吉林省普通高中G8教考联盟2024-2025学年高二下学期7月期末考试 数学（含解析）

这是一份吉林省普通高中G8教考联盟2024-2025学年高二下学期7月期末考试 数学（含解析），共10页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔、等内容，欢迎下载使用。
本试卷共6页．考试结束后，将答题卡交回：
注意事项：
1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．将条形码准确粘贴在考生倍息条形码粘贴区．
2．答题时请按要求用笔、
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答：超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试卷上答题无效．
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描照．
5．保持卡面湾洁，不要折叠，不要异破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】因为，又，，，，
所以，故A正确.
故选：A
2. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，将四组数据对应的相关系数进行比较，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由图知，对应的与负相关，且对应的相关性更强，即；
对应的与正相关，且对应的相关性更强，即，
所以.
故选：A
3. 是的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】当，时，显然不成立；
当时，显然，由不等式性质可知，，
故是的必要不充分条件.
故选：B.
4. 已知，都是定义域为的奇函数，则函数的部分图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】由题知，的定义域为，关于原点对称，
由，得是偶函数，A，B错误.
，都是定义域为的奇函数，则，
则，D错误，C正确.
故选：C
5. 从5名男生和4名女生中选出4人参加比赛，如果4人中须既有男生又有女生，选法有（ ）种
A 21B. 120C. 60D. 91
【答案】B
【详解】根据题意，从5名男生和4名女生共9人中选出4人去参加辩论比赛，有＝126种选法，
其中只有男生没有女生的选法有＝5种，只有女生没有男生的选法有＝1种，
则4人中既有男生又有女生的不同选法共有126﹣5﹣1＝120种；
故选B．
6. 已知函数，则的值为（ ）
A. 24B. 4C. 12D. 8
【答案】A
【详解】因为，所以，
又，所以.
故选：A.
7. 已知正实数m，n满足，则的最小值为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】可以转化为，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，此时的最小值为.
故选：A．
8. 已知函数若关于的方程有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】∵，
当时， 在上为减函数，
当时，即在上为增函数，，
当时，在上为增函数，
作出函数的图象如图所示：
设，
当时，方程有1个解，
当时，方程有2个解，
当时，方程有2个解，
当时，方程有3个解，
当时，方程有2个解，
当时，方程有1个解，
当时，方程有0个解，
方程等价，
要使关于的方程恰有4个不相等的实数根，
等价为方程有两个不同的根，且当时，方程有1个解，
所以时，方程有3个解，所以，即得.
故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分、共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分、部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列叙述正确的是（ ）
A. 不等式的解集是
B. 函数与同一函数
C. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为
D. 若函数，则
【答案】CD
【详解】A：由，则，可得或，故解集为不对，错；
B：由的定义域为R，而的定义域为，显然不是同一函数，错；
C：由的定义域为，则，即函数的定义域为，对；
D：由解析式，则，
故且，
所以，对.
故选：CD
10. 下列叙述正确的是（ ）
A. 甲、乙、丙等5人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有36种排法
B. 用数字0，1，2，3这四个数可以组成没有重复数字的四位数共有18个
C. 4个人分别从3个景点中选择一处游览，有81种不同选法
D. 正十二边形的对角线的条数是54
【答案】BCD
【详解】A：将5人作全排列有种，先求甲丙相邻的情况，将甲和丙捆绑，再和其他三人全排列，有，
若甲与丙不相邻，则共有种，错；
B：从1、2、3中选一个放在千位有种，再把余下的3个数作全排种，共有种，对；
C：由题意，每个人都有3种选择，故共有种，对；
D：对于任意一个顶点都有9条对角线，但会重复计算一次，故共有条，对.
故选：BCD
11. 已知函数与的定义域均为，且，，若的图象关于点对称，则（ ）
A. B.
C. 是奇函数D.
【答案】ABD
【详解】由的定义域为R且图象关于点对称，则，且，
所以，则，A对；
由，知，又，
所以，而，则，
故，即，B对；
由，则，故，
令，则，显然不满足是奇函数，C错；
由B分析有，即，故是周期为4的函数，
其中，，，，
所以，故，D对.
故选：ABD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在的二项展开式中，常数项为__________.
