2025年广东省深圳市 第二次适应性测试(二模)数学试题（原卷+解析卷）

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第一部分 选择题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 景德镇白瓷，瓷质优良，造型轻巧，装饰多样，被誉为“白如玉，明如镜，薄如纸，声如磬”，是世界陶瓷艺术中瑰宝．如图是景德镇白瓷中的笔筒，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，明确左视图的定义左视图是从几何体的左面观察所得到的平面图形，绘制时可见的轮廓线用实线表示，不可见的轮廓线用虚线表示，即可得到答案．
【详解】解：由题图可知，笔筒为空心圆柱，从左面观察时，其外轮廓为矩形(圆柱侧面的投影)，内部空心部分的轮廓属于不可见轮廓，需用虚线表示。
选项A：图形为矩形且内部有虚线，符合空心圆柱左视图中“外轮廓为矩形、内部不可见轮廓用虚线”的特征；
选项B：图形为两个同心圆，这是从笔筒上方观察得到的俯视图，并非左视图；
选项C：图形为两个同心圆且内圆用虚线，同样是从上方观察的俯视图，不符合左视图要求；
选项D：图形为实心矩形，未体现笔筒内部空心的不可见轮廓，不符合左视图特征。
故选：A．
2. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图是小明在美术课上剪出的蝴蝶，它是一幅轴对称图形，将它放在平面直角坐标系中，其对称轴与y轴重合，若点B的坐标是，则它的对称点A的坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特征。解题的关键在于识别出点A与点B关于y轴对称，并熟练运用“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”这一性质进行求解。
【详解】解：由题意可知，蝴蝶图案是轴对称图形，且对称轴与y轴重合。
∵点A与点B关于y轴对称，.
∴点A与点B的纵坐标相同，横坐标互为相反数，
∵点B的坐标是(5，4)，
∴点A的横坐标为-5，纵坐标为4，
∴点A的坐标为(-5，4)。
故选：A．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的加减法、积的乘方计算、同底数幂除法、完全平方公式等知识点，掌握相关计算法则是解题的关键。根据二次根式的加减、积的乘方计算、同底数幂除法、完全平方公式逐项判断即可．
【详解】解：A：2与3不是同类二次根式，被开放数不同，不能直接相加，故选项A不符合题意；
B、a6÷a2=a4，根据同底数幂除法法则，即同底数幂相除，底数不变，指数相减，可知原式计算正确，符合题意；
C、根据积的乘方法则，即abn=anbn，原式计算错误，2x23=8x6≠6x6，故选项C不符合题意；
D、根据完全平方公式，即a−b2=a2−2ab+b2 ，原式计算错误，不符合题意．
故选：B．
4. 如图，是某射箭运动员射箭瞬间的示意图．已知，，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，角的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键。根据题意，延长AB交DE于F点，利用AF//DE及∠2，求出∠EBM的度数，再根据AB//CD，求出∠CBM的度数，从而得到结果。
【详解】解：如图，延长AB交DE于点M，
∵AF∥DE，∠1＝90°，
∴∠BME＝90°，
∵∠2是△BME的外角，
∴∠2＝∠BME+∠EBM，
∵∠2=110∘ ,
∴∠EBM=20∘ ,
∵AB∥CD ,
∴∠C+∠CBM=180∘ ,
∵∠C=135∘ ,
∴∠CBM=45∘ ,
∴∠CBE=∠CBM+∠EBM=65∘ .
