2026湖北省十一校高三下学期第二次联考数学试题含解析

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一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据补集和交集的定义运算.
【详解】由题意得， ，则 .
故选：B
2. 已知复数 满足： ，则 （ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据方程求出复数 ，然后计算复数的模.
【详解】因为复数 满足： ，
所以 ，所以 ，解得 .
所以 .
故选：B.
3. 是 为奇函数的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数奇偶性的定义判断可得答案.
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【详解】因为奇函数的定义域关于原点对称，
时 的定义域不一定关于原点对称，
所以 不是 为奇函数的充分条件；
如果 为奇函数在 处有定义时有 ，
在 处没有定义时没有 ，
所以 不是 为奇函数的必要条件；
综上， 是 为奇函数的既不充分也不必要条件.
故选：D.
4. 若单位平面向量 夹角为 ，向量 ，向量 ，则下列命题为假命题的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对于 A，通过计算模的平方并利用垂直条件得出模长相等；对于 B，直接展开数量积并代入已知条
件求得定值；对于 C，假设平行后利用基底不共线推出矛盾；对于 D，则通过展开数量积验证其是否为零来
判断垂直关系.
【详解】已知单位向量 、 的夹角为 ，因此 且
A 选项： ， ，
， ，
故 ，A 为真命题；
B 选项： ，B 为真命题；
C 选项：假设 ，则存在 使 ，
整理得： ，
由于 与 不共线（夹角为 ），则 且 ，
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此方程组无解，矛盾，故 与 不平行，C 为假命题；
D 选项：
所以 ，D 为真命题.
故选：C
5. 已知变量 x 和变量 y 的一组成对样本数据为 ，其中 ，其回归直线方程为
，当增加两个样本数据 和 后，重新得到的回归直线方程斜率为 3，则在新的回归直
线方程的估计下，样本数据 所对应的残差为（ ）（残差=观察值－估计值）
A. 2 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先计算新的数据的平均值，后得到经验回归方程，再结合残差概念计算即可.
【详解】∵ ，
∴增加两个样本点后 平均数为 ；
∵ ，∴ ，
∴增加两个样本点后 y 的平均数为 ，
∴ ，解得 ，
∴新的经验回归方程为 ，则当 时， ，
∴样本点 的残差为
故选：B.
6. 已知函数 ，当 时，把 的图象与直线 的所有交点的横坐标限
依次记为 ，记它们的和为 ，则 （ ）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出函数与直线的交点，再结合数列求和计算即可.
【详解】解：由 ，则 或 ，
解得 或 ，
所以 ， ， ， ，…， ，
所以 ，故 B
正确.
故选：B
7. 已知点 为椭圆 上任意一点，直线 过 ： 的圆心且与 交于
两点，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量运算可得 ，再由椭圆可知 ，即可得结果.
【详解】因为 ，圆心 ，半径为 1，则 ，
可得 ，
由椭圆方程可知： ，即 恰为椭圆 的右焦点，
则 ，所以 .
故选：A.
8. 如图，在棱长为 1 的正方体 中， 为棱 的中点， 为正方体 表
面上的一动点（含边界），则下列说法中正确的是（ ）
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A. 三棱锥 外接球的表面积为
B. 若 平面 ，则动点 的轨迹是一条线段
C. 若 平面 ，则动点 的轨迹的长度为
D. 若 ，则动点 的轨迹长度为
【答案】A
【解析】
【分析】三棱锥 的外接球即为三棱锥 的外接球，利用正弦定理可得 的外接圆
半径，再利用外接球性质可求出外接球半径 ，再利用表面积公式计算即可得 A；取 与 中点 、
，利用面面平行性质定理可得平面 平面 ，则可得 B；取 靠近点 的四等分点 ，利
用线面垂直判定定理可得 平面 ，则可得动点 的轨迹为线段 ，计算出 即可得 C；由对
称性，可假设 平面 ，利用线面垂直性质定理与勾股定理可得 ，即可得 在平面
内轨迹，同理可得点 所有轨迹，即可得 D.
