上海市建平中学2025-2026学年上册12月月考九年级数学试题（含答案）

这是一份上海市建平中学2025-2026学年上册12月月考九年级数学试题（含答案），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列说法正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦B．相等的圆心角所对的弧也相等
C．等弧所对的弦相等D．过平面上三点可以画一个圆
2．已知二次函数的图像如图所示，那么下列判断正确的
A．，，B．，，
C．，，D．，，
3．如图，已知在中，点、、分别是边上的点，，且，那么等于（ ）
A．B．C．D．
4．如图，已知平行四边形ABCD中，，E为中点，求（ ）
A．B．C．D．
5．将抛物线经过下列平移能得到抛物线的是（ ）
A．向右个单位，向下个单位B．向左个单位，向下个单位
C．向右个单位，向上个单位D．向左个单位，向上个单位
6．在中, . 下列线段的长度不能使的形状和大小都确定的是（ ）
A．2B．4C．D．
二、填空题（本大题共12小题）
7．如果，那么 ．
8．已知抛物线的开口方向向下，对称轴是直线，那么这条抛物线的表达式可以是 ．（只要写出一个表达式）
9．计算：
10．点C是线段的黄金分割点（），若，则
11．中，分别是延长线上的一点， ，则 ．
12．已知二次函数的图像上有两点，那么的值等于 ．
13．在中，边上的高为，则的值为 ．
14．如图，在四边形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点，如果，，那么 ．（用含有字母a的代数式表示）
15．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AD与BE交于点F，若BE＝6，FD＝3，则△ABC的面积等于 ．
16．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OF⊥CD，垂足为点F，DE＝5，OF＝1，那么CD＝ ．

17．定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”．已知直线与轴交于点，与轴交于点，点恰好是抛物线的顶点，则此时抛物线关于直线的割距是 ．
18．如果一条直线把一个四边形分成两部分，这两部分图形的周长相等，那么这条直线称为这个四边形的“等分周长线”．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，DC＝AD，∠B是锐角，ctB＝，AB＝17．如果点E在梯形的边上，CE是梯形ABCD的“等分周长线”，那么△BCE的周长为 ．
三、解答题（本大题共7小题）
19．．
20．如图，在中，，，平分交于点D，交于点E．
(1)求的长；
(2)交于点F，设，，用，的线性组合表示向量和．
21．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，csB＝，D、E分别是AB、BC边上的中点，AE与CD相交于点G．
（1）求CG的长；
（2）求tan∠BAE的值．
22．图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点逆时针方向旋转，当旋转角为时，箱盖落在的位置（如图2所示），已知厘米，厘米，厘米．
(1)求点到的距离；
(2)求、两点的距离．
23．如图, 线段是的角平分线, 点点 分别在线段 的延长线上, 联结, 且 ．
（1）求证: ；
（2）如果 , 求证: ．
24．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0），与y轴交于点C，点D是在第四象限内抛物线上的一个动点，直线AD与直线BC交于点E．
（1）求b、c的值和直线BC的表达式；
（2）设∠CAD＝45°，求点E的坐标；
（3）设点D的横坐标为d，用含d的代数式表示△ACE与△DCE的面积比．
25．如图，已知ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D是边AB上一点（与点A、B不重合），DE平分∠CDB，交边BC于点E，EF⊥CD，垂足为点F．
(1)当DE⊥BC时，求DE的长；
(2)当CEF与ABC相似时，求∠CDE的正切值；
(3)如果BDE的面积是DEF面积的2倍，求这时AD的长．
参考答案
1．C
解：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，A错误；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，B错误；
等弧是指在同圆或等圆中长度相等的弧，则等弧所对的弦相等，C正确；
不在同一直线上的三点确定一个圆，D错误；
故选：C．
2．C
解：抛物线开口向下a＜0；对称轴在y轴右侧，b＞0（与a异号）；图像交y正半轴，c＞0，
故选：C.
