2026年辽宁省抚顺市高考数学一模试卷（含解析）

这是一份2026年辽宁省抚顺市高考数学一模试卷（含解析），共8页。
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）.
1．已知集合，，，，则（ ）
A．，B．，C．，2，D．，1，2，
2．若，则（ ）
A．1B．C．D．2
3．若且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．设函数且，若，则与0的大小关系为（ ）
A．B．C．D．无法确定
5．当时，函数取得最大值，则的最小值是（ ）
A．B．1C．2D．3
6．已知菱形的边长为2，，点在线段上，点在线段上，，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．
7．已知直线与圆相交于、不同两点，劣弧所对的圆心角为，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知定义域为的偶函数满足，且在，上是单调递增函数，若函数，则下列结论正确的是（ ）
A．为偶函数
B．在，上是单调递增函数
C．（1）（3）
D．
二、选择题：共3小题，每小题6分，共18分.
（多选）9．（6分）用平行于大圆锥底面的平面截这个大圆锥，得到一个小圆锥和一个圆台．若大圆锥的高为9，小圆锥的侧面展开图是一个弧长为、圆心角为的扇形，则下列结论正确的是（ ）
A．小圆锥的高为1B．大圆锥的体积为
C．圆台的母线长为D．圆台的表面积为
（多选）10．（6分）在△中，角，，的对边分别为，，，△外接圆的半径为2，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．△面积的最大值为
D．若，角的平分线交于点，则
（多选）11．（6分）在平面直角坐标系中，直线，直线，曲线上的动点，到直线与的距离之积为定值1，、为曲线的左、右焦点，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线的方程为
B．
C．点到点的距离最小值为4
D．若为曲线在点处的切线，则直线平分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若根据样本数据，，，，，，得到的回归直线方程为，且，，则 ．
13．记为数列的前项和，若，则 ．
14．已知函数，若曲线在点，（1）处的切线与函数的图象无公共点，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）某科技兴趣小组研发了一种模型，用于图象识别任务．为了测试该模型的性能，对其进行了若干次试验，在每次试验中识别相同数目的图象，并记录该模型正确识别图象的数量，得到如图所示的样本数据频率分布直方图．
（1）求的值，并估计该模型在一次试验中正确识别图象数量的均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）以频率估计概率，在相同的条件下，随机对该模型进行4次试验，用表示这4次试验中正确识别图象不少于50个的次数，求的分布列和数学期望．
16．（15分）已知数列满足，，且对任意的正整数，当时，都有．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）设，求数列的前项和．
17．（15分）如图所示，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，为的中点，且，平面平面．
（1）求证；平面平面；
（2）设直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的余弦值．
18．（17分）已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）函数．
（ⅰ）当时，讨论函数在区间，上的零点个数；
（ⅱ）若不等式在，上恒成立，求实数的取值范围．
19．（17分）椭圆的焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，当时有．
（1）求的值及椭圆的标准方程；
（2）已知线段的中点为．
（ⅰ）求点的轨迹方程；
（ⅱ）若线段的垂直平分线与轴和轴分别交于，两点，为坐标原点，记△的面积为，△的面积为，求的取值范围．
参考答案
一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.
