2024-2025学年陕西省榆林市绥德一中高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年陕西省榆林市绥德一中高一（下）期中数学试卷（含解析），共2页。
1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员管理；
2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；
3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）.
1．设，则在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．复数，则的虚部是（ ）
A．1B．C．D．
3．已知向量，，且，那么的值是（ ）
A．B．3C．D．
4．已知平面向量，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，在△所在平面内，且，且，则点，，依次是△的（ ）
A．重心 外心 垂心B．重心 外心 内心
C．外心 重心 垂心D．外心 重心 内心
6．在△中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则角的大小是（ ）
A．B．C．D．或
7．在△中，是上一点，满足，是的中点，若，则（ ）
A．B．1C．D．
8．如图，在△中，，，，，边上的两条中线，交于点，则（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
（多选）9．（6分）下列结论中正确的为（ ）
A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B．向量与向量的长度相等
C．对任意向量是一个单位向量
D．零向量没有方向
（多选）10．（6分）在中，，，则边的长可能为
A．2B．3C．4D．5
（多选）11．（6分）已知△的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是
A．若，则
B．若，则△为锐角三角形
C．若，则△为等腰三角形
D．若，，的三角形有两解，则的取值范围为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知，，且，则 ．
13．在△中，、、所对的边分别为、、，若，，，则△的面积等于 ．
14．如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一水平面内的两个观测点与，现测得，米，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度为 ．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．平面内给定两个向量，．
（1）求的坐标；
（2）求以及．
16．设，，，为平面内的四点，且，，．
（1）若，求点的坐标；
（2）设向量，若与平行，求实数的值．
17．已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且，，三点共线．
（1）求实数的值；
（2）若，，求的坐标．
18．在△中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的值；
（3）若，判断△的形状．
19．已知向量，定义函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）在中，若（C），且，是的边上的高，求长的最大值．
参考答案
一、选择题：共8个小题，每小题5分，共40分.
1．设，则在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
解：由，得，
则在复平面内对应点为，在第一象限．
故选：．
2．复数，则的虚部是（ ）
A．1B．C．D．
解：复数，则的虚部为．
故选：．
3．已知向量，，且，那么的值是（ ）
A．B．3C．D．
解：向量，，且，
，
解得．
故选：．
4．已知平面向量，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
解：因为，则，
所以在上的投影向量为．
故选：．
5．已知，，在△所在平面内，且，且，则点，，依次是△的（ ）
A．重心 外心 垂心B．重心 外心 内心
C．外心 重心 垂心D．外心 重心 内心
解：，到三角形三个顶点的距离相等，
是三角形的外心，
根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有，两个选项，
只要判断第三个条件可以得到三角形的内心或垂心就可以，
，，，，
同理得到另外两个向量都与边垂直，
得到是三角形的垂心，
故选：．
6．在△中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则角的大小是（ ）
A．B．C．D．或
解：因为△中，，，
所以由正弦定理，可得，
根据，可得，为锐角，所以．
故选：．
7．在△中，是上一点，满足，是的中点，若，则（ ）
A．B．1C．D．
解：，是的中点，
则，，
所以有，
，
所以，得．
故选：．
8．如图，在△中，，，，，边上的两条中线，交于点，则（ ）
A．B．C．D．
解：因为，，，建立如图所示的坐标系，
则有：，，，
因为，分别为，中点，
所以，，，
所以，，，
所以，．
故选：．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
（多选）9．（6分）下列结论中正确的为（ ）
A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B．向量与向量的长度相等
C．对任意向量是一个单位向量
D．零向量没有方向
解：对于，因为单位向量的方向不一定相同，所以两个有共同起点的单位向量，其终点也不一定相同，选项错误；
对于，向量、的方向相反、模长相同，即长度相等，选项正确；
对于，对于任意非零向量，表示与同向的单位向量，选项正确；
对于，根据零向量的定义知，零向量的方向是任意的，选项错误．
故选：．
（多选）10．（6分）在中，，，则边的长可能为
A．2B．3C．4D．5
解：，，
由余弦定理得：，
即，解得：或；经检验，均满足题意．
故选：．
（多选）11．（6分）已知△的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是
A．若，则
B．若，则△为锐角三角形
C．若，则△为等腰三角形
D．若，，的三角形有两解，则的取值范围为
解：选项，根据题意可知，，根据正弦定理可得，所以，故选项正确；
选项，根据余弦定理，可知为锐角，
但是无法判断角和角为锐角，所以无法判断△为锐角三角形，故选项错误；
选项，因为，所以，即，
又，，所以，，所以或，
即或，即△为等腰三角形或直角三角形，故选项错误；
选项，因为三角形有两解，所以，即，即的取值范围为，故选项正确．
故选：．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知，，且，则 3 ．
解：，，且，
所以，
解得．
故答案为：3．
13．在△中，、、所对的边分别为、、，若，，，则△的面积等于 ．
解：△中，，，，
所以．
即△的面积为．
故答案为：．
14．如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一水平面内的两个观测点与，现测得，米，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度为 100米 ．
解：设米，由题意得，，
而，，
则，，
所以，
在△中，，，
由余弦定理得
，解得（负值舍去），
所以铁塔的高度为100米．
故答案为：100米．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．平面内给定两个向量，．
（1）求的坐标；
（2）求以及．
解：（1）由题可得：，
．
（2）由题可得：，，，，
所以，．
16．设，，，为平面内的四点，且，，．
（1）若，求点的坐标；
（2）设向量，若与平行，求实数的值．
解：（1）令，，，，
又，则，，，
所以，则，故；
（2）由向量，
可得：，，
又与平行，则，可得，即．
17．已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且，，三点共线．
（1）求实数的值；
（2）若，，求的坐标．
解：（1），，
．
，，三点共线，
存在，使得，
，
．
．
是平面内两个不共线的非零向量，
，
，
实数的值为：．
（2），，，
．
，，
，，，．
的坐标为：．
18．在△中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的值；
（3）若，判断△的形状．
解：（1）因为，所以，
由余弦定理得，，
又，
所以．
（2）因为，，
所以，
所以．
（3）由及，得，即，
由（1）知，
所以△为等边三角形．
19．已知向量，定义函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）在中，若（C），且，是的边上的高，求长的最大值．
解：（1）向量，，，且，
，
函数的最小正周期；
（2）由（1）得，
（C），且，则，
在中，，则，，
，解得，
又，
，
在中，，当且仅当时等号成立，
长的最大值为．