【详解】对于 A：由四边形 为正方形，
故三棱锥 的外接球即为三棱锥 的外接球，
设三棱锥 的外接球半径为 R， 的外接圆半径为 ，
，
故 ，
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又 ，则 ，
故 ， ，因为 平面 ，
故三棱锥 的外接球球心在过 的外接圆圆心和 平行的直线上，
则 ，即 ，
故三棱锥 的外接球的表面积为 ，故 A 正确，
对于 B：取 与 中点 、 ，连接 、 、 ，
由正方体性质可得 ， ，
又 平面 ， 平面 ，故 平面 ，
平面 ， 平面 ，故 平面 ，
又 ， 、 平面 ，故平面 平面 ，
由 平面 ，则点 的轨迹是 除去点 ，故 B 错误；
对于 C：取 靠近点 的四等分点 ，连接 ，
由正方体性质可得 平面 ，又 平面 ，故 ，
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由 ， ，故 与 相似，
则 ，故
，
故 ，又 ， 、 平面 ，
故 平面 ，又 平面 ，故动点 的轨迹为线段 ，
，故 C 错误；
对 D：若 平面 ，因为 平面 ， 平面 ，
故 ，由 ，则 ，
即点 的轨迹为以 为圆心，在平面 内半径为 的四分之一圆，
同理可得，点 也可为以 为圆心，在平面 内半径为 的四分之一圆，
点 也可为以 为圆心，在平面 内半径为 的四分之一圆，
故其轨迹长度为 ，故 D 错误.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知双曲线 的右焦点为 F，直线 是 C 的一条渐近线，P 是 l 上一点，
则（ ）
A. C 的虚轴长为 B. C 的离心率为
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C. 的最小值为 2 D. 直线 PF 的斜率不等于
【答案】AD
【解析】
【分析】根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程，求出 ，再逐项判断即得.
【详解】双曲线 的渐近线方程为 ，依题意， ，解得 ，
对于 A， 的虚轴长 ，A 正确；
对于 B， 的离心率 ，B 错误；
对于 C，点 到直线 的距离 ，即 的最小值为 ，C 错误；
对于 D，直线 的斜率为 ，而点 不在 上，点 在 上，则直线 PF 的斜率不等于
，D 正确.
故选：AD
10. 将函数 的图像向左平移 个单位得到函数 的图像，若 的图像与
的图像关于 y 轴对称，则下列说法正确的有（ ）
A.
B.
C. 的对称轴过 的对称中心
D. ，使得
【答案】AC
【解析】
【分析】根据平移法则结合 得到 ，得到 A 正确 B 错误；计算对称轴代入函数得到 C 正确，
根据范围计算两个函数的值域得到 D 错误，得到答案.
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【详解】 ， 的图像与 的图像关于 y 轴对称，
，即 ， ， ，经检验，满足题意，故选项 A 正确，选项 B 不正确；
， ， 的对称轴 满足 ，即
， ，即 的对称轴过 的对称中心，故选项 C 正确；
当 时， ， 的值域为 ，
当 时， ， 的值域为 ， ，故选项 D 不正确．
故选：AC
11. 已知函数 有三个零点 ，则（ ）
A. 若 成等差数列，则 成等比数列
B. 若 成等比数列，则 成等差数列
C. 若 成等差数列，则数列 的公差为
D. 若 成等比数列，则数列 的公比为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对 A、C：由题意可得 ，结合等差数列定义可得 ，则 成等比
数列，则可得 ，即可求出 ，结合 ，两边取对数运算可得 ，即
可得其公差；对 B、D：由 ，结合等比数列定义可得 ，则 成等差数列，
则可求出 ，即可得 ，即可得其公比.