故选：B．
5. 在黑板上有如下内容：“如图，是半圆所在圆的直径，点在半圆上，过点的直线交的延长线于点．”王老师要求添加条件后，编制一道题目．以下是小明和小颖两位同学的答案：
①小明：若给出，则可证明直线是半圆的切线；
②小颖：若给出直线是半圆的切线，则可证明．
则下列判断正确的是（ ）
A. 只有小明的正确B. 只有小颖的正确
C. 小明和小颖的都不正确D. 小明和小颖的都正确
【答案】D
【解析】
【分析】这道题重点考查等腰三角形的性质、直角所对的圆周角是直角、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键。连接OC，则OC=OA，根据等腰三角形的性质和角的转换可得∠DCB=∠OCA，根据直角所对的圆周角是直角以及切线的判定与性质即可判断小明的说法；连接OC，可得OC=OB，由切线的性质得CD⟂OC，则∠OCD=90°，根据圆周角定理的推论以及角的等量代换可得∠DCB=∠A，根据相似三角形的判定定理以及性质，即可求解。
【详解】解：①连接OC，则OC=OA，
，
∴∠OCA=∠BAC，
∵∠DCB=∠BAC，
∴∠DCB=∠OCA，
∵AB是半圆O所在圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠OCD=∠OCB+∠DCB=∠OCB+∠OCA=∠ACB=90°，
∵OC是⊙O 的半径，且CD⊥OC，
∴直线CD是半圆O的切线，故小明的判断正确；
②连接OC，则OC=OB，
∵直线CD是半圆O的切线，
∴CD⊥OC，
∴∠OCD=90°，
∵AB 是半圆O所在圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠DCB+∠OCB=90°，∠A+∠OBC=90°，且∠OCB=∠OBC，
∴∠DCB=∠A，
∵∠D=∠D，
∴△DCB~△DAC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴BCAC=BDCD，故小颖的判断正确，
故选：D．
6. 某校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理，绘制成如图所示的统计图（四次参加模拟考试的学生人数不变），下列结论中不正确的是（ ）
A. 共有500名学生参加模拟测试
B. 第2个月增长的“优秀”人数最多
C. 从第1个月到第4个月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长
D. 第4个月测试成绩“优秀”的学生人数达到65人
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了是对统计图的分析能力，解题时需精准提取图表数据，结合“总人数不变”这一条件，通过计算占比、增长量等方式验证各选项，需特别注意数据间的逻辑关系与细节描述，避免误判。需结合两个统计图提供的信息，对每个选项逐一分析判断，找出不正确的结论。用第1个月的优秀人数除以对应的优秀率可求出参加模拟测试的学生人数，据此可判断A；分别求出第2个月，第3个月，第4个月优秀率的增长情况即可判断B；根据折线统计图即可判断C；用500乘以第4个月的优秀率即可求出第4个月测试成绩“优秀”的学生人数，即可求解。
【详解】解:
选项A：观察“第1月全体学生测试成绩统计图”，将各成绩段人数相加:优秀10人、良好250人、及格150人、不及格90人，总人数为10+250+150+90=500名，故A结论正确，不符合题意；
选项B：计算每月“优秀”人数，总人数为500名(由选项A可知)，
第1月“优秀”人数:500×2%=10人；
第2月“优秀”人数:500×10%=50人，增长量为50-10=40人；
第3月“优秀”人数:500×13%=65人，增长量为65-50=15人；
第4月“优秀”人数:500×17%=85人，增长量为85-65=20人；
∴第2月增长的“优秀”人数更多，故B结论正确，不符合题意；
选项C：观察“第1-4月测试成绩‘优秀’学生人数占比统计图”，第1月到第4月“优秀”占比依次为
2%、10%、13%、17%，占比呈逐渐增长趋势，故C结论正确，不符合题意；
选项D：第4月“优秀”学生人数为总人数乘以对应占比，即500×17%=85人，并非65人，故选项D符合题意.
