北师大版数学八年级下册期中专题复习试卷

这是一份北师大版数学八年级下册期中专题复习试卷，共12页。试卷主要包含了核心知识点梳理，易错点突破，典型例题解析，变式训练等内容，欢迎下载使用。
一、核心知识点梳理
（一）三角形的基本性质与证明
三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°。
推论：直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形。
三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
三角形全等的判定定理（重点）：
- SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等；
- SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；
- ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；
- AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；
- HL（斜边、直角边）：直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（仅适用于直角三角形）。
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。
（二）等腰三角形与等边三角形
等腰三角形性质（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等；
推论（三线合一）：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
等腰三角形判定（等角对等边）：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
等边三角形性质：等边三角形的三个内角都相等，且每个内角都等于60°；等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质。
等边三角形判定：
- 三个角都相等的三角形是等边三角形；
- 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
直角三角形特殊性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；反之，若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于30°。
（三）线段的垂直平分线与角平分线
线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
线段垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
角平分线的判定：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
（四）反证法
定义：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法。
适用场景：证明“不能”“至少”“至多”类命题（如：一个三角形中不能有两个角是直角）。
二、易错点突破
易错点1：全等三角形判定中，“SSA”不能判定全等（注意：两边及其中一边的对角对应相等，无法保证三角形全等）。
易错点2：等腰三角形“三线合一”的适用条件——仅针对等腰三角形，且是“顶角平分线、底边上的中线、底边上的高”，腰上的中线与高不重合。
易错点3：忽略直角三角形的特殊性质适用条件（30°角对的直角边等于斜边的一半，必须在直角三角形中）。
易错点4：反证法的步骤遗漏——忘记“假设结论不成立”，或未推导矛盾就得出结论。
易错点5：线段垂直平分线、角平分线的性质与判定混淆（性质是“点在线上→距离相等”，判定是“距离相等→点在线上”）。
三、典型例题解析
例题1：三角形全等的证明
已知：如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB相交于点O。求证：△ABC≌△DCB，且OA=OD。
解析：
1. 证明△ABC≌△DCB：
∵ AB=DC（已知），AC=DB（已知），BC=CB（公共边），
∴ △ABC≌△DCB（SSS）。
2. 证明OA=OD：
由△ABC≌△DCB，得∠BAC=∠BDC（全等三角形对应角相等），
又∵ AB=DC，∠AOB=∠DOC（对顶角相等），
∴ △AOB≌△DOC（AAS），∴ OA=OD（全等三角形对应边相等）。
例题2：等腰三角形的性质与判定
已知：在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，E是AC上一点，且BE=BC，∠EBC=30°。求∠BAC的度数。
解析：
∵ AB=AC，AD⊥BC，∴ ∠ABC=∠ACB，BD=DC（三线合一），
∵ BE=BC，∴ △BEC是等腰三角形，∠BEC=∠ACB，
设∠ABC=∠ACB=x，则∠BEC=x，
在△BEC中，∠EBC=30°，∴ ∠EBC+∠BEC+∠ACB=180°，
即30°+x+x=180°，解得x=75°，∴ ∠ABC=∠ACB=75°，
在△ABC中，∠BAC=180°-75°-75°=30°。
例题3：反证法的应用
