华东师大版（2024）七年级下册（2024）作轴对称图形表格教案

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新授课 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析
学生已了解轴对称概念和性质，本节课是知识的深化，能为后续学习复杂图形变换及解决实际问题打基础。​掌握作轴对称图形依据，即对应点连线被对称轴垂直平分；学会用尺规作出点、线段、三角形等简单图形的轴对称图形；运用该知识设计图案、解决最短路径等实际问题。​作轴对称图形融合了几何性质、图形变换与逻辑推理知识，能培养学生空间观念、几何直观和逻辑思维，让学生体会数学在美术、建筑等领域的应用。
学习者分析
学生已知晓轴对称图形概念与对称轴性质，且有一定尺规作图能力，这为新课学习创造了条件。七年级学生好奇心强，对直观数学活动感兴趣，有动手和探究意识，但抽象思维较弱，难以将操作转化为理论并灵活运用。学生间学习能力有差异。
教学目标
1.能阐述作轴对称图形依据；熟练用尺规作出简单图形的轴对称图形；
2.通过观察、操作、验证等探究过程，培养观察、动手及逻辑推理能力；学会将实际问题转化为数学问题，建立模型，体会数学建模思想；通过小组合作，提升交流协作能力。
3.感受轴对称在生活中的应用与美学价值，激发学习兴趣；在探究中培养探索精神，增强自信心.
教学重点
掌握作轴对称图形方法，确定关键点对称点并连线；
教学难点
理解作图方法原理，从轴对称性质推导具体步骤.
学习活动设计
教师活动
学生活动
环节一：情境导入
教师活动1：
回顾：轴对称图形的对称轴的画法是？
先找出轴对称图形的任意一组对称点，连结对称点，得到一条线段，再画出这条线段的垂直平分线，就可以得到该图形的对称轴.
思考：在如图给出一个图案的左半部分，其中虚线是这个图案的对称轴．请你画出这个图案的右半部分，使它组成一个完整的图案．
学生活动1：
复习上节课所学知识点，学生思考问题，解答
活动意图说明：
从实际出发，从学生已有的生活经验出发. 在学习轴对称的基础上，激发学生探究如何画轴对称图形的对称轴.
环节二：新知探究
教师活动2：
探究一： 在格点图中做轴对称图形
如果给出一个图形和一条直线，那么如何画出这个图形关于这条直线的对称图形呢?
试一试
如图，实线所构成的图形为已知图形，虚线为对称轴，试画出已知图形的轴对称图形.画好之后，你可以通过折叠的方法来验证你画得是否正确.
图(1)需要找到5个关键点，然后顺次连结即可；
图(2)需要找到3个关键点，然后顺次连结即可.
在格点图中，很容易找到格点关于对称轴的对称点，因此可以较方便地作出已知图形的轴对称图形.
如果没有格点，你还能准确地画出已知图形的轴对称图形吗?
探究二：作轴对称图形
如图， 已知点A和直线l， 要作出点A 关于直线l的对称点A′， 此时就需要过点A作直线l的垂线， 与l相交于点O， 然后在垂线上取一点A′， 使OA′ = OA， 如图 所示.