故选：D．
7. 文化情境·数学文化《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】这道题主要考查了二元一次方程组的应用．解题的关键是根据题意找到等量关系。设雀每只x两，燕每只y两，五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．据此列方程组即可．
【详解】解：设雀每只x两，燕每只y3两，
由题意可得，5x+6y=164x+y=5y+x。
故选：B
8. 如图，一束太阳光从天花板和落地窗交界处的点射入，经过地板反射到天花板上形成光斑．中午和下午某时刻光线与地板的夹角分别为．已知天花板与地面是平行的，且它们之间的距离为，当时，光斑移动的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称的性质，矩形的性质与判定，解直角三角形的应用；设两束光的反射点分别为D，F,分别作DE⊥PB于点E，作FG⊥PB于点G，根据等腰直角三角形的性质以及三角函数的定理即可求解。
【详解】解： 如图，设两束光的反射点分别为D，F,分别作DE⊥PB于点E，作FG⊥PB于点G，则DE=FG=3 m，
，
∵PB//MN,
∴∠DPA=α=45∘,∠FPB=β=30∘，
∴在Rt△PDE中，PE=DE=3 m，在Rt△PFG中，PG=FGtan30∘=33=33m,
∵∠α=∠ADF,
∴∠DAE=∠ADF=∠DPE,
∴DP=DA，
∴AE=PE=3m，
∴PA=2PE=6 m，
同理可得PB=2PG=63 m，
∴AB=PB−PA=(63−6)m，
即光斑移动的距离AB为(63−6)m。
故选B。
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9. 若二次根式有意义，则x的值可以是______．（写出一个即可）
【答案】3（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，即根号下面的公式不能小于零，即可求解．
【详解】解：∵二次根式 x−3 有意义，
∴x−3≥0，
解得：x≥3，
∴x的值不唯一，如x=3.
故答案为：3（答案不唯一）．
10. 已知2和分别是一元二次方程的两根，则______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程ax2+bx+c=0，若是该方程的两个实数根，根据韦达定理（根与系数关系），则x1+x2=−ba,x1x2=ca，据此可求出m的值。
【详解】解：对于一元二次方程 ax2+bx+c=0，两根 x1,x2 满足：x1+x2=−ba, x1x2=ca，
由题可知，a=1，b=k，c=8，两根为2、m；
∴2×m=8，解得m=4。
故答案为：4．
11. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题关键．需先列出从4部名著中选2部的所有可能情况，再找出恰好选中指定两部的情况数，最后用后者除以前者得概率，即可求解。
【详解】解：将四部名著《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜四元玉鉴》分别记为A、B、C、D，
根据题意，画树状图如下：
，
由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，
其中恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的情况有2种，
∴恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的概率为212=16。
故答案为：16．
12. 数学实验课上，小明同学用自制“密度计”测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，，当密度计悬浮在另一种液体中时，，则该液体的密度________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的应用。解题的关键是根据题意设出反比例函数解析式，利用待定系数法求出函数关系式，最后将已知量代入解析式求解未知量。此题考查了反比例函数的应用．由题意可得，设 h=kρ，把 ρ=1， h=20 代入解析式，求得 h 关于 ρ 的函数解析式，即可求解。
【详解】解：设h与ρ的函数关系式为h=kρ (k≠0)，
根据题意，当ρ=1时，h=20，
将ρ=1，h=20代入h=kρ，得：20=k1，
解得k=20，
∴h与ρ的函数关系式为h=20ρ，
当h=25时，代入上式得：25=20ρ，
解得：ρ=2025=0.8，即该液体的密度ρ为0.8 g/cm3。
答：该液体的密度ρ为0.8 g/cm3。
故答案为：．
13. 如图，在矩形中，，，是边上一点，过点作交的延长线于点，连接，分别交，于点，，若，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理。解题的关键在于利用矩形的直角性质和垂直条件证明△ADE~△CDF，从而建立AE与CF的数量关系；再利用平行线分线段成比例定理，结合已知条件AG=2CG求出CM与AE的关系；最后通过△CMF~△BEF列出方程求解。
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=∠ADC=∠DCB=90∘=∠B, AD=BC=2, AB=CD=4，
∴∠BAD=∠DCF=90∘，
∵DF⊥DE，∴∠ADC=∠EDF=90∘，
∴∠ADE=∠CDF，
∴∆ADE∼∆CDF，
∴ADDC=AECF=24，
∴设AE=2x,CF=4x，
∵AB∥CD，
∴AGCG=AECM，
∵AG=2CG，
∴CM=x，
∵AB∥CD，
∴∆CMF∼∆BEF，
∴CMBE=CFBF，
∴x4−2x=4x2+4x，
∴x=76，
∴AE=2x=73.