【答案】20
【详解】的二项展开式中，常数项为，
故答案为：
13. 若函数，是定义在上的增函数，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【详解】由题知，，解得：.
故答案为：.
14. 甲、乙两名同学参加汉语听写比赛，每次由其中一人听写，规则如下：若听写正确则此人继续听写，若未听写正确则换对方听写，无论之前听写情况如何，甲每次听写的正确率均为0.6，乙每次听写的正确率均为0.8，第1次听写的人是甲、乙的概率各为0.5，则第二次听写的人是甲的概率_____；第次听写的人是甲的概率_______．
【答案】 ①. ## ②.
【详解】根据题意，记“第次听写的人是甲”为事件，“第次听写的人是乙”为事件，
设，依题可知.
则.
即.
变形可得，又，则.
则数列是首项为，公比为的等比数列.
即.
所以第2次听写的人是甲的概率为.
所以第次听写的人是甲的概率为.
故答案为：；.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）求函数在处切线的方程；
（2）求函数的极值．
【答案】（1）
（2）极大值为6，极小值为26
【小问1详解】
因为函数，
所以求导得.
所以.又，
所以函数在处的切线方程为，即.
【小问2详解】
因为.
令，解得或.
当或时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以的极大值为，极小值为.
16. 为了研究高中学生平时的数学成缆和整理数学错题习惯的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校抽取100名学生进行调查统计．数据如下：
（1）依据小概率值的独立性检验，是否认为数学成绩优秀与整理数学错题集习惯有关联；
（2）在调查统计有整理数学错题集习惯的50名学生中，采用比例分配的分层随机抽样的方法选取5人组建研讨小组，再从5人研讨小组中随机抽取3人进行访谈，用表示访谈时成绩优秀的人数，求的分布列及数学期望．
附：
【答案】（1）有关； （2）分布列见解析，期望为.
【小问1详解】
零假设：数学成绩优秀与整理数学错题集习惯无关联
由题设，
故依据小概率值的独立性检验，不能认为零假设成立，
故认为数学成绩优秀与整理数学错题集习惯有关联；
【小问2详解】
由分层抽样的等比例性质，5人中有2人优秀，3人非优秀，
所以优秀学生人数，且，，，
故分布列如下，
则.
17. 已知函数．
（1）求的单调区间及最值；
（2）求出方程的解的个数．
【答案】（1）答案见解析；
（2）答案见解析.
【小问1详解】
由题设，故时有，时有，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
当趋向时趋向，趋向时趋向，故，
综上，的递减区间为，递增区间为，最小值为，无最大值；
【小问2详解】
由（1）分析，可得的大致图象如下：
当时，无解；
当时，有两个不同解；
当或时，有且仅有一个解.
18. 已知定义域都为的函数与满足：是偶函数，是奇函数，且．
（1）求函数、的解析式；
（2）直接说明函数的单调性，并解关于不等式：；
（3）设，，对于，都，使得，求实数的取值范围．
【答案】（1），；
（2）单调递增，不等式解集为；
（3）.
【小问1详解】
由题设，，且，
，
两式相减可得；
【小问2详解】
由在R上均单调递增，故在R上单调递增，
由，则，
所以，即，可得或，
所以解集为；
【小问3详解】
时，，又，故，
时，，
令，则，
则，
由，都，使得，只需，即.
19. 设随机变量的概率分布为，，其中是大于0的常数，e为自然对数的底数.则称服从参数为的泊松分布，记为.
（1）若，求；
（2）已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，有.请用泊松分布近似二项分布解决下列问题：若，，，求实数的取值范围；
（3）若，，且，的任意取值均相互独立，记，试判断随机变量是否服从泊松分布，如果服从，请求出泊松分布对应的参数，如果不服从，请说明理由.
参考数据：.
【答案】（1）；
（2）；
（3）随机变量服从泊松分布，对应的参数是.
【小问1详解】
若，则；
【小问2详解】
由题
，
其中，.
令，，则，
故在单调递减，
又，
所以的解为，
即，即；
【小问3详解】
由题：
所以，即随机变量服从泊松分布，对应的参数是.
整理数学错题习惯
数学成绩
合计
优秀
非优秀
有
20
30
50
没有
10
40
50
合计
30
70
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7879
10.828
0
1
2