用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是钝角。
解析：
假设△ABC中有两个角是钝角，不妨设∠A和∠B是钝角，即∠A>90°，∠B>90°，
则∠A+∠B+∠C>90°+90°+∠C=180°+∠C，
这与三角形内角和定理（∠A+∠B+∠C=180°）相矛盾，
因此，假设不成立，即一个三角形中不能有两个角是钝角。
四、变式训练（基础+提升）
基础题
在△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:5，则△ABC是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
已知等腰三角形的两边长分别为3和6，则它的周长为（ ）
A. 12 B. 15 C. 12或15 D. 18
求证：角平分线上的点到角的两边距离相等（写出已知、求证、证明过程）。
提升题
已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且CD=3，BD=5，求BE的长。
已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D在BC上，且BD=BA，求∠ADC的度数。
第二部分：分式与分式方程（第5章）
一、核心知识点梳理
（一）分式的概念
1. 定义：用A、B表示两个整式，A÷B可以表示成$\frac{A}{B}$的形式，如果B中含有字母，那么称$\frac{A}{B}$为分式，其中A是分子，B是分母（B≠0，否则分式无意义）。
2. 分式有意义的条件：分母不为0；
分式无意义的条件：分母为0；
分式的值为0的条件：分子为0且分母不为0。
（二）分式的基本性质
1. 基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示：$\frac{b}{a}=\frac{b\cdt m}{a\cdt m}$，$\frac{b}{a}=\frac{b\div m}{a\div m}$（m≠0，m为整式）。
2. 应用：约分和通分。
- 约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，化为最简分式（分子、分母无公因式）；
- 通分：把异分母分式化为同分母分式，通常取最简公分母（各分母所有因式的最高次幂的积）。
（三）分式的运算
乘法：$\frac{b}{a}\cdt\frac{d}{c}=\frac{bd}{ac}$（分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，结果化为最简）；
除法：$\frac{b}{a}\div\frac{d}{c}=\frac{b}{a}\cdt\frac{c}{d}=\frac{bc}{ad}$（除以一个分式等于乘它的倒数）；
乘方：$(\frac{b}{a})^n=\frac{b^n}{a^n}$（n为正整数，分子、分母分别乘方）；
加减法：
- 同分母：$\frac{b}{a}\pm\frac{c}{a}=\frac{b\pm c}{a}$（分母不变，分子相加减）；
- 异分母：先通分，化为同分母分式，再按同分母分式加减法计算，即$\frac{b}{a}\pm\frac{d}{c}=\frac{bc\pm ad}{ac}$。
（四）分式方程
定义：分母中含有未知数的方程叫作分式方程（区别于整式方程）。
解法步骤：
1. 去分母：在方程两边都乘最简公分母，化为整式方程；
2. 解整式方程：求出整式方程的解；
3. 检验：将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，则是原分式方程的根；若为0，则是增根，原分式方程无解。
增根的产生：去分母时，方程两边乘了一个使分母为0的整式，导致整式方程的解使原分式方程的分母为0，这样的解称为增根（解分式方程必须检验）。
分式方程的应用：列分式方程解决实际问题（如行程问题、工程问题、利润问题等），关键是找到等量关系，注意检验（既要检验方程的根，也要检验是否符合实际意义）。
二、易错点突破
易错点1：分式有意义、无意义、值为0的条件混淆——忽略“分式值为0时，分子为0且分母不为0”，仅考虑分子为0。
易错点2：约分、通分的错误——约分时分母不能为0；通分时常数项漏乘，或最简公分母找错（如$\frac{1}{x-2}$和$\frac{1}{2-x}$的最简公分母是$x-2$或$2-x$）。
易错点3：分式运算顺序错误——先乘除后加减，有括号先算括号内；同级运算从左到右，避免出现“$\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}\cdt\frac{d}{c}=\frac{a}{b}\div1=\frac{a}{b}$”的错误。
易错点4：解分式方程时，忘记检验，或检验方法错误（仅代入整式方程，不代入最简公分母）。
易错点5：列分式方程解决实际问题时，找不到等量关系，或单位不统一，或忽略实际意义（如人数、速度不能为负数）。
三、典型例题解析
例题1：分式的概念与性质
（1）当x取什么值时，分式$\frac{x-2}{x^2-4}$有意义？值为0？
（2）化简分式：$\frac{x^2-4x+4}{x^2-4}$，并求当x=3时的值。
解析：
（1）① 分式有意义：分母$x^2-4≠0$，即$(x+2)(x-2)≠0$，解得$x≠2$且$x≠-2$；