故答案为：73．
三、解答题（本题共7小题，共61分）
14. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】∙本题考查零指数幂、负整数指数幂、根式的运算。熟知开立方，零次幂、负整数指数幂及二次根式的性质及实数的运算法则是正确解决本题的关键．理解掌握零指数幂的运算法则a0=1 (a≠0)，负整数指数幂的运算法则a−p=1ap (a≠0, p为正整数)，根式nan=a,n 为奇数|a|,n 为偶数。先计算零次幂、负整数指数幂、求立方根及化简二次根式再合并即可．
【详解】解：原式=1−13−2−23=(1−2)−13+23=−1−1=−2。
15. 下面是小星同学进行分式化简的过程：
（1）小星同学的化简过程从第_______步开始出现错误，错误原因是_______．
（2）请写出正确的化简过程，并从，0，1，2中选择合适的数代入求值．
【答案】（1）二，第二步计算减法时，没有变号
（2）过程见解析，当时，3
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，先根据分式的运算法则对原式进行化简，在分析化简过程中出现的错误，最后带入合适的值求值即可。
（1）检查分式化简过程中每一步的运算是否正确，重点关注去括号和分子合并同类项的步骤。
（2）先对原式进行正确化简，再根据分式有意义的条件确定x的取值范围，最后代入合适的数求值。
【小问1详解】
解：第一步：将“1”化为(x−1x−1)，通分正确，分子为2x−1−(x−1)，
第二步：去括号时，−(x−1)应变为−x+1，而小星写成了(−x−1)，
∴导致分子计算错误，所以从第二步开始出现错误。
故答案为：二；
【小问2详解】
2x−1x−1−1÷xx2−1
=2x−1x−1−x−1x−1÷x(x−1)(x+1)
=2x−1−(x−1)x−1×(x−1)(x+1)x
=2x−1−x+1x−1×(x−1)(x+1)x
=xx−1×(x−1)(x+1)x
=x+1
∵x+1≠0,x−1≠0,x≠0，
∴x≠1,x≠0,x≠−1，
∴当x=2时，原式=2+1=3。
16. 某教育平台推出，两款人工智能学习辅导软件，相关人员开展了，两款人工智能学习辅导软件使用满意度评分测验，并从中各抽取20份，对数据进行整理，描述和分析（评分分数用表示，分为以下四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意，下面给出了部分信息：
抽取的对款人工智能学习辅导软件的所有评分数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
抽取的对款人工智能学习辅导软件的评分数据中“满意”的数据：，，，，，，89，90．
，两款人工智能学习辅导软件的评分统计表
款人工智能学习辅导软件评分的扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______；
（2）根据以上数据，你认为哪款人工智能学习辅导软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）本次调查中，若有800名用户对款人工智能学习辅导软件进行了评分，有1000名用户对款人工智能学习辅导软件进行了评分，估计其中对，两款人工智能学习辅导软件非常满意的用户总人数．
【答案】（1）85，20
（2）款人工智能软件更受用户欢迎，见解析
（3）440名
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形统计图，众数，中位数、方差以及用样本估计总体的知识。正确读懂统计图以及掌握扇形统计图占比计算公式是解题的关键．
需要根据众数、中位数的定义以及扇形统计图的性质来求解；
通过比较两款软件评分的方差以及中位数来判断哪款更受用户欢迎；
利用样本中“非常满意”的比例来估计总体中“非常满意”的用户人数，分别求出A，B两款人工智能学习辅导软件非常满意的用户人数，再求和即可得到答案．
【小问1详解】
解：在 A 款的评分数据中，85 出现的次数最多，共 4 次，
∴众数a=85.
∵抽取的对 B 款人工智能学习辅导软件的评分数据中“满意”的人数为 8 人，
∴占比为 820×100%=40%.
∵由题意，得m%=1−10%−30%−40%=20%，
∴ m=20.
