安徽省江淮协作区2024-2025学年高二下学期期末联合监测 数学试卷（含解析）

这是一份安徽省江淮协作区2024-2025学年高二下学期期末联合监测 数学试卷（含解析），共10页。试卷主要包含了 已知事件，满足，，，则等内容，欢迎下载使用。
满分：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰.
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 关于样本相关系数，下列说法正确的是（ ）
A. 样本相关系数
B. 当样本相关系数时，称成对数据成正相关
C. 两个随机变量线性相关越弱，则相关系数越接近-1
D. 两个随机变量线性相关越强，则相关系数越接近1
【答案】A
【详解】根据相关系数，可知A正确；
时，数据成负相关，时，数据成正相关，故B错误；
越接近1，线性相关性越强，越接近0，相关性越弱，故C错误；
对于D，两个随机变量线性相关越强，相关系数也可能接近，故D错误.
故选：A.
2. 已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【详解】因为双曲线的渐近线方程为，
所以，
，
所以双曲线的离心率为2.
故选：D.
3. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由对称性可知，
故.
故选：A
4. 已知圆，圆，则两圆的位置关系是（ ）
A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切
【答案】C
【详解】，圆心，半径，
可化简为，
则圆的圆心为，半径，
，所以两圆相交.
故选：C.
5. 记为等比数列的前项和，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】设等比数列的公比为，又，
所以，
所以.
故选：D.
6. 江淮地区不仅风景优美，而且美食也是远近闻名.现有一游客计划用三天品尝山粉圆子烧肉、秋浦花鳜、大通茶干、八公山豆腐这4种特色美食，每天至少选择一种（4种美食不重复选择且每天美食的选择不分先后顺序），游客三天后恰好品尝完这4种美食.则这三天他选择美食的不同选法种数为（ ）
A. 24种B. 36种C. 42种D. 48种
【答案】B
【详解】根据题意，4种美食的分配给3天的分配方案为2,1,1，
所以不同的选法有种.
故选：B.
7. 已知函数在处的切线与直线平行，且在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】，由题意得，解得，
，，
令得或，令得，
故在上单调递减，在，上单调递增，
所以在处取得极小值，
又，令，
即，变形得到，即，
故或，即，
要想在区间上存在最小值，需满足，
解得.
故选：C
8. 已知事件，满足，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】由题意得，故，
，
又，故，解得，
所以，
故，
由条件概率公式得.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 关于随机变量的期望与方差，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C. 若，则的值与无关
D. 若是两点分布，则当时，最大
【答案】ACD
【详解】根据期望的线性运算，，故A正确；
由，，故B错误；
由，，则，故C正确；
因为是两点分布，所以，
则当时，最大，故D正确；
故选：ACD.
10. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的有（ ）
A. 当点E运动时，总成立
B. 当E向运动时，二面角逐渐变小
C. 二面角的最小值为
D. 三棱锥的体积为定值
【答案】ACD
【详解】对于A，连接，，，

因为四边形为正方形，故，
又⊥平面，平面，
所以，
又，平面，
所以平面.
因为平面，
所以，同理可证.
因为，平面，
所以平面，
因为平面，
所以总成立，故A正确
对于B，平面EFB即平面，平面EFA即平面，
所以当E向运动时，二面角大小不变，故B错误.
对于C，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，所以，
因为E，F在上，且，
故可设，，，则，
由题知平面ABC的一个法向量为，
设平面ABE的一个法向量为，
则，解得，
取，则，故，
设二面角的平面角为，则为锐角，
所以，
又，所以当时，取得最大值，
取得最小值，故C正确；
对于D，因为，
点A到平面EFB的距离即到平面的距离，为，
所以，为定值，故D正确.
故选：ACD
11. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1;若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：
已知数列满足：（为正整数），记数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，
B. 当时，使得要13步“雹程”
C. 当时，
D. 若，则的取值有6个
【答案】BCD
【详解】时，，
所以此时数列的周期为3，又，所以，故A错误；
时，
，所以使得经过了13步“雹程”故B正确；
，则，所以，
则，故C正确；
对于D，
所以的取值有6个，故D正确；
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 根据成对样本数据建立变量关于的成对数据如下表所示：
若由该数据得到的线性回归方程为，则的值为_____.
