．4C．6D．8
5．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知则A=（ ）
A．B．C．D．
6．设函数，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．若，则=（ ）
A．B．C．D．
8．在正四棱台中，，且，记能将正四棱台罩住的半球的最小半径为，正四棱台外接球的半径为，则（ ）
A．B．1C．D．
二、多选题
9．将某班级40名学生的数学测试成绩（满分150分）整理为如下频数分布表，则下列说法正确的是（ ）
A．该组数据的中位数在内
B．该组数据的第80百分位数在内
C．若去掉其中一个同学的数学测试成绩，则剩余39人的数学测试成绩的方差会变小
D．若从和两组数据中按分层抽样抽取5人，则共有120种不同的选法
10．已知直线是函数图象的一条对称轴，则下列结论正确的是（ ）
A．点是图象的一个对称中心
B．在上单调递减
C．若在上恒成立，则的最大值为
D．若在上恰有2个零点，则的取值范围为
11．已知函数，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．已知圆与圆相交，则的取值范围为 .
13．已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，O为坐标原点，若的面积为2，则 ．
14．将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入一个的方格中，每个格子填1个数字，且不重复，要求第一行数字满足，第三行数字满足，第三列数字满足，则符合要求的填数方法共有 种．（用数字作答）
四、解答题
15．设等差数列的前项和为且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
16．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，，D为BC的中点．

(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
17．已知函数
(1)若点在的图象上，求曲线在点P处的切线方程；
(2)若点不在的图象上，过点M且与的图象相切的直线与x轴平行，求a的值．
18．为了了解人们对AI应用的喜爱程度，现随机抽取不同年龄段的1000人进行调查统计，得到如下2×2列联表：
(1)完成2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断人们对AI应用的喜爱程度是否与年龄有关联．
(2)从这1000名调查者中随机抽取一人，若这个人年龄不超过35岁，求该调查者是喜爱AI应用的概率．
(3)为推广AI应用，某科技公司组织了AI应用知识竞赛活动．活动规定从10道备选题中随机抽取4道题进行作答．假设在10道备选题中，甲只能正确完成其中的8道题．设随机变量X表示甲可以正确完成的题的数量，求变量X的分布列及数学期望．
附：其中．
19．已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，点在双曲线上，且在第一象限，点在轴正半轴上，且四边形为菱形.
(1)求双曲线的方程.
(2)已知直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点，与两渐近线分别交于点.
①求的取值范围；
②直线经过右焦点，且与双曲线的左、右两支分别交于两点，试判断与的大小关系，并说明理由.
参考答案
1．C
【详解】因为，所以．
2．D
【详解】由，，得，解得，
所以.
故选：D
3．A
【详解】因为，
所以．
故选：A.
4．C
【详解】依题意得，解得.又，所以，从而，
所以焦距为.
故选：C.
5．B
【详解】因为，由正弦定理可得，
因为，解得，则，又，所以．
故选：B.
6．A
【详解】令，则.
因为是减函数，是增函数，所以函数在上单调递减；
因为是减函数，所以在上单调递减.
因为，，所以函数在上单调递减。
因为，所以，所以，解得．
故选：A.
7．B
【详解】因为，所以，
又，解得，所以．
故选：B．
8．D
【详解】如图，连接，，它们的中点分别记为，，连接，，易知为此正四棱台的高，
，则，所以，，
过点作的垂线，垂足为， 则，
，则，，
故能将正四棱台罩住的半球的最小半径．
设该正四棱台外接球的球心到平面的距离为，则，解得，，故．
故选：D

