2024-2025学年陕西省榆林市绥德中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年陕西省榆林市绥德中学高二（下）期中数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合M={x|−43.841，
∴有95%的把握认为实验鼠是否发病与疫苗有关．
(2)由(1)的列联表可知，接种疫苗且发病的实验鼠的只数占样本总数的频率为40400=110，
从而在抽取的实验鼠中接种疫苗且发病的概率为0.1，
∵X～B(3,0.1)，
∴随机变量X的期望为E(X)=3×0.1=0.3．
16.(1)证明：由已知得，b1=a2=2a1=2，所以b1+4=6，
由bn=a2n，知bn+1=a2n+2=2a2n+1=2(a2n+2)=2bn+4，
所以bn+1+4=2(bn+4)，
故数列{bn+4}是首项为6，公比为2的等比数列．
(2)解：由(1)可得，bn=3×2n−4，即a2n=3×2n−4，
记Tn=b1+b2+⋯+bn=3(2+22+⋯+2n)−4n=3×2n+1−4n−6，
又a2n=2a2n−1，所以a2n−1=12a2n，
故S2n=a1+a2+…+a2n−1+a2n=12a2+a2+12a4+a4+…+12a2n+a2n=32(a2+a4+…+a2n)=32Tn=9×2n−6n−9．
17.解：(1)证明：连接OB，在△PAD中，PA=PD，且O为AD的中点，
∴PO⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD，
∵BC⊂平面ABCD，∴PO⊥BC，
∵DC//AB，DC⊥AD，∴AB⊥AD，
在Rt△OAB中，OB2=OA2+AB2=OA2+4DC2，
在Rt△OCD中，OC2=OD2+DC2=OA2+DC2，
∵BC= 3CD，∴OB2=OC2+BC2，∴BC⊥OC，
∵PO∩OC=O，PO，OC⊂平面POC，∴BC⊥平面POC，
∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面POC．
(2)如图，以O为坐标原点，OA，OP年在直线分别为x轴，y轴，过O且垂直于AD的直线为y轴，建立空间直角坐标系，
设DC=2，则PO=AB=4，BC=2 3，由题意得AD=2 2，
则A( 2,0,0)，B( 2,4,0)，C(− 2,2,0)，P(0,0,4)，
∴AB=(0,4,0)，CB=(2 2,2,0)，PB=( 2,4,−4)，
设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AB=4y=0n⋅PB= 2x+4y−4z=0，取x=4，得m=(4,0, 2)，
设平面PCB的一个法向量为m=(a,b,c)，
则m⋅CB=2 2a+2b=0m⋅PB= 2a+4b−4c=0，取a=2 2，得m=(2 2,−4,−3)，
设平面PAB与平面PCB的夹角为θ，
∴|csθ|=|cs|=|n⋅m||n|⋅|m|=|8 2−3 2| 18⋅ 33=5 3399，
由图可知，θ为锐角，
∴平面PAB与平面PCB所成角的余弦值为5 3399．
18.解：(Ⅰ)由题意可得直线l的方程为x=− 22y+4，M(x1,y1)，y1>0，
由抛物线的方程y2=2px，可得焦点F(p2,0)，准线方程为x=−p2，
则y12=2px1x1=− 22y1+4x1+p2=3，可得y12=2[6−2(− 22y1+4)](− 22y1+4)，即3y12−10 2y1+16=0，y1>0，
可得y1=43 2，p=23或y1=2 2，p=2，
所以抛物线的方程为：y2=43x或y2=4x；
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得p>1时，抛物线的方程为：y2=4x，
由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为x=my+4，M(x1,y1)，y1>0，N(x2,y2)，P(x3,y3)，Q(x4,y4)，
联立x=my+4y2=4x，整理可得：y2−4my−16=0，可得y1+y2=4m，x1+x2=m(y1+y2)+8=4m2+8，
所以MN的中点的坐标(2m2+4,2m)，
所以MN的中垂线的方程为x=−1m(y−2m)+2m2+4，
联立x=−1m(y−2m)+2m2+4y2=4x，整理可得：y2+4my−8m2−24=0，
y3+y4=−4m，y3y4=−8m2−24，
于是可得|PQ|= 1+1m2⋅|y1−y2|=4 2m2+8+7m2+1m4，
令t=1m2，并记f(t)=2t+8+7t+1t2,(t>0)，
求得导函数f′(t)=2−7t2−2t3，
解得导函数零点为t=2，而导函数在(0,+∞)上单调递增，
因此导函数在(0,2)上恒为负，在(2,+∞)上恒为正，
可知原函数在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，
因此f(t)min=f(2)=634，
因此|PQ|min=6 7．
19.解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，
f′(x)=ax+14−3a2x2=x2+4ax−12a24x2=(x−2a)(x+6a)4x2，
①当a>0时，由f′(x)>0得x>2a，即f(x)的单调递增区间是(2a,+∞)；
由f′(x)