2025-2026学年陕西省西安八十五中高二（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年陕西省西安八十五中高二（下）第一次月考数学试卷（含解析），共18页。
1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员管理；
2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；
3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、单选题（每小题5分，共30分）
1．已知集合，，则（ ）
A．，B．C．，1，D．
2．若，则（ ）
A．B．C．D．
3．在的展开式中，的系数为（ ）
A．B．C．126D．63
4．已知随机变量的分布列为，2，3，，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．已知随机变量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．离散型随机变量的分布列如下：
若，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（每小题5分，共15分，全部选对的得5分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
（多选）7．下列函数是奇函数且在上单调递减的是
A．B．C．D．
（多选）8．在下列关于二项式的命题中，正确的是
A．若二项式的展开式中，第3项的二项式系数最大，则
B．若，则
C．在的展开式中，常数项为60
D．的展开式中，的系数为5
（多选）9．甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则
A．B．C．D．
三、填空题（每小题5分，共15分）
10．某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
11．函数在，上的最大值是 ．
12．给如图所示的圆环涂色，将圆环平均分成，，，四个区域，现有红，黄、蓝、绿四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域的颜色不同，则不同的涂色方法有 种．
四、解答题（本题共4小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13．（10分）已知平面向量，且．
（1）求的值；
（2）求向量与夹角的余弦值．
14．（10分）如图，在四棱锥中，底面，，．
（1）求证：平面；
（2）若，，，求四棱锥的体积．
15．（10分）会员足够多的某知名咖啡店，男会员占，女会员占．现对会员进行服务质量满意度调查．根据调查结果得知，男会员对服务质量满意的概率为，女会员对服务质量满意的概率为．
（1）随机选取一名会员，求其对服务质量满意的概率；
（2）从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量满意的人数为，求的分布列和数学期望．
16．（10分）某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间（单位：小时），从这批次电池中随机抽取50组进行测试，把测得数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．
（1）求的值；
（2）从抽取的50组电池中任取2组，求恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率；
（3）将样本分布的频率视为总体分布的概率，从该批次电池组中任取2组，设为续航时间不少于35小时的电池组的数量，求的分布列及数学期望．
参考答案
一、单选题（每小题5分，共30分）
1．已知集合，，则（ ）
A．，B．C．，1，D．
解：集合，
集合，1，，
由交集定义得，1，．
故选：．
2．若，则（ ）
A．B．C．D．
解：由于，
则，即，
可得．
故选：．
3．在的展开式中，的系数为（ ）
A．B．C．126D．63
解：展开式的通项公式为，，1，，
令，则，
因此的系数为．
故选：．
4．已知随机变量的分布列为，2，3，，则等于（ ）
A．B．C．D．
解：依题意，
解得．
所以．
故选：．
5．已知随机变量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解：已知随机变量，则该正态分布曲线的对称轴为，
若，则，则充分性成立，
又，则，则必要性成立，
则“”是“”的充要条件．
故选：．
6．离散型随机变量的分布列如下：
若，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
解：由分布列的性质可得，则，故正确；
，则，故正确；
，正确；
由，则，联立，
所以，，则，故错误．
故选：．
二、多选题（每小题5分，共15分，全部选对的得5分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
（多选）7．下列函数是奇函数且在上单调递减的是
A．B．C．D．
解：，，是奇函数，非奇非偶函数，在单调递减，在单调递增，在上单调递减，在单调递减，
故既是奇函数，又在单调递减的函数有和，
故选：．
（多选）8．在下列关于二项式的命题中，正确的是
A．若二项式的展开式中，第3项的二项式系数最大，则
B．若，则
C．在的展开式中，常数项为60
D．的展开式中，的系数为5
解：对于，由二项式的系数的性质可知最中间项的二项式系数最大，
当为奇数时，中间项有二项，又第3项的二项式系数最大，
所以可能第二项与第三项二项式系数相同都最大或第三项与第四项二项式系数相同都最大或，
此时或，解得或，
当为偶数时，最中间项只有一项，又第3项的二项式系数最大，故共为5项，
所以，解得，故错误；
对于，令，可得，
令，可得，所以，故正确；
对于，二项式的展开式的通项公式为，
令，解得，所以第5项为常数项且常数项为，故正确；
对于，展开式中的系数为，故正确．
故选：．
（多选）9．甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则
A．B．C．D．
解：根据题意，依次分析选项：
对于，甲箱中有3个红球和2个白球，则，正确；
对于，，，，
（B），正确；
对于，，错误；
对于，，正确．
故选：．
三、填空题（每小题5分，共15分）
10．某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 64 种（用数字作答）．
解：若选2门，则只能各选1门，有种，
如选3门，则分体育类选修课选2，艺术类选修课选1，或体育类选修课选1，艺术类选修课选2，
则有，
综上共有种不同的方案．
故答案为：64．
11．函数在，上的最大值是 2 ．
解：因为，，，
当时，即时，．
故答案为：2．
12．给如图所示的圆环涂色，将圆环平均分成，，，四个区域，现有红，黄、蓝、绿四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域的颜色不同，则不同的涂色方法有 84 种．
解：由题意可知：四个区域最少涂两种颜色，最多涂四种颜色，所以分以下三类：
当涂两种颜色时：和相同，和相同，
共有种涂色方法；
当涂三种颜色时：分和相同和，不同两种情况，
此时共有种涂色方法；
当涂四种颜色时：四个区域各涂一种，
此时共有种涂色方法，
综上，不同的涂色方法有种．
故答案为：84．
四、解答题（本题共4小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13．（10分）已知平面向量，且．
（1）求的值；
（2）求向量与夹角的余弦值．
解：（1）已知平面向量，
且，
展开整理可得，
则，
解得，
则；
（2）因为，
又，
所以根据两向量的夹角公式可得．
14．（10分）如图，在四棱锥中，底面，，．
（1）求证：平面；
（2）若，，，求四棱锥的体积．
解：（1）证明：面，面，故，
，，面，面，
故可以证得面；
（2）设底面的面积为，
则，
，
所以四棱锥的体积为10．
15．（10分）会员足够多的某知名咖啡店，男会员占，女会员占．现对会员进行服务质量满意度调查．根据调查结果得知，男会员对服务质量满意的概率为，女会员对服务质量满意的概率为．
（1）随机选取一名会员，求其对服务质量满意的概率；
（2）从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量满意的人数为，求的分布列和数学期望．
解：（1）记事件：会员为男会员，：会员为女会员，事件：对服务质量满意，
则由题可知，，，，，
所以；
（2）可能的取值为0，1，2，3，
则，，，，
所以的分布列为：
所以．
16．（10分）某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间（单位：小时），从这批次电池中随机抽取50组进行测试，把测得数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．
（1）求的值；
（2）从抽取的50组电池中任取2组，求恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率；
（3）将样本分布的频率视为总体分布的概率，从该批次电池组中任取2组，设为续航时间不少于35小时的电池组的数量，求的分布列及数学期望．
解：（1）由频率分布直方图可得，解得．
（2）由频率分布图可知，电池续航时间不少于35小时的频率等于，
所以电池续航时间不少于35小时的电池有组，
电池续航时间少于35小时的电池有组，
所以从抽取的50组电池中任取2组，恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率为．
（3）由（2）知，每次抽到电池续航时间不少于35小时的概率等于，
由题可知，，
所以所有可能的取值有0，1，2，
所以，
，
，
所以的分布列如下，
所以的数学期望为．
1
2
3
4
0.3
0.2
1
2
3
4
0.3
0.2
0
1
2
3
0
1
2