2024-2025学年陕西省西安八十三中高二（下）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年陕西省西安八十三中高二（下）第一次月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数y=3x−x3的极大值点是( )
A. (1,2)B. 1C. 2D. −1
2.设函数f(x)=sin(2x+2π3)，则曲线y=f(x)在(0, 32)处的切线方程为( )
A. 2x+2y+ 3=0B. x+2y− 3=0
C. x+2y+ 3=0D. 2x+2y− 3=0
3.回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为：“回文数”.如55，696，3773等，那么用数字1，2，3，4，5，6，7，8可以组成4位“回文数”的个数为( )
A. 36个B. 56个C. 64个D. 84个
4.已知函数f(x)=lnx2−x+ax在定义域上单调递增，则实数a的取值范围为( )
A. (−∞,−2)B. (−∞,−2]C. (−2,+∞)D. [−2,+∞)
5.当x≠0时，设函数f(x)存在导数f′(x)，且满足f(x)+xf′(x)=ex，若f(1)=0，则f(−1)=( )
A. 1e−eB. −1eC. 0D. e−1e
6.已知函数f(x)=(x+1)ex，f(x)=k有2个实数解，则k的取值范围是( )
A. (−∞,−1e2)B. (−1e2,0)C. (−1e2,+∞)D. (0,+∞)
7.若直线l与函数f(x)=ex−2(x>1)和g(x)=lnx的图象分别相切于点A，B，则|AB|=( )
A. 2B. 2 2C. 2D. 2 3
8.已知函数f(x)=ex+x，g(x)=lnx+x，若f(x1)=g(x2)，则x1x2的最小值为( )
A. −eB. −1eC. −1D. − e2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=2x3−6x+1，则( )
A. g(x)=f(x)−1为奇函数
B. f(x)的单调递增区间为(−1,1)
C. f(x)的极小值为−3
D. 若关于x的方程f(x)−m=0恰有3个不等的实根，则m的取值范围为(−3,5)
10.给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)=(f′(x))′.若f″(x)≥0在D上恒成立，则称f(x)在D上是“下凸函数”.下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是( )
A. f(x)=x2−4x+3B. g(x)=lg12x
C. ℎ(x)=x2+2csxD. φ(x)=x2lnx
11.已知f(x)=x−x2π−sinx，则下列说法正确的有( )
A. f(x)的零点个数为4B. f(x)的极值点个数为3
C. 若f(x1)=f(x2)，则x1+x2=πD. x轴为曲线y=f(x)的切线
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
12.函数y=12x2−lnx的单调递减区间为______．
13.乙巳蛇年，古城榆林燃动全国秧歌热潮，国内外共39支队伍汇聚榆林，舞动非遗年味.现有4名国际友人，每人从俄罗斯、保加利亚、榆林市直教育系统的三支秧歌队中选择观看一支，则不同的观看方式有______.(用数字作答)
14.在边长为8×5cm的长方形铁片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的长方体箱子，则箱子容积的最大值为______cm3．
15.已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知函数f(x)=13x3+ax2+bx(a,b∈R)在x=−3处取得极大值为9．
(1)求a，b的值；
(2)求函数f(x)在区间[−3,3]上的最大值．
17.(本小题14分)
已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N∗)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4−2a1，S11=11b4．
(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式；
(Ⅱ)求数列{a2nbn}的前n项和(n∈N∗).
18.(本小题14分)
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)=k3x+5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式．
(Ⅱ)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
19.(本小题16分)
在四棱锥P−ABCD中，点E是棱PA上一点，BE⊥PD，PA=PB=PD，AB=AD=12CD=2，∠DAB=60°．
(1)证明：PD⊥平面PAB；
(2)若CD//AB，求二面角A−PD−C的正弦值．
20.(本小题16分)
已知函数f(x)=alnx+1x，其中a∈R．
(1)若函数f(x)的最小值为a2，求a的值；
(2)若存在0