3．A
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
．
故选：A．
4．A
∵四边形ABCD是平行四边形，E为中点，
∴
故选A．
5．B
解：∵的顶点坐标为，的顶点坐标为，
∴将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，可得抛物线．
故选：B．
6．A
如图（1），过点B作BD⊥AC于点D
则
故当BC=，即点D与点C重合时，△ABC的形状和大小唯一确定，即C选项不符合题意；
当BC=2时，如图（2），则BC1=BC2=2，此时△ABC1与△ABC2的形状和大小不相同，即选项A符合题意；
当BC=时，△ABC是等腰三角形，如图（3），此时△ABC的形状与大小确定，故选项D不符合题意；
当BC=4时，如图（4），△ABC是钝角三角形，形状与大小确定，故选项B不符合题意；
故选：A
7．
解：∵，
∴，即，
∴，
故答案为：．
8．（答案不唯一）
解：设抛物线的表达式为，
∵抛物线的开口方向向下，
∴，
∵对称轴是直线，
∴，
则抛物线的表达式可以为．
故答案为：（答案不唯一）．
9．
解：
．
故答案为：．
10．##
解：由题意得：，
∵，，
∴，
解得：，负值已舍去．
故答案为．
11．
解：如图所示，∵分别是延长线上的一点，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：．
12．
解：∵二次函数，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点都在抛物线上，
∴点A、B关于直线对称，
∴，
∴．
故答案为：．
13．
解：在中，，由勾股定理得
由面积公式 =，
即，
解得
,
即
解得：
，
故答案为：．
14．
解：∵，，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
故答案为：．
15．9
过E作EG⊥BC于G，
∵AD、BE分别是边BC、AC上的中线，
∴点F是△ABC的重心，
∴AD＝3DF＝9，
∵AB＝AC，AD是边BC上的中线，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∵BE是边AC上的中线，
∴AE＝CE，
∵AD⊥BC，EG⊥BC，
∴EG∥AD，
∴EG＝AD＝，CG＝CD，
∵BE＝6，
∴BG＝，
∴BC＝BG＝2，
∴△ABC的面积＝×9×2＝9，
故答案为9．
16．
解：∵AB是⊙O的直径，OF⊥CD，
根据垂径定理可知：
CF＝DF，
∵∠CEA＝30°，
∴∠OEF＝30°，
∴OE＝2，EF＝，
∴DF＝DE﹣EF＝5﹣，
∴CD＝2DF＝10﹣2．
故答案为：10﹣2．
17．
解：直线与轴交于点，令，
得，
故
点是抛物线的顶点，
，，
抛物线解析式为
联立方程组，
得，
整理得，
解得或
对应值分别为和，
故交点为和，
两点间距离为，
即割距为，
故答案为：．
18．42
解：作CH⊥AB于H，
设BH＝5a，
∵ctB＝，
∴＝，
∴CH＝12a，
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠A＝90°，又CH⊥AB，
∴四边形ADCH为矩形，
∴AD＝CH＝12a，CD＝AH，
∵DC＝AD，
∴AH＝CD＝12a，
由题意得，12a+5a＝17，
解得，a＝1，
∴AD＝CD＝AH＝12，BH＝5，
在Rt△CHB中，BC＝＝13，
∴四边形ABCD的周长＝12+12+17+13＝54，
∵CE是梯形ABCD的“等分周长线”，
∴点E在AB上，
∴AE＝17+13﹣27＝3，
∴EH＝12﹣3＝9，
由勾股定理得，EC＝＝15，
∴△BCE的周长＝14+13+15＝42，
故答案为：42．
19．
解：原式
．
20．(1)
(2)；
（1）解：∵，
，，
又平分，
，
，
∵，
∴，
∵，，
∴，
，
，
；
（2）解：，，
；
∵，
，
，
，
故答案为：；．
21．（1）；（2）tan∠BAE＝．
