陕西省商洛市2023−2024学年高一下学期期末考试 数学试题（含解析）

这是一份陕西省商洛市2023−2024学年高一下学期期末考试 数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知向量，且，则（ ）
A．B．5C．D．7
2．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知单位向量，满足，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
4．记三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知向量，，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A．B．C．D．
6．在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（ ）
A．B．C．D．
8．在正三棱柱中，，M是AB的中点，N是棱上的动点，则直线与平面所成角的正切值的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知复数为的共轭复数，若，下列结论正确的是（ ）
A．在复平面内对应的点位于轴上
B．的实部为0
C．的虚部为
D．
10．Z国进口的天然气主要分为液化天然气和气态天然气两类.2023年Z国天然气进口11997吨，其中液化天然气进口7132吨，气态天然气进口4865吨.2023年Z国天然气及气态天然气进口来源分布及数据如图所示：
下列结论正确的是（ ）
A．2023年Z国从B国进口的液化天然气比从A国进口的多
B．2023年Z国没有从A国进口液化天然气
C．2023年Z国从C国进口的液化天然气一定比从D国进口的多
D．2023年Z国从B国进口的液化天然气一定比从D国进口的多
11．在中，D是BC的中点，，，下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．面积的最大值为
C．D．若，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．有一组样本数据为1，3，5，7，则它的方差为 .
13．已知a，b均为实数，，则 .
14．已知某圆台的母线长为3，下底面的半径为1，若球O与该圆台的上、下底面及侧面都相切，则球O的表面积为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．在平面直角坐标系中，已知点，，，点P满足.
(1)当，时，求点P的坐标；
(2)若，求的值.
16．已知，复数.
(1)若为纯虚数，求；
(2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求整数的值.
17．在中，已知为的中点，，，.
(1)求的面积；
(2)求的长.
18．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为的中点，为的中点.
(1)证明：平面.
(2)求点到平面的距离.
19．如图，在四棱锥中，底面ABCD，E是PC的中点，点F在棱BP上，且，四边形ABCD为正方形，.

(1)证明：；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求二面角的余弦值.
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据向量共线的坐标运算可得答案.
【详解】因为，所以，解得.
故选C.
2．【答案】A
【分析】由题意可得，再根据复数的四则运算计算即可.
【详解】因为，
所以.
故选A.
3．【答案】C
【分析】运用数量积的定义，运算律，模长公式求解即可.
【详解】，两边平方得到，即，
解得．
故选C.
4．【答案】B
【分析】由，根据正弦定理可得，结合余弦定理计算即可.
【详解】，由正弦定理得.
又，根据余弦定理，得.
故选.
5．【答案】D
【分析】由投影向量的计算公式计算即可.
【详解】由投影向量的公式可得在方向上的投影向量为：
.
故选D.
6．【答案】B
【分析】取的中点，连接，设正方体棱长为，则为异面直线与所成角或其补角，利用余弦定理求解.
【详解】

取的中点，连接，设正方体棱长为，
因为，所以四边形为平行四边形，
所以，则为异面直线与所成角或其补角，
由
所以.
故选B.
7．【答案】B
【分析】先根据正弦定理化边为角，根据同角三角函数的基本关系得，再利用余弦定理得，即可得解.
【详解】根据题意，由正弦定理可得：，
，，，
化简得，，
由余弦定理，，
，.
故选B.
8．【答案】D
【分析】根据题意，先画出图象，作，然后由面面的垂直的性质可得平面，进而可知为直线与平面所成的角，当取得最大值时，取得最大值，取得最小值，从而可得直线与平面所成角的正切值的最大值.
【详解】如图，作，垂足为G，连接.