1．已知集合，，，，则（ ）
A．，B．，C．，2，D．，1，2，
解：因为，，1，，，，
所以，1，2，．
故选：．
2．若，则（ ）
A．1B．C．D．2
解：因为，
所以，
所以．
故选：．
3．若且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
解：对于，当时，由，得，故错误；
对于，当时，显然错误；
对于，因为，所以，故正确；
对于，若，，则，不满足，故错误．
故选：．
4．设函数且，若，则与0的大小关系为（ ）
A．B．C．D．无法确定
解：因为，且，所以，
所以在上单调递减，
因为（1），
所以．
故选：．
5．当时，函数取得最大值，则的最小值是（ ）
A．B．1C．2D．3
解：因为，
由题意得，即，
整理得，因为，令，则，
即的最小值为1．
故选：．
6．已知菱形的边长为2，，点在线段上，点在线段上，，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．
解：在边长为2的菱形中，由，得，
由点在线段上，，得，
由点在线段上，令，
则，
而，
因此
，
当且仅当时取等号，
所以的最大值为．
故选：．
7．已知直线与圆相交于、不同两点，劣弧所对的圆心角为，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
解：过圆心作，垂足为，
当时，，
圆的圆心为，半径，
可得，
直线过定点，且点在圆上，
若，则圆心到直线的距离，且，
所以，且，解得且，
所以实数的取值范围为．
故选：．
8．已知定义域为的偶函数满足，且在，上是单调递增函数，若函数，则下列结论正确的是（ ）
A．为偶函数
B．在，上是单调递增函数
C．（1）（3）
D．
解：因为定义域为的偶函数满足，
所以，两式相减可得：
，所以，
所以，所以周期为4，
又是定义域的偶函数，故，且在，单调递增，
因此（2），结合（2）得．
选项，
由得，代入上式得：
，
而，显然，故错误；
选项，时，，，，递增，
故在，递减；同时，，在，上单调递增，
因此，根据单调性运算性质可知递减函数，故错误；
选项（1）（1），（3）（3）（2）（1），
因此（1）（3），
已知，故（1）（3），故正确；
选项，故错误．
故选：．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）用平行于大圆锥底面的平面截这个大圆锥，得到一个小圆锥和一个圆台．若大圆锥的高为9，小圆锥的侧面展开图是一个弧长为、圆心角为的扇形，则下列结论正确的是（ ）
A．小圆锥的高为1B．大圆锥的体积为
C．圆台的母线长为D．圆台的表面积为
解：如图所示，作出圆锥的轴截面等腰△，则，
设小圆锥的半径，小圆锥的侧面展开图是一个弧长为，所以，
又因为侧面展开图是圆心角为的扇形，
所以，计算得，
可得，小圆锥的高为3，选项错误；
由△△，
可得，
所以，，
则，
即圆台的母线长为，选项正确；
所以大圆锥的体积为，选项正确；
圆台的表面积为，选项错误．
故选：．
（多选）10．（6分）在△中，角，，的对边分别为，，，△外接圆的半径为2，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．△面积的最大值为
D．若，角的平分线交于点，则
解：选项，，，
，又，即，
则，
又，，解得，故，故错误；
选项，，△外接圆的半径，，故正确；
选项，，即，
又，，得，当且仅当时，取等号，
，即△面积的最大值为，故正确；
选项，由结合，解得，，
由，即，
解得，故正确．
故选：．
（多选）11．（6分）在平面直角坐标系中，直线，直线，曲线上的动点，到直线与的距离之积为定值1，、为曲线的左、右焦点，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线的方程为
B．
C．点到点的距离最小值为4
D．若为曲线在点处的切线，则直线平分
解：对于选项，点到直线的距离为，到直线的距离为，
由题可得，，
又，故，曲线的方程为，故选项正确；
对于选项，由知曲线的方程为，，，
，即，故选项错误；
对于选项，要使得点到点的距离最小，则点要在双曲线的右支上，
，且，
，
当且仅当时，取等号，
点到点的距离最小值为4，故选项正确；
对于选项，设点，在双曲线上，满足，
则双曲线在点，处的切线的方程为，即，
点到切线的距离，
点到切线的距离，
又，
，
，
直线平分，故选项正确．
故选：．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若根据样本数据，，，，，，得到的回归直线方程为，且，，则 ．
解：根据题意可知，，
则，
则样本中心点为，将其代入到，
即，解得．
故答案为：．
13．记为数列的前项和，若，则 ．
解：因为，所以，，
即，，
则，