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，csB＝，
∴，
∵D是边上的中点，
∴，
又∵点E是BC边上的中点，
∴点G是△ABC的重心，
∴；
（2）∵点E是BC边上的中点，
∴，
过点E作EF⊥AB，垂足为F，
∵在Rt△BEF中，csB＝，
BF＝BE•csB＝，
∴，
∵AF＝AB﹣BF＝18﹣4＝14，
∴tan∠BAE＝．
22．(1)
(2)
（1）解：如图，过点作，交于点，交于点，
由题意得厘米，，
四边形是矩形，
，
，
在中，厘米，
厘米，厘米，
厘米，
厘米，
答：点到的距离为厘米；
（2）如图，连接，，，
由题意得，，
是等边三角形，
，
四边形是矩形，
，
在中，厘米，厘米，
厘米，
厘米，
答：、两点的距离是厘米．
23．（1）见解析；（2）见解析
证明：（1）
线段是的角平分线，
（2）
设，
则
即
又
即
又
，
即
即
又
24．（1），直线BC解析式为y＝x﹣6；（2）；（3）
解：（1）∵抛物线y＝+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0），
∴，解得，
∴抛物线解析式为y＝-2x﹣6，
当x＝0时，y＝﹣6，∴点C（0，﹣6），设直线BC解析式为y＝mx+n，
则，解得：，∴直线BC解析式为y＝x﹣6；
（2）如图1，过点E作EH⊥OC于H，
∵点C（0，﹣6），点B（6，0），点A（﹣2，0），
∴OB＝OC＝6，OA＝2，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，BC＝6，AC＝=，
∵∠ABC＝∠CAD＝45°，∠ACE＝∠ACB，
∴△ACE∽△BCA，
∴，
∴，
∴CE＝，
∵EH⊥CO，∠ECH＝45°，
∴EH＝HC＝，
∴OH＝，
∴点E（，﹣）；
（3）∵点D的横坐标为d，
∴点D（d，﹣2d﹣6），（0＜d＜6），
如图2，过点D作DF∥AB交BC于点F，
∴△ABE∽△DFE，
∴，
∵，
∴．
∵点F在直线BC上，
∴点F（﹣2d，﹣2d﹣6），
∴DF＝3d﹣，
∴．
25．(1)
(2)1或
(3)
（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，
∴，
∵DE平分∠CDB，
∴∠CDE＝∠BDE，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝∠DEB＝90°，
在△DCE和△DBE中，
，
∴△DCE≌△DBE（ASA），
∴CE＝BE，
∵CE+BE＝BC＝4，
∴CE＝BE＝2，
∵，
∴，
∴DE＝；
（2）∵EF⊥CD，
∴∠CFE＝90°＝∠ACB，
∵△CEF与△ABC相似，
∴△CEF∽△ABC或△CEF∽△BAC，
①当△CEF∽△ABC时，
则∠ECF＝∠BAC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠ECF+∠ABC＝90°，
∴∠CDB＝90°，
∵DE平分∠CDB，
∴，
∴tan∠CDE＝tan45°＝1；
②当△CEF∽△BAC时，
则∠ECF＝∠ABC，
∴DC＝DB，
∵DE平分∠CDB，
∴DE⊥BC，
∴∠CDE+∠ECF＝90°，
∵∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠CDE＝∠BAC，
∴，
综上所述，∠CDE的正切值为1或；
（3）如图，过点E作EG⊥AB于点G，
∵DE平分∠CDB，EF⊥CD，EG⊥AB，
∴EF＝EG，
∵DE＝DE，
∴Rt△DEF≌Rt△DEG（HL），
∴DF＝DG，
∵△BDE的面积是△DEF面积的2倍，
∴BD＝2DF，
∴DG＝BG，
∵EG⊥BD，
∴DE＝BE，
设BE＝x，则DE＝x，CE＝BC﹣BE＝4﹣x，，
∴，
∴，
∵DE平分∠CDB，
∴∠CDE＝∠BDE，
∵DE＝BE，
∴∠BDE＝∠B，
∴∠CDE＝∠B，
∵∠DCE＝∠BCD，
∴△CDE∽CBD，
∴，即，
解得：CD＝3，，
∴，
故这时AD的长为．