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【详解】当 时， ，不合题意；
当 时，分别画出 与 的图象，如图：
所以 ；
对 A、C：由题得 ，所以 ，即 ，
若 成等差数列，则 ，所以 ，
所以 成等比数列，由 ，则 ，
即 ，所以 ，
由 ，解得 ，因 ，
所以 ，
则 ，即数列 的公差为 ，
故 A 正确、C 错误；
对 B、D：由 ，若 成等比数列，则 ，
则 ，即有 ，故 成等差数列，
又 ，则 ，
故 ，即数列 的公比为 ，
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故 B、D 正确.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 某中学高二年级学生有 人，在某次数学考试中，数学成绩 近似服从正态分布 ．已
知 ，则本次考试数学成绩大于 分的人数约为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据正态分布，明确分布关于均值 对称，结合已知条件计算 ，再利用对称转
化求出 ，进而求出实际人数．
【详解】已知数学成绩 ，则分布关于 对称，
，
已知 ，则 ，
，根据正态分布的对称性可知： ，
正态分布是连续分布，
，故 ，
已知总人数为 ，
数学成绩为 分以上的人数为： ．
故答案为： ．
13. 已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】分析可知数列 为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列 的通项公式，再由
可得出数列 的通项公式.
【详解】由题意可知 ，由 可得 ，
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所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 ，
当 且 时， ，
不满足上式，故 .
14. 设 分别是 与 的零点，则 的取值范围是
___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数零点的定义，运用转化法、同底的指数函数和对数函数互为反函数的性质，结合对勾函
数的单调性进行求解即可.
【详解】当 时，因为函数 是实数集上的增函数，
所以函数 是实数集上的增函数，
因为 是 的唯一零点，
所以 ，
即 是指数函数 和反比例函数 的唯一交点的横坐标.
当 时，因为 是 的零点，
所以 ，
设 ，
当 时，因为函数 是正实数集上的增函数，
所以 是正实数集上 增函数，
即 是指数函数 和反比例函数 唯一交点的横坐标，
显然函数 与函数 的图象关于直线 对称，如下图所示：
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显然 ，由数形结合思想可知： ，
的中点在 上，
所以 ，
，设 ，
由对勾函数的单调性可知该函数在 时，单调递减，
即 ，
所以 的取值范围是 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 为平行四边形，且
， ．
（1）证明： ；
（2）求平面 与平面 夹角的正切值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
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【解析】
【分析】（1）设 ，则 ， ，利用余弦定理结合勾股定理可证得 ，利用
线面垂直的性质得出 ，再利用线面垂直和性质定理可证得结论成立；
（2）以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，利用空间
向量法可求得平面 与平面 夹角的正切值.
【小问 1 详解】
设 ，则 ， ．
在 中，根据余弦定理 ，
将 ， ， 代入可得：
，所以 ．
则 ，所以 ，
因为 底面 ， 底面 ，所以 ．
又因为 ， 、 平面 ，所以 平面 ．
而 平面 ，所以 .
【小问 2 详解】
因为 底面 ， ，四边形 为平行四边形，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由（1）知 ， ， ，
则 ， ， ， ，
易知平面 的一个法向量为 ，
设平面 的一个法向量为 ，
， ，
则 ，
取 ，可得 ，
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设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，
所以 ，
故 .
16. 锐角三角形 的内角 的对边分别为 ，且满足
．
（1）求角 ；
（2）设 为锐角三角形 的垂心，求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）借助正弦定理将角化为边后，利用余弦定理计算即可得；
（2）设 AD 垂直于 BC 于 D，BE 垂直于 AC 于 E，AD 与 BE 交于垂心 H，则由垂心性质可得
、 、 ，再利用正弦定理可得
，即有 ，即可得解.
【小问 1 详解】
由条件知： ，由正弦定理可得 ，
所以 ，则 ；
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【小问 2 详解】
设 AD 垂直于 BC 于 D，BE 垂直于 AC 于 E，AD 与 BE 交于垂心 H，
则 ，故 ，
有 ，则 ，
设 外接圆半径为 ，在 中用正弦定理：
，
故 ，
所以 .