故答案为：85，20；
【小问2详解】
解；我认为B款人工智能学习辅导软件更受用户欢迎.理由如下:
∵由题图可知，A款和B款的平均数相同，B款的方差小于A款的方差，B款人工智能学习辅导软件使用满意度评分的中位数为86.5，高于A款人工智能学习辅导软件使用满意度评分的中位数85.5，
∴B款人工智能软件比较稳定，
∴我认为B款人工智能学习辅导软件更受用户欢迎.(答案不唯一)
款人工智能软件更受用户欢迎；
【小问3详解】由题意，得 800×620+1000×20%=440 (人)，
答：估计其中对 A，B 两款人工智能学习辅导软件非常满意的用户总人数为 440 人。
17. 如图（a），在中，．
（1）【实践与操作】在图（a）的基础上，请利用尺规，用2种方法作四边形是菱形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）【推理与计算】在（1）的条件下，若，，求菱形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）20
【解析】
【分析】本题主要考查菱形的判定与性质、尺规作图、勾股定理以及菱形的面积计算。熟知菱形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）方法一：利用“四条边相等的四边形是菱形”。分别以点B、C为圆心，以AB的长为半径画弧两弧在 BC的另一侧交于点D，连接BD、CD，则四边形ABDC即为所求。
方法二:利用“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”，过点A作线段BC的垂直平分线，交BC于点O，再以点O为圆心，OA的长为半径画弧，交AO的延长线于点D，连接BD、CD，即可求解
（2）连接AD交BC于点O，根据菱形性质，对角线互相垂直平分，可得AD⊥BC，OB=12BC,利用勾股定理求出OA的长，进而得到AD的长。利用菱形面积公式S=12×对角线1×对角线2，即可计算面积。
【小问1详解】
解；如图所示，四边形即为所要作的菱形
方法一：利用“四条边相等的四边形是菱形”。分别以点B、C为圆心，以AB的长为半径画弧两弧在 BC的另一侧交于点D，连接BD、CD，则四边形ABDC即为所求。
方法二：利用“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”，过点A作线段BC的垂直平分线，交BC于点O，再以点O为圆心，OA的长为半径画弧，交AO的延长线于点D，连接BD、CD，则四边形ABDC即为所求；
【小问2详解】
解：如图，如图，连接 AD 交 BC 于点 O，
∵四边形 ABDC 是菱形,
∴AD⊥BC, OB=12BC, AD=2OA。
∵BC=10,
∴OB=12×10=5。
在 Rt∆ABO 中, ∠AOB=90∘, AB=13, OB=5,
由勾股定理得:OA=AB2−OB2=132−52=169−25=144=12,
∴AD=2OA=2×12=24。
∴S菱形ABDC=12AD⋅BC=12×24×10=120。
18. 综合与实践
【答案】任务1：；任务2：燃油车的每千米行驶费用为0.8元，新能源车的每千米行驶费用为0.2元；任务3：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低
【解析】
【分析】本题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式．
任务1：根据表格中新能源车耗电量和综合电价信息，每千米行驶费用为耗电量除以行驶里程，可直接得出表达式；
任务2：由汽油车每千米行驶费用比新能源车多0.6元列出分式方程，求解并检验，再将a的值代入各自表达式求出每千米行驶费用，注意分式方程要检验；
任务3：设每年行驶里程为x千米，分别表示出燃油车和新能源车的年费用，根据燃油车年费用大于新能源车年费用列出一元一次不等式，求解不等式得出结果。
【详解】解：任务1：已知新能源汽车电池电量为100千瓦时，综合电价1元/千瓦时，续航里程a千米，根据每千米行驶费用=总电量费用续航里程=100×1a=100a 元
故答案为：100a；
任务2：已知燃油车的每千米行驶费用比新能源汽车多0.6元，
∴燃油车每千米行驶费用为 50×8a 元，新能源汽车每千米行驶费用为 100a 元，
∴据此列出分式方程 50×8a−100a=0.6，即400−100a=0.6,
∴300a=0.6，解得 a=500.
