2024湖北省十一校高三下学期第二次联考数学试题含解析

这是一份2024湖北省十一校高三下学期第二次联考数学试题含解析，共12页。试卷主要包含了已知向量，，满足，则，若，则下列说法正确的有，如图所示的数阵的特点是等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2，已知i．为虚数单位，复数z满足，则的虚部为（ ）
A．B．1C．iD．
若，则（ ）
3．若tana-a2，SIn2u-
A．B．C．D．
4．已知向量，，满足，则（ ）
A．B．C．D．
5．如图，A是平面内一定点，B是平面外一定点，且，直线AB与平面所成角为45°，设平面内动点M到点AB的距离相等，则线段AM的长度的最小值为（ ）
A．4B．C．2D．
6．的展开式中的系数是，则实数a的值为（ ）
A．0B．3C．D．
7．平面直角坐标系xOy中，已知点，其中，若圆上存在点P满足，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．若对于任意正数xy，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若，则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．
10．如图所示的数阵的特点是：每行每列都成等差数列，该数列一共有n行n列，表示第i行第j列的数，比如，，则（ ）
A．
B．数字65在这个数阵中出现的次数为8次
C．
D．这个数阵中个数的和
11，用平面截圆柱面，圆柱的轴与平面所成角记为，当为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆．著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切．下列结论中正确的有（ ）
A．椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等
B．椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距相等
C．所得椭圆的离心率
D．其中为椭圆长轴，R为球半径，有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数，则关于x的不等式的解集为______．
13．在矩形ABCD中，，，E，F分别是BC，AD的中点，将四边形ABEF沿EF折起使得二面角的大小为90°，则三棱锥的外接球的表面积为______．
14．已知在数列中，，数列的前n和为，为等差数列，，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）在平面四边形ABCD中，，，．
（1）求的值；
（2）若，求AD的长．
16．（15分）如图所示，平面平面ABCD，且四边形ACFE是矩形，在四边形ABCD中，，．
（1）若，求证平面BDF：
（2）若直线BF与平面ABCD所成角为，求平面BED与平面BCF所成锐二面角的余弦值．
17．（15分）2023年12月30号，长征二号丙/远征一号S运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞，随后成功将卫星互联网技术实验卫星送入预定轨道，发射任务获得圆满完成，此次任务是长征系列运载火箭的第505次飞行，也代表着中国航天2023年完美收官。某市一调研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度，随机的从本市大学生和高中生中抽取一个容量为n的样本进行调查，调查结果如下表：
附：
，其中．
（1）完成上述列联表，依据小概率值的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关，求样本容量n的最小值；
（2）该市为了提高本市学生对航天事业的关注，举办了一次航天知识闯关比赛，包含三个问题，有两种答题方案选择：
方案一：回答三个问题，至少答出两个可以晋级；
方案二：在三个问题中，随机选择两个问题，都答对可以晋级．
已知小华同学答出三个问题的概率分别是，，，小华回答三个问题正确与否相互独立，则小华应该选择哪种方案晋级的可能性更大？（说明理由）
18．（17分）已知椭圆的离心率为，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，为左焦点，且的面为．
（1）求椭圆M的标准方程：
（2）设椭圆M的右顶点为C、P是椭圆M上不与顶点重合的动点．
（i）若点，点D在椭圆M上且位于x轴下方，直线PD交x轴于点F，设和的面积分别为，若，求点D的坐标：
（ii）若直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点N，求证：为定值，并求出此定值（其中、分别为直线QN和直线QC的斜率）．
19．（17分）我们知道通过牛顿莱布尼兹公式，可以求曲线梯形（如图1所示阴影部分）的面积，其中，．如果平面图形由两条曲线围成（如图2所示阴影部分），曲线可以表示为，曲线可以表示为，那么阴影区域的面积，其中．
（1）如图，连续函数在区间与的图形分别为直径为1的上、下半圆周，在区间与的图形分别为直径为2的下、上半圆周，设．求的值；
（2）在曲线上某一个点处作切线，便之与曲线和x轴所围成的面积为，求切线方程；
（3）正项数列是以公差为d（d为常数，）的等差数列，，两条抛物线，记它们交点的横坐标的绝对值为，两条抛物线围成的封闭图形的面积为，求证：．
2024届高三湖北十一校第二次联考
数学参考答案及评分细则
1．，
选：A
2．设，，由，得，
，解得，的虚部为
选：B
得，
选：B
4．由得向量的夹角为60°，
选：C
5．由题意得，动点M的轨迹是线段AB的中垂面与平面的交线，
可得线段AM的最小值为
选：A
6．，所以的系数为，所以
选：D
7．设，，得P得轨迹方程为圆，所以圆C和已知圆相交即可，圆心距，，其中，，得
得
选：D
8．参变分离得，，
设，得，，设，，求导讨论单调性，可得
选：C
9．可知期望为100，方差为，
C选项正确
D选项正确
选：ACD
10．第i行是以为首项，以为公差的等差数列，
，C正确
可知A正确，对于B选项
故共出现7次，B错误
对于D选项，令，2，检验可知错误．
选：AC
11．A选项易知正确
B选项，如图可知
得证
C选项，，，得证
D选项，可知，，，，所以错误．
选：ABC
12．13．14．
12．当时，得，
当时，得，
综上：的解集为
13．由题意，可将三棱锥补形成长方体，设长方体外接球半径为R，则
，
14．为等差数列，数列等差数列
，
，，则
，，经检验
则，，
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解：
（1）在中，由余弦定理可得：
；
（2）
在中，由正弦定理可得：
16．
（1）证明：连接BD与AC交于点O
，
， 又，
，，四边形ABCD是等腰梯形
且
，四边形AOFM是平行四边形
又面BDF，面BDF，平面BDF，
（2）∵平面平面ABCD，且四边形ACFE是矩形平面ABCD
建立如图所示空间直角坐标系，由BF与平面ABCD所成角为，得√


设平面BED的法向量为，则
设平面BCF的法向量为，
则
17．（15分）
解：（1）
零假设为：关注航天事业发展与学生群体无关
根据列联表中的数据，经计算得到
因为依据小概率值的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关
所以
由题可知，n是10的倍数，
（2）记小华同学答出三个问题的事件分别A，B，C，则，，
记选择方案一通过的概率为
记选择方案二通过的概率为
，．小华应该选择方案一
18．（17分）
解：（1）由题意得，
解得，，椭圆M的标准方程为
（2）（i）连接PC，

直线OD的方程为，联立得
（其它方法酌情给分）
（ii）设直线QC的斜率为k，则直线QC的方程为：
直线AB的方程为，由，
得
由，得

—4、3k2-12k-3√3x+5
直线BP的方程为：
为定值
19．（17分）
解（1）由题意可知，
（2）设切点为，，切线的斜率为，
则切线方程为，所以切线与轴的交点为，
所以由题意可知围成的面积：
所以切点坐标为，切线方程为
（3）联立
由对称性可知，两条抛物线围成的封闭图形的面积为
令，（C为常数）
，2
3
4
5
6
7
……
3
5
7
9
11
13
……
4
7
10
13
16
19
……
5
9
13
17
21
25
……
6
11
16
21
26
31
……
7
13
19
25
31
37
……
……
……
……
……
……
……
……
学生群体
关注度
合计
关注
不关注
大学生
高中生
合计
0.1
0.05
0.025
0.01
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
B
B
C
A
D
D
C
ACD
AC
ABC
学生群体
关注度
合计
关注
不关注
大学生
高中生
合计
n