在正三棱柱中，平面平面，
因为平面平面，平面，，
所以平面.
故为直线与平面所成的角.
当取得最大值时，取得最大值，取得最小值.
不妨设，则，的最小值为a，
于是.
故选D.
9．【答案】BCD
【分析】由题意可得，即可根据复数的除法求出，结合复数的几何意义以及相关概念一一判断各选项，即得答案.
【详解】因为，故，所以，
则在复平面内对应的点位于轴上，的实部与虚部分别为0和，
A错误，B，C，D正确.
故选BCD.
10．【答案】ABC
【分析】由饼状统计图的实际含义逐一验算各个选项即可求解.
【详解】对于B，2023年Z国从A国进口天然气2480吨，全部为气态天然气，
所以2023年Z国没有从A国进口液化天然气，B正确.
对于A，2023年Z国从B国进口天然气2435吨，其中气态天然气1630吨，液化天然气805吨，
所以2023年Z国从B国进口的液化天然气比从A国进口的多，A正确.
对于C，假设2023年Z国气态天然气其余部分全部来自C国，共吨，
则Z国从C国进口液化天然气吨，仍然大于从D国进口的天然气的总量，
所以2023年Z国从C国进口的液化天然气一定比从D国进口的多，C正确.
对于D，2023年Z国从B国进口液化天然气吨，
2023年Z国从D国进口的天然气总量为1666吨，若全部为液化天然气，
则2023年Z国从B国进口的液化天然气比从D国进口的少，D错误.
故选ABC.
11．【答案】BCD
【分析】根据勾股定理可判定A;根据三角形面积公式可判定B;根据向量运算可判定C;结合正余弦定理可判定D.
【详解】在中，，所以，，A错误.
当时，最大，所以面积的最大值为，B正确.
，C正确.
在中，由正弦定理可得，得.
在中，由余弦定理可得，即.
在中，由余弦定理可得，即，所以，整理得，解得（舍去），D正确.
12．【答案】5
【分析】首先计算出这组数据的平均数，结合方差公式即可得解.
【详解】这组数据的平均数为，这组数据的方差为.
故答案为：5.
13．【答案】21
【分析】直接由复数的乘法及复数相等求解即可.
【详解】根据可得到，
故，，求得，
所以.
故答案为：21.
14．【答案】
【分析】把空间问题降维，转化在轴截面中进行研究，需要理解轴截面的概念，利用等面积法及勾股定理建立等式求解．
【详解】如图：

在轴截面梯形中，，，
设球O的半径为r，
．
，
解得：，
因为，
所以，
所以球O的表面积为，
故答案为：．
15．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由坐标运算得出点的坐标；
（2）由向量垂直的坐标表示得出的值．
【详解】（1）因为点，，，所以．
又因为点满足，所以，
当时，，又，
所以点的坐标为；
（2）由点，，可得，
因为，且，
所以，
所以．
16．【答案】(1)；
(2)和
【分析】（1）由为纯虚数，求出的值，从而得到复数，求解模长即可；
（2）在复平面内对应的点位于第二象限，求出的取值范围，进而得到整数的值即可.
【详解】（1）由于复数为纯虚数，
所以，解得，此时，
（2）若在复平面内对应的点位于第二象限，
则，解得，
故整数的值有.
17．【答案】(1).
(2).
【分析】(1)，又因已知为的中点，可得，根据余弦定理可求出长，继而求出面积，所以即可求出的面积；
(2)根据余弦定理可求出的长.
【详解】（1）根据题意可知，
又因为为的中点，可得，
，，，
根据余弦定理，
代入已知条件得，
得到，故所以可得是直角三角形，
所以可得
故答案为：
（2）由第一问可知，
根据余弦定理可知，
代入得，
所以可得，
故答案为：
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点，连接，由四边形为平行四边形，则，所以平面；
（2）根据等体积法，可求点到平面的距离.
【详解】（1）取中点，连接，
由为的中点，则，
而为的中点，所以，
所以四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，所以平面；
（2）因为，平面，平面，
所以平面，则到平面的距离等于到平面的距离，
为，所以，
又，
所以，
且，
则点到平面的距离为.
19．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由线面垂直的判定求证；
（2）由转化求解；
（3）由线面垂直的性质得即二面角的平面角，即可求解．
【详解】（1）证明：因为底面，底面，所以.
因为四边形为正方形，所以.
因为，所以平面.
因为平面，所以.
在中，，E是PC的中点，则.
因为，所以平面.
因为平面，所以.
因为，，所以平面.
因为平面，所以.
（2）连接交于点，如图所示：

则，又底面，平面，得，
而，则平面，则点C到平面的距离为，
因为E是PC的中点，所以
，，，，
所以，，
所以.
（3）由（1）可得平面，因为平面，平面，所以，.
为二面角的平面角.
，.
因为，所以，解得.
因为，即，所以.
故二面角的余弦值为.