2024-2025学年陕西省西安八十五中高一（下）第一次月考数学试卷（3月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年陕西省西安八十五中高一（下）第一次月考数学试卷（3月份）（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量a=(−1,2),b=(1,−2λ)，若a/​/(a−b)，则实数λ的值为( )
A. 1B. 0C. 43D. −23
2.已知向量a和b的夹角为60°，|a|=3，|b|=4，则(2a−b)⋅a等于( )
A. 15B. 12C. 6D. 3
3.设向量a=(x,1)，b=(1,− 3)，且a⊥b，则向量a− 3b与b的夹角为( )
A. π6B. π3C. 5π6D. 2π3
4.已知|a|= 2，且a⋅b=−2，则向量b在向量a上的投影向量为( )
A. 12aB. 12bC. −aD. −b
5.满足条件a=4,b=3 2,A=45°的三角形的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 无数个D. 不存在
6.已知△ABC中，(BA+BC)⋅AC=0，|AB|AB|+AC|AC||= 3，则此三角形为( )
A. 直角三角形B. 等边三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
7.下列说法不正确的是( )
A. 若a≠0,b≠0,a//b，则a与b的方向相同或者相反
B. 若a，b为非零向量，且a|a|=b|b|，则a与b共线
C. 若a//b，则存在唯一的实数λ使得a=λb
D. 若e1,e2是两个单位向量，且|e1−e2|=1，则|e1+e2|= 2
8.如图，在长方形ABCD中，AB=6，AD=4，点P满足DP=λDC，其中λ∈[0,23]，则|PA+PB|的取值可以是( )
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
9.如图，在△ABC中，BD=λBC，其中λ∈[0,1],B=π6,AB=4,BC=5，则( )
A. 当λ=23时，AD=23AC+13AB
B. 当AB⋅BD=−2 3时，λ=15
C. 当λ=1时，△ABD的面积最大
D. 当λ=35时，AD⊥BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
10.已知a⊥b，|a|=2，|b|=3，且3a+2b与λa−b垂直，则λ等于______．
11.已知向量a=(1,0),b=(0,1).若向量ka+b与a+2b的夹角为锐角，则实数k的取值范围为______．
12.正方形ABCD的面积为16，AM=MB，点N在线段CD上.若AM⋅AN=43|AM|2，则|AN|= ______．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题12分)
如图所示，已知△AOB中，点C与点B关于点A对称，OD=2DB，DC和OA交于点E，设OA=a，OB=b．
(1)用a和b表示向量OC，DC；
(2)若OE=λOA，求实数λ的值．
14.(本小题12分)
如图，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且CFCB=23.设AB=a,AD=b．
(Ⅰ)试用基底{a,b}，表示AE,EF；
(Ⅱ)若G为长方形ABCD内部一点，且AG=34a+23b.求证：E，G，F三点共线．
15.(本小题12分)
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且2b=c+2acsC．
(1)求A；
(2)若△ABC的面积为4 33，a=3，求△ABC的周长．
16.(本小题12分)
已知向量a=(cs3x2,sin3x2),b=(csx2,−sinx2),x∈[0,π2]
(1)用含x的式子表示a⋅b及|a+b|；
(2)求函数f(x)=a⋅b−4|a+b|的值域；
(3)设g(x)=a⋅b+t|a+b|，若关于x的方程g(x)+2=0有两个不同的实数解，求实数t的取值范围．
参考答案
1.A
2.B
3.C
4.C
5.B
6.B
7.CD
8.ABC
9.ABC
10.32
11.{k|k>−2，且k≠12}
12.4 133
13.解：(1)∵点C与点B关于点A对称，
∴点A是线段BC的中点，
∴OA=12(OB+OC)，
即a=12(b+OC)，
解得OC=2a−b．
DC=DO+OC=−23OB+OC
=−23b+2a−b=2a−53b．
(2)∵C，E，D三点共线，
∴存在实数m使得
OE=mOC+(1−m)OD
=m(2a−b)+(1−m)⋅23b
=2ma+2−5m3b．
又OE=λOA=λa，
∴2m=λ2−5m3=0,
解得λ=45．
14.解：(Ⅰ)由题，AE=AD+DE=AD+12DC=AD+12AB=b+12a，
EF=EC+CF=12AB+23CB=12AB−23AD=12a−23b．
(Ⅱ)AF=AB+BF=AB+13AD=a+13b，
AG=34a+23b=12(b+12a)+12(a+13b)=12AE+12AF，
∵12+12=1，
∴E，G，F三点共线．
15.解：(1)在△ABC中，2b=c+2acsC，由正弦定理得：2sinB=sinC+2sinAcsC，
而sinB=sin(π−A−C)=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC，
于是2sinAcsC+2csAsinC=sinC+2sinAcsC，即sinC=2csAsinC，
又C为三角形内角，有sinC≠0，解得csA=12，A∈(0,π)，
所以A=π3．
(2)依题意，S△ABC=12bcsinA=12bc⋅ 32=4 33，于是bc=163，
由余弦定理得，a2=b2+c2−2bccsA=(b+c)2−2bc−2bccsA，
即9=(b+c)2−3×163，解得b+c=5，
所以△ABC的周长为a+b+c=8．
16.