② 分式值为0：分子$x-2=0$且分母$x^2-4≠0$，由$x-2=0$得$x=2$，但$x=2$时分母为0，故分式值不可能为0。
（2）化简：$\frac{x^2-4x+4}{x^2-4}=\frac{(x-2)^2}{(x+2)(x-2)}=\frac{x-2}{x+2}$（$x≠2$且$x≠-2$）；
当x=3时，原式=$\frac{3-2}{3+2}=\frac{1}{5}$。
例题2：分式的混合运算
计算：$\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)\div\frac{a^2-b^2}{ab}$
解析：
原式=$\left(\frac{b-a}{ab}\right)\div\frac{(a+b)(a-b)}{ab}$（先通分计算括号内的减法，因式分解分母）
=$\frac{-(a-b)}{ab}\cdt\frac{ab}{(a+b)(a-b)}$（将除法转化为乘法，注意符号）
=$-\frac{1}{a+b}$（约去公因式$ab$和$a-b$，化为最简）。
例题3：分式方程的解法与应用
（1）解方程：$\frac{3}{x-1}=\frac{4}{x}$
（2）某车间加工1300个零件后，采用新工艺，工效提升30%，同样加工1300个零件少用10小时，求采用新工艺前每小时加工多少个零件？
解析：
（1）解方程：
去分母，两边乘$x(x-1)$，得$3x=4(x-1)$，
解整式方程：$3x=4x-4$，解得$x=4$，
检验：当$x=4$时，$x(x-1)=4×3=12≠0$，故$x=4$是原方程的根。
（2）设采用新工艺前每小时加工$x$个零件，则新工艺后每小时加工$(1+30\%)x=1.3x$个零件，
根据题意，得$\frac{1300}{x}-\frac{1300}{1.3x}=10$，
去分母，两边乘$1.3x$，得$1300×1.3 - 1300 = 10×1.3x$，
化简：$1690 - 1300 = 13x$，即$390=13x$，解得$x=30$，
检验：$x=30≠0$，$1.3x=39≠0$，且符合实际意义，
答：采用新工艺前每小时加工30个零件。
四、变式训练（基础+提升）
基础题
化简：$\frac{2xy}{x^2-y^2}\div\frac{1}{x-y}$
解方程：$\frac{5}{x+2}=\frac{3}{x}$
当x取什么值时，分式$\frac{2x-6}{x-3}$的值为0？
提升题
计算：$\frac{a}{a-1}-\frac{3a-1}{a^2-1}$
甲、乙两人同时从A地出发到B地，甲骑自行车，乙步行，甲的速度是乙的3倍，甲比乙早到2小时，已知A、B两地相距30千米，求乙的速度。
第三部分：平行四边形（第6章期中前内容）
一、核心知识点梳理
（一）平行四边形的概念
定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形，记作$\square ABCD$，读作“平行四边形ABCD”；
对角线：平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段（如AC、BD），两条对角线的交点是平行四边形的对称中心。
（二）平行四边形的性质
对称性：平行四边形是中心对称图形（对称中心是两条对角线的交点），不是轴对称图形；
边的性质：平行四边形的对边相等、对边平行；
角的性质：平行四边形的对角相等、邻角互补（和为180°）；
对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分（两条对角线相交于点O，则OA=OC，OB=OD）。
二、易错点突破
易错点1：平行四边形的对称性混淆——误认为平行四边形是轴对称图形（实际不是，无对称轴）。
易错点2：平行四边形的性质应用错误——忽略“对边平行”“邻角互补”，仅记住对边相等、对角相等。
易错点3：对角线的性质理解错误——平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等（只有特殊平行四边形，如矩形，对角线才相等）。
三、典型例题解析
例题：已知在$\square ABCD$中，对角线AC、BD相交于点O，OA=5，OB=3，求$\square ABCD$的周长和面积（提示：可先判断△AOB的形状）。
解析：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA=OC=5，OB=OD=3，AB=CD，AD=BC（对角线互相平分，对边相等），
∴ AC=2OA=10，BD=2OB=6，
又∵ OA²+OB²=5²+3²=25+9=34，AB²=OA²+OB²=34（假设AC⊥BD，此处可补充条件，若未说明垂直，可改为求边长范围，结合期中考点，此处按垂直计算），
∴ AB=$\sqrt{34}$，
周长=2(AB+AD)，若AC⊥BD，则△AOB≌△BOC，AD=AB=$\sqrt{34}$，周长=4$\sqrt{34}$；
面积=4×S△AOB=4×$\frac{1}{2}×OA×OB$=4×$\frac{1}{2}×5×3$=30。
四、变式训练（基础+提升）
基础题
在$\square ABCD$中，∠A=120°，则∠B=______，∠C=______。
已知$\square ABCD$的周长为28，AB=6，则BC=______。
提升题
已知在$\square ABCD$中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是OA、OC的中点，求证：BE=DF。