17. 一辆汽车上有 个座位，编号从 1 到 ．现在编号为 1 到 的乘客依次上车，编号为 1 的乘客比较顽皮，
上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为 2 的乘客上了车后会先看看 2 号座位有没有人，如果有，
那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下，如果 2 号座位没有人，那么他就在 2 号座位坐下，
编号为 3 及后面的乘客的选择座位方式与 2 号相同，即自己对应的号码座位上有人，则从剩下座位中随机
等可能挑选座位坐下，如果自己对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上．
（1）当 时，求 4 号乘客坐在编号 4 号座位上的概率 ；
（2）当 时，设 为刚好坐在了自己座位上的乘客数（规定：编号为 的乘客坐在了编号为 的座位上
为坐在了自己的座位上），求随机变量 的期望．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据独立事件和互斥事件概率公式进行求解即可；
（2）根据独立事件和互斥事件概率公式，结合数学期望公式进行求解即可.
【小问 1 详解】
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设 1 号乘客坐在 号位上时，4 号乘客坐在 4 号位的概率为 ，
则 ，
， ，
， ，
所以 .
【小问 2 详解】
随机变量 所有可能 取值为 0，1，2，4；
，
，
，
，
所以 .
18. 已知 ，其中 ．
（1）求证：当 时， ；
（2）讨论 取不同值的时候，函数 的零点个数；
（3）证明： ，其中 ．
【答案】（1）证明见解析
（2）当 时， 有且仅有 1 个零点；当 时， 有且仅有 2 个零点
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）借助导数求导后，利用导数定义判断即可得；
（2）分 及 进行讨论，利用导数可研究函数单调性，再利用函数单调性与零点存在性定理判断即
可得；
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（3）令 ，可得 ，再累加求和即可得证.
【小问 1 详解】
，
令 ，则 ，
而 且 ，所以 ，
即 在 上单调递增， ，
所以 ，即 在 上单调递增，
所以 ；
【小问 2 详解】
① 时， ， ，
所以 在 上单调递增，又 ，
则此时 有且仅有 1 个零点；
② 时， 在 上小于 0，在 上大于 0，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 且 ，则存在唯一的 ，
即 在 和 上大于 0，在 上小于 0，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
又 时， ，
则 在 上存在唯一零点，在其余区间有且只有 1 这一个零点，
此时函数 有且仅有 2 个零点；
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综上所述，当 时， 有且仅有 1 个零点；
当 时， 有且仅有 2 个零点；
【小问 3 详解】
令 ，且 时，得 ，再令 ，
代入化简可得 ，
则
，
则 .
19. 已知抛物线 为其焦点，直线 过点 交抛物线 C 于 两点，若三角形
面积的最小值为 ．
（1）求 ；
（2）若三角形 外接圆与抛物线的最后一个交点为点 ．
（i）设 ，证明： ．
（ii）若 平分 ，求线段 长度的所有可能取值．
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据三角形面积公式，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可；
（2）（i）利用圆的一般方程，结合方程解的定义进行求解即可；
（ii）根据角平分线的性质，结合因式分解法进行求解即可.
【小问 1 详解】
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设直线 ，联立 ，得： ， ，
由韦达定理可知： ．
则 ，当且仅当 时等号成立．
此时 ，则 ，抛物线 .
【小问 2 详解】
（i）由于三角形 的外接圆过原点，则可设其方程为： ，
将其与抛物线方程联立： 得： ，
由于 为方程的四个根，所以 ，
展开比较等式两边 的系数可得 ；
（ii）因为 TF 平分角 ，由角平分线定理知： 且 ，
所以
化简即得：
因式分解可得： ，
此时，若 ，则 重合或者 重合，这都不符合题意，舍去；
所以 ，即 ，
所以 ，这表示满足条件的 两点存在，
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所以 ，
此时 .
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