思考：我们已经能利用尺规作图，作已知线段的垂直平分线，作已知角的平分线，那么如何利用尺规作图，过已知点作出已知直线的垂线，从而得到已知点关于已知直线的对称点呢？
已知点与已知直线可以有两种不同的位置关系：点在直线上；点在直线外.现分别按这两种情况作图.
(1)经过已知直线AB上一点C作已知直线AB的垂线.
如图①，由于点C在直线AB上，因此所要求作的垂线正好是平角∠ACB的平分线所在的直线.
(2)经过已知直线AB外一点C作已知直线AB的垂线.
如图②，由于点C是垂线上的一个点，因此要作出垂线，只要再找到垂线上的另一点P.
如果垂线CP已作出，那么沿着垂线CP对折，可以发现CP一侧的直线AB上的点M与另一侧的某一点N重合，即有CM=CN，PM=PN.
此时可以发现所需求作的垂线CP正是线段MN的垂直平分线.
于是我们想到，先以点C为圆心、适当长为半径作弧，与直线AB相交于M、N两点；再分别以点M和N为圆心、相同长为半径作弧，得到交点，即为垂线l上的另一点P.
由此，你能发现利用尺规作图过一点作已知直线的垂线的方法吗？
[做一做]1.如图，经过已知直线AB上一点C，试利用尺规作图，按下列作法准确地作出直线AB的垂线.
(1)作平角∠ACB的平分线CP；
(2)反向延长射线CP.
直线CP就是所要求作的垂线.
2.如图，经过已知直线AB外一点C，试利用尺规作图，按下列作法准确地作出直线AB的垂线.
(1)以点C为圆心、适当长(大于点C到直线AB的距离)为半径作弧，交直线AB于M、N两点；
(2)分别以点M、N为圆心，相同长(大于线段MN长的一半)为半径作弧，两弧相交于点P；
(3)作直线CP.直线CP就是所要求作的垂线.
总结：画轴对称图形的依据：
对称轴是对称点连线的垂直平分线，即一对对称点到对称轴的距离相等，所以只要过一个点向对称轴画垂线并截取相等的垂线段便可以得到它的对称点．
学生活动2：
学生小组合作交流．
学生可小组合作交流，自主探究，得出结论
教师巡视，听取学生的看法、见解，随时参与讨论.
活动意图说明：引导学生建立模型，鼓励学生大胆探索，按要求作出简单平面图形经过一次对称后的图形.能够按要求画简单平面图形经过一次对称后的图形.积累解题经验，提高灵活地运用所学知识解决问题的能力.
环节三：例题讲解
教师活动3：
例 如图，已知△ABC和直线l，作出△ABC关于直线l 对称的图形.
作法：(1) 分别作出点A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1；
(2)连结A1B1、B1C1、C1A1.
如图，△A1B1C1就是所要求作的△ABC关于直线l对称的三角形.
强调：如果图形是由直线、线段或射线组成时，那么只要画出图形中的特殊点(如线段的端点、角的顶点等)的对称点，然后连结对称点，就可以画出关于这条直线的对称图形.
总结：画轴对称图形的方法步骤：
(1)找出已知图形中的特殊点 (如线段的端点、角的顶点、折线的拐点等)；
(2)作出特殊点关于对称轴的对称点；
(3)依次连结各对称点，得到的图形就是所要求作的图形．
学生活动3：
学生观察并回答教师规范解答，教师出示练习题组，巩固例题，学生尝试练习师巡视，个别指导.
活动意图说明：
让学生在一定的数学活动中去体验、感受数学，观察轴对称图形，探索画轴对称图形的方法.让学生识别轴对称图形与画轴对称图形的对称轴．从而更好地理解知识，让学生的认知结构得到不断的完善．
板书设计
9.1.3 作轴对称图形
1.画出一点关于直线的对称图形.
2.画出三角形关于一条直线的对称图形.
例
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1．下列说法错误的是( )
A．成轴对称的两个图形一定在对称轴的同侧
B．轴对称图形的对应边相等，对应角相等
C．等腰三角形是轴对称图形
D．成轴对称的两个图形的对应点的连线被对称轴垂直平分
2．下列图形中，△A′B′C′与△ABC关于直线MN成轴对称的是( )
3．如图，正六边形ABCDEF与正六边形A′B′C′D′E′F′关于直线l对称下列判断错误的是( )
A．AB＝A′B′ B．BC∥B′C′ C．直线l⊥BB′ D．∠A′＝120°
选做题：
4．如图，已知直线AB和△DEF，作△DEF关于直线AB的对称图形，将作图步骤补充完整：
(1)分别过点D，E，F作直线AB的垂线，垂足分别是__________；
(2)分别延长DM，EP，FN至________，使MG＝______，PH＝________，NI＝________；
(3)顺次连结点______________，就得到△DEF关于直线AB的对称图形△GHI.
5.如图，方格图中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都是格点．
(1)画出△ABC关于直线BM对称的△A1B1C1；
(2)写出AA1的长度.
【综合拓展类作业】
6、在学习轴对称的时候，老师让同学们思考下面的问题．
如图 (1)，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气．当泵站修在管道的什么地方时，可使所用的输气管道最短？
你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？
小华通过思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．她把管道l看成一条直线(如图(2))，问题就转化为“要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小”．她的做法是这样的：
①作点B关于直线l的对称点B′；
②连结AB′交直线l于点P，则点P即为所求．
请你参考小华的做法解决下列问题：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，请你在BC边上确定一点P，使△PDE的周长最小，在图中作出点P(保留作图痕迹，不写作法)．
1.[答案] A
2.[答案] B
3.[解析] B 关于某条直线对称的图形，对应线段不一定平行．
4.[答案] (1)M，P，N (2)点G，H，I DM EP FN (3)G，H，I
5．解：(1)作图如下：
(2)由图直接读出AA1＝10.
6 解：如图，作点D关于BC的对称点D′，连结D′E，与BC交于点P，则点P即为所求．
作业设计
【知识技能类作业】
必做题：
1.作已知点关于某直线的对称点的第一步是( )
A.过已知点作一条直线与已知直线相交
B.过已知点作一条直线与已知直线垂直
C.过已知点作一条直线与已知直线平行
D.不确定
2.如图，在△ABC中，D为AB边上一点，将点A沿经过点D的直线DE翻折，点E在AC上，使得点A的对应点A'恰好落在AC边上，作出折痕DE.(不写作法，保留作图痕迹)


3.如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，已知△ABC的三个顶点都在格点上.
(1)画出△ABC关于直线DE的轴对称图形△A1B1C1；
(2)△A1B1C1的面积为 .

选做题：
4.按要求作图.(不写作法，保留作图痕迹)
(1)如图，请利用直尺和圆规作线段AB的垂直平分线CD；

(2)如图，请利用直尺和圆规作∠AOB的角平分线OC；

(3)如图，利用网格画出△ABC关于直线l的对称图形△A'B'C'.

【综合拓展类作业】
5.如图，∠ACB＝90°，O为△ABC内部的一点，连结OC.
(1)作线段OC关于直线AC、BC的对称线段，分别是MC、NC；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)试说明：M、C、N三点在同一条直线上.


1.B
2. 如图
3.(1)
(2)3.5
4.
(1)
(2)
(3)
5.(1)如图
(2)证明：∵CM,CO关于AC对称，
∴∠ACM = ∠ACO，
∵CN,CO关于CB对称，
∴∠NCB= ∠COB，
∵∠ACB =90，
∴∠ACO+ ∠OCB = 90°，
∴∠MCO +∠NCO=2∠ACO+2∠OCB=2(∠ACO+ ∠OCB) = 2×90° = 180°，
即∠MCN=180°，
∴M,C,N共线．
教学反思
本节课从欣赏、观察生活中的美丽图片引入如何去补全一个轴对称图形，通过前面所学的轴对称相关知识，总结归纳出画轴对称图形的一般步骤，并运用相关知识解决数学问题，从生活中体会数学知识的应用及对称的美感，提高学生的总结、归纳及欣赏美的能力，从而更加热爱生活，快乐进取．