9．ABD
【详解】对于A，由题意得总人数为40，则中位数为第个数据的平均数，
而前两组频数和为，前三组频数和为，
因此中位数在内，故A正确．
对于B，计算第80百分位数的位置，
而前3组频数和为24，前4组频数和为，
则第80百分位数在内，故B正确．
对于C，由方差的性质得方差反映数据的离散程度，
由于未明确被去掉同学的数学测试成绩与平均数的偏离程度，
因此无法确定方差的变化，故C错误，
对于D，成绩在内的有4人，成绩在内的有6人，
按分层抽样抽取5人，则从这两组分别选2人与3人，
不同的选法数为，故D正确．
故选：ABD
10．AC
【详解】已知直线是对称轴,则有.
因为,所以当时,.即.
对于选项A,对称中心坐标满足,解关于的方程:,
.当时,.此时,
所以点是函数图像的一个对称中心,故A正确.
对于选项B,根据正弦函数的单调性,单调递减区间为:，
解不等式，
当时,单调递减区间为.
显然,故B错误.
对于选项C,即.
则有,，解不等式:
.
当时,,因为在上恒成立，所以的最大值为，故C正确.
对于选项D,令,则，
解关于的方程: .
当时,，当时,;当时, .
因为在上恰有2个零点,所以,故D错误.
故选：AC.
11．BCD
【详解】因为，，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，且当时，.
对于A，因为，所以，所以A错误；
对于B，要证，只需证，即证，
因为,所以,
所以，所以，所以B正确；
对于C，因为，所以，又，所以，则，所以C正确；
对于D，因为，所以，所以D正确.
故选：BCD.
12．
【详解】由题意得圆的圆心为，半径为，圆的圆心，半径为，
且，
由两圆相交，可得，解得，即的取值范围为，
故答案为：.
13．2
【详解】因为，所以，从而．由的面积为2，得，解得．
故答案为：2.
14．1080
【详解】从9个数中任取2个数填入和的位置，有种方法．
因为，，
所以在剩下的7个数中，最大的数只能填入的位置，
再从剩下的6个数字中选择4个数字填入，，，的位置，且这4个数字只能按照从小到大的顺序分别填入，，，的位置，
最后剩下的2个数字只能按照从小到大的顺序分别填入，的位置，
故填好，，，，，，共有种方法．
因此，按照要求填好该方格共有种方法．
故答案为：1080.
15．(1)
(2)
【详解】（1）由题意得，即，
又，即，
联立，解得，
则.
故的通项公式为.
（2）因为，
所以.
16．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接，与交于点，则为的中点，连接OD，

因为为的中点，所以是的中位线，
则，
又平面，平面，
所以平面．
（2）由题可知为正三角形，为的中点，则，
以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

由，可得，
则，
设平面的法向量为，
则由可得
令，得，
设平面的法向量为，
则由可得
令，得，
，
由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．
17．(1)
(2)
【详解】（1）由点在的图象上，得，解得，
所以，求导得，则，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）设过点的直线与的图象切于点，
则切线的斜率.
因为直线与轴平行，所以的斜率为0，
得
解得，，所以的值为.
18．(1)列联表见解析，依据小概率值的独立性检验，可判断人们对AI应用的喜爱程度与年龄有关联．
(2)
(3)分布列见解析，
【详解】（1）补全的列联表如下：
零假设为：人们对AI应用的喜爱程度与年龄无关.
根据表中数据，计算得到．
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断成立，
即认为人们对AI应用的喜爱程度与年龄有关，该推断犯错误的概率不超过0.001．
（2）从这1000名调查者中随机抽取一人，记这个人的年龄不超过35岁为事件，这个人喜爱AI应用为事件，
则，
所以.
若这个人年龄不超过35岁，则该调查者是喜爱AI应用的概率为．
（3）的所有可能取值为2，3，4，
的分布列为
的数学期望.
19．(1)
(2)①；②，理由见解析
【详解】（1）依题意知菱形的边长为，且，所以，
所以，可得.
又，所以，由，得，
所以双曲线的方程为.
（2）①法一：由题意可知，直线的斜率不为，故设直线的方程为，
由消去得，
设，则，
因为直线过右焦点，且与右支交于两点，所以，即，
则
，
又渐近线的方程为，所以由，得,
由，得，
不妨设，
则，所以，
因为，所以.
法二：由题意可知，直线的斜率不为，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由消去得，
设，则，
因为直线过右焦点，且与右支交于两点，所以，则，
则
又两渐近线方程为，所以由解得，
由解得，
不妨设，
则，所以，
因为，所以.
当直线的斜率不存在时，则直线的方程为，
可得，，
则，，则，
综上，.
②法一：若，则的方程为，
由（2）①知，同理可得，
所以.
当时，，
又，所以，
综上，.
法二：当直线的斜率存在时，因为，所以的方程为，
由（2）①知，同理可得，
所以.
当直线的斜率不存在时，，
又，所以.
综上，.成绩
频数
4
8
12
10
6
年龄
AI应用
合计
不喜爱
喜爱
不超过35岁
400
600
超过35岁
300
合计
1000
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
年龄
AI应用
合计
不喜爱
喜爱
不超过35岁
200
400
600
超过35岁
300
100
400
合计
500
500
1000
2
3
4