经检验，a=500 是原分式方程的解，且符合题意，
∴则燃油车每千米行驶费用为 50×8500=0.8 元，
∴新能源汽车每千米行驶费用为 100500=0.2 元。
答：燃油车的每千米行驶费用为0.8元，新能源车的每千米行驶费用为0.2元．
任务3：设每年行驶里程为 x km，
∴燃油车年费用：0.8x+4800，新能源车年费用：0.2x+7500,
由题意得不等式：0.8x+4800>0.2x+7500，
∴0.8x−0.2x>7500−4800,
∴0.6x>2700，解得 x>4500。
答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低．
19. 综合与探究
【定义】对于关于的函数，函数在范围内有最大值和最小值，则称为极差值，记作．
【示例】如图（a），根据函数的图象可知，在范围内，该函数的最大值是4，最小值为，即．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）直接写出反比例函数的的值为______；
（2）已知二次函数的图象经过点．
①求该函数的表达式；
②在图（b）的平面直角坐标系中，画出此二次函数的图象；
③求该函数的的值．
（3）已知函数，函数的图象经过点，且两个函数的相等，求的值．
【答案】（1）4 （2）①；②见解析；③16
（3）或3
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数的增减性，画二次函数图象，待定系数法求解析式，正确理解新定义是解题的关键．
（1）先判断出反比例函数的增减性，再分别求出自变量为1和3时的函数值，从而得到当时y的取值范围，根据极差值的定义，即可求解；
（2）①已知二次函数经过点（2，-3），利用待定系数法进行求解即可；②根据①可知二次函数的具体表达式，将其转化为顶点式，确认顶点坐标，再通过描点、连线的方法法函数图象即可；③由①可知二次函数的解析式，分别计算当x=1、3、4的函数值，再根据极差值的定义计算，即可求解；
（3）先判断出的增减性，进而求出的最大值和最小值，则可得到的值，再利用待定系数法求出的解析式，根据的等于的求解即可．
【小问1详解】
解：∵反比例函数y=6x，6＞0，
∴反比例函数图象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小，
在1⩽x⩽3范围内：
当x=1时，y=61=6，
当x=3时，y=63=2，
∵6>2，
∴最大值m=6，最小值n=2，
根据极差值定义R[1,3]=m−n，可得：R[1,3]=6−2=4。
【小问2详解】
解：①∵二次函数y=x2+bx+5的图象经过点(2,−3)，
∴把(2,−3)代入y=x2+bx+5，
得−3=22+2b+5，即−3=4+2b+5，解得：b=−6，
∴函数表达式为：y=x2−6x+5；
②∵二次函数y=x2−6x+5
∴y=(x−3)2−4
∴顶点坐标为(3,−4)，
∴如图所示，函数图象即为所求；

③∵二次函数y=x2−6x+5=(x−3)2−4，
∴对称轴为x=3，
当x=−1时：y=(−1)2−6×(−1)+5=1+6+5=12
当x=3时：y=32−6×3+5=9−18+5=−4
当x=4时：y=42−6×4+5=16−24+5=−3
∵12>−3>−4，
∴最大值m=12，最小值n=−4，
∴R[−1,4]=m−n=12−(−4)=16。
【小问3详解】
解：∵函数的图象经过点，
∴函数的图象经过第一、三象限，随的增大而增大，
∴当时，当时，有最小值，最小为，时，有最大值，最大值为
∴函数的极差值为：；
∵函数的图象经过点，
∴，
解得，，
当时，，
∴函数的图象经过第二、四象限，随的增大而减小，
∴当中，当时，有最大值，最大为，时有最小值，最小值为，
∴函数的极差值为，
∵两个函数的相等，
∴，
解得，；
当时，，
∴二次函数的图象开口向下，对称轴直线为，顶点坐标为，
∴当时，二次函数有最大值，最大值为，当时，随的增大而增大，
当时，函数的最小值为，
∵函数的极差值，两个函数的相等，
∴的最大值为，
∴
当，
解得，，（舍去）
∴，
∴，
解得，，
综上所述，的值为或．
20. 综合与探究
【定义】三角形一边上点将该边分为两条线段，若这两条线段长度的乘积等于这个点与该边所对顶点距离的平方，则称这个点为三角形中该边上的“亮点”．如图（a），在中，是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“亮点”．