【答案】5
【详解】根据题意，
所以，解得.
故答案为：5.
13. 某研究所在试验一批种子，已知该批种子的发芽率是，从中随机选择4粒种子进行播种，则恰有3粒种子发芽的概率是_____.
【答案】
【详解】根据题意，种子发芽的粒数，，
，
所以恰有3粒种子发芽的概率是.
故答案为：.
14. 已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，且.若在上恒成立，则实数的取值范围为_____.
【答案】
【详解】因为偶函数，则①，
对两边求导得，②，
在③中，用代替得④，
由①②④可得，⑤，
联立③⑤得，，
则可化简为：，
令，则，
则得；得，
则在上单调递减，在上单调递增，
则的最小值为，故.
则实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知.
（1）求该二项展开式中二项式系数最大的项；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
由二项式通项公式可得：，
因为为偶数，所以二项式系数最大项为中间项，即第项，
所以，
综上：二项式系数最大项为.
【小问2详解】
由题可得令，则，
令，则，
所以.
16. 已知单调递增数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
，即，
当时，，解得，
当时，，
即，
又数列单调递增，所以，即，
则，，时也符合，
所以.
【小问2详解】
，
，
，
,
解得.
17. 2025年是中国共产党成立的104周年，某校为传承和弘扬革命精神特举行“党史知识”竞赛，本次比赛共分三个环节，每位参赛同学必须前两个环节均通过才有机会进入最后一个（决赛）环节，前两个环节是否通过相互独立.只要一个环节失败，即终止比赛.现有，，三位同学参加比赛，同学通过前两个环节的概率分别为和，同学和同学前两个环节中通过每一个环节的概率均为.
（1）求恰有两位同学仅通过第一个环节概率；
（2）设进入决赛的同学人数为，求的分布列与数学期望.
【答案】（1） （2）答案见解析
【小问1详解】
三位同学仅通过第一个环节的概率分别为：
，，，
所以恰有两位同学仅通过第一个环节的概率为：
；
【小问2详解】
记三位同学进入决赛分别为事件，则，
，，，
随机变量可能的取值为：，
，
，
，
，
所以随机变量的分布列为：
所以随机变量的数学期望为.
18. 已知椭圆过点，其中一个焦点在直线上，为椭圆的上顶点，直线与椭圆相交于不同的两点，.
（1）求椭圆方程；
（2）若，为坐标原点，求的面积最大时实数的值；
（3）若直线，的斜率分别为，，且，直线，与圆分别交于点，.证明：直线过定点，并求出定点坐标.
【答案】（1）
（2）
（3）
【小问1详解】
由焦点在直线上，令，解得，
由过点，则，解得，
所以椭圆的方程为
【小问2详解】
当时，直线，设，，
联立，消去可得，
由，则，
可得，，
点到直线的距离，
弦长，
则的面积
，
当且仅当，即时，等号成立，所以的值为.
【小问3详解】
由（1）可知，所以圆，又，所以，
（i）若直线垂直于轴，，设的方程：，，，
则，消去可得，
则（*），且，
可得，解得，不满足（*），不合题意；
（ii）若直线不垂直于轴，
则设的方程：，，，
则，消去可得，
由Δ=2tn−t2−41+t2n2−n>0，则，，
可得.
因为，则，即，
Δ=t2+t2−41+t2t24−t2=2t>0,∴
所以直线方程为：y=tx+12t=tx+12(t>0)，
所以直线过定点.
19. 已知函数.
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若函数有两个极值点，，，证明：.
【答案】（1） （2）答案见解析 （3）答案见解析
【小问1详解】
由题意可知的定义域为，
当时，，则，
所以，，
所以函数在处的切线方程为：，即.
【小问2详解】
，
当，因为，恒成立，所以在上单调递减；
当，令，即，因为，
若时，得，，，
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减；
若时，，则恒成立，则在上单调递增.
综上所述：当时，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增.
【小问3详解】
由（2）知，当时，有两个极值点，
其中是的极大值点，是的极小值点，且，，所以，
要证，只要证，
由，
代入可得，原式，
令，设，
所以，即，
则在上单调递增，所以，
则，即，
所以原不等式成立.
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2
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4
5
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