又，所以，故，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，故．
故答案为：．
14．已知函数，若曲线在点，（1）处的切线与函数的图象无公共点，则实数的取值范围为 ．
解：因为，所以，
且（1），（1），
所以在点，（1）处的切线方程为：，即．
又在点，（1）处的切线与函数的图象无公共点，
所以方程，即无解，
设，，则，
由；由，
所以在上单调递减，在上单调递增．
且，
所以，
所以．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）某科技兴趣小组研发了一种模型，用于图象识别任务．为了测试该模型的性能，对其进行了若干次试验，在每次试验中识别相同数目的图象，并记录该模型正确识别图象的数量，得到如图所示的样本数据频率分布直方图．
（1）求的值，并估计该模型在一次试验中正确识别图象数量的均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）以频率估计概率，在相同的条件下，随机对该模型进行4次试验，用表示这4次试验中正确识别图象不少于50个的次数，求的分布列和数学期望．
解：（1）由频率分布直方图可得，
则．
所以．
（2）以频率估计概率，正确识别图象不少于50个的概率为．
表示这4次试验中正确识别图象不少于50个的次数，则．
所以，，
，，
．
所以的分布列为：
所以．
16．（15分）已知数列满足，，且对任意的正整数，当时，都有．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）设，求数列的前项和．
【解答】证明：（1）已知数列满足，，
且对任意的正整数，当时，都有，
令，
当时，，
，
所以，
且，则，
所以数列是首项为2，公差为2的等差数列；
解：（2）根据（1）由等差数列的通项公式可得，
所以，
则，
所以数列的前项和：
．
17．（15分）如图所示，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，为的中点，且，平面平面．
（1）求证；平面平面；
（2）设直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的余弦值．
解：（1）证明：连接，如图所示：
因为是的中点，所以，，
则四边形是菱形，所以，
面面，面面，
又，为的中点，则，
面，所以面，面，所以，
因为面，面，，所以面，
又因为面，故面面；
（2）建立空间直角坐标系，如图所示：
，，则，设，
，
，，，
设平面的一个法向量，
则，令，则，
则，所以，即，
同理可得平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则．
所以直线与平面所成角的余弦值为．
18．（17分）已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）函数．
（ⅰ）当时，讨论函数在区间，上的零点个数；
（ⅱ）若不等式在，上恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）当时，，
则，，
令，则，
所以在上单调递减，又（1），
所以当时，，当时，，
即当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；
（2）（ⅰ）由题可得，
令，则，
当时，在，上恒成立，所以在，上单调递减，
又（1），，
当时，（e），此时函数在，上有且仅有一个零点；
当时，（e），此时函数在，上无零点；
当，时，可化为，
即，令，，
设函数，，，
则，
当，即时，在，上，函数单调递减，
故（1），即，
所以函数在区间，上单调递减，
故存在，，使得（1），不合题意；
当，即时，函数在，上单调递增，
所以（1），即且不恒为零，
所以函数在，上单调递增，所以（1），
即不等式在，上恒成立；
综上，实数的取值范围为，．
19．（17分）椭圆的焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，当时有．
（1）求的值及椭圆的标准方程；
（2）已知线段的中点为．
（ⅰ）求点的轨迹方程；
（ⅱ）若线段的垂直平分线与轴和轴分别交于，两点，为坐标原点，记△的面积为，△的面积为，求的取值范围．
解：（1）由，，得，，
由椭圆定义得，，在△，△中，，
由余弦定理得，
即，解得，则，
所以，椭圆的标准方程为．
（2）（ⅰ）设线段的中点，，当直线不垂直于轴时，设其方程为，
由，得，则，，
则，，整理得，
当直线轴时，满足方程，
所以点的轨迹方程为．
（ⅱ）依题意，直线不垂直于坐标轴，由（ⅰ）知点，
直线的方程为，即，
则，，
，，
，因此
，令，函数在上单调递增，值域为，
则，所以的取值范围是．
0
1
2
3
4