【概念理解】
（1）如图（b），在中，，，，分别是的高线，角平分线，中线．请判断，，三点中哪些是中边上的“亮点”，并说明理由．
【性质应用】
（2）如图（c），在中，，，．若是边上的“亮点”，求的长．
【拓展提升】
（3）如图（d），内接于⊙，是中边上的“亮点”且．若，求的值．
【答案】（1），是中边上的“亮点”，理由见解析；（2）或9；（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，同弧所对的圆周角相等，解直角三角形，勾股定理，直角三角形的性质等等，正确理解“亮点”的定义是解题的关键．
根据“亮点”定义DA2=BD⋅DC，结合直角三角形斜边中线定理和射影定理(或相似三角形)进行判断。
通过作高构造直角三角形，利用三角函数求出边长，设未知数建立方程求解。
（3）延长交于点，连接、，证明∆ADC∼∆BDE，推出AD2=CD⋅BD=AD⋅ED，即可得到，解直角三角形得到ACCE=13；设，则，AE=22b，进而得．求出CD=3b．则BD=233b，据此可得答案．
【详解】解：（1）点D和点F是∆ABC中BC上的“亮点”。理由如下：
对于点D：∵AD是∆ABC的高线，
∴∠ADB=∠ADC=90∘，
∴∠B+∠BAD=90∘，
又∵∠BAC=90∘，即∠BAD+∠CAD=90∘，
∴∠B=∠CAD，
在∆BDA和∆ADC中，∠ADB=∠ADC，∠B=∠CAD，
∴∆BDA∼∆ADC，
∴BDAD=ADCD，即AD2=BD⋅CD，
∴点D是∆ABC中BC边上的“亮点”，
对于点F：∵在Rt∆ABC中，AF是斜边BC上的中线，
∴AF=BF=CF=12BC，
∴AF2=BF⋅CF，
∴点F是∆ABC中BC边上的“亮点”，
对于点E：AE是角平分线，一般情况下不满足AE2=BE⋅CE
∴点E不是“亮点”。
综上所述，点D和点F是∆ABC中BC上的“亮点”。
如图，过点A作AH⊥BC于点H，
，
在Rt∆AHC中，tanC=AHHC=34，
设AH=3k，HC=4k（k>0），
由勾股定理得AC=AH2+HC2=(3k)2+(4k)2=5k，
∵AC=10，
∴5k=10，解得k=2，
∴AH=6，HC=8，
在Rt∆AHB中，∠B=45∘，
∴BH=AH=6，
∴BC=BH+HC=6+8=14，
设BD=x，则CD=14−x，
∵点D是BC边上的“亮点”，
∴AD2=BD⋅CD=x(14−x)，
在Rt∆AHD中，HD=|BH−BD|=|6−x|，
由勾股定理得AD2=AH2+HD2=62+(6−x)2
∴x(14−x)=36+(6−x)2，
整理得：x2−13x+36=0
解得：x1=4, x2=9
∴BD 的长为 4 或 9。
（3）延长交于点，连接、，
∠ADC=∠BDE，∠ACD=∠BED，
，
，
．
点是中边上的亮点，
AD2=CD⋅BD=AD⋅ED，
．
∵，
∴
sin∠CEA=sin∠ABC=13=ACCE，
设，则，AE=CE2−AC2=22b．
AD=ED=2b．
在中，CD=AC2+AD2=3b．
又AD2=CD⋅BD，
(2b)2=3b⋅BD．解得BD=233b．
CDBD=323=32．化简
解：原式 第一步
第二步
第三步
软件
平均数
中位数
众数
方差
A
86

B
86

88
背景
随着新能源汽车的快速发展，数学小组选择价格相近的两款国产汽车进行使用费用的对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车．
素材1
燃油车油箱容积：50升，油价：8元／升，续航里程：千米，每千米行驶费用：元；
新能源车电池电量：100千瓦时，综合电价：1元／千瓦时，续航里程：千米，每千米行驶费用：______元．
素材2
燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.6元．
素材3
燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．
问题解决
任务1
用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
任务2
分别求出这两款车的每千米行驶费用．
任务3
每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用）