陕西省榆林市绥德中学2024-2025学年高一下学期第二次阶段性考试 数学试卷（含解析）

这是一份陕西省榆林市绥德中学2024-2025学年高一下学期第二次阶段性考试 数学试卷（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．以下说法错误的是（ ）
A．平行向量方向相同B．零向量与单位向量的模不相等
C．零向量与任一非零向量平行D．平行向量一定是共线向量
2．下列说法正确的是
A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形
C．梯形一定是平面图形D．共点的三条直线确定一个平面
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知△ABC的重心为O，则向量（ ）
A．B．C．D．
5．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为（ ）．
A．一个球体
B．一个球体中间挖去一个圆柱
C．一个圆柱
D．一个球体中间挖去一个长方体
6．在中，是角分别所对的边，，则一定是（ ）
A．底边和腰不相等的等腰三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等边三角形
7．如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
8．在中，角，，所对应的边分别为，若，，则面积的最大值为
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列在解三角形的过程中，只能有1个解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
10．已知向量，，则（ ）
A．B．向量在向量上的投影向量为
C．与的夹角余弦值为D．若，则
11．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有△满足，且，请判断下列命题正确的是（ ）
A．△周长为B．
C．△的外接圆半径为D．△中线的长为
三、填空题
12．已知复数（i是虚数单位），则 .
13．是钝角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则最大边c的取值范围是____________．
14．已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为3．则其外接球的体积为 .
四、解答题
15．已知向量，，与的夹角为
（1）求的值；
（2）求的值．
16．图形由矩形和扇形组合而成（如图所示），，.求将该图形沿旋转一周后所形成的几何体的表面积和体积.
17．设△的角，，的对边分别为，，，满足．
（1）求B的大小；
（2）当B为锐角且时，求△周长的取值范围．
18．如图，在中，已知为边上的中点，点在线段上，且；
（1）求线段的长度，
（2）设与相交于点，求的余弦值.
19．已知函数，其中．
（1）求使得的取值范围；
（2）为锐角三角形，O为其外心，，令，求实数t的取值范围．
参考答案
1．【答案】A
【详解】A：平行向量的方向可能相同，也可能相反，错误；
B：零向量的模长为0，单位向量模长为1，模不相等，正确；
C：由零向量的性质，零向量与任一非零向量平行，正确；
D：平行向量的定义知：平行向量一定是共线向量，正确.
故选A
2．【答案】C
【详解】对于A，由公理3知，不共线的三点确定一个平面，故A不正确；
对于B，四边形有平面四边形和空间四边形，由不共面的四个点构成的四边形为空间四边形，故B不正确；
对于C，再同一个平面内，只有一组对边平行的四边形为梯形，故C正确；
对于D，当三条直线交于一点时，三条直线有可能不共面，故D不正确.
故选C.
3．【答案】B
【详解】，
.
故选B.
4．【答案】C
【详解】设分别是的中点，
由于是三角形的重心，
所以.
故选C.
5．【答案】B
【详解】中间轴是圆的直径所在直线，且是中间矩形的对称轴，绕它旋转一周，中间矩形形成圆柱，圆形成球，所以几何体是一个球体中间挖去一个圆柱．
故选B．
6．【答案】D
【详解】因为，
所以，由余弦定理有，
整理得，即，为等腰三角形，
又，所以为等边三角形.
故选D
7．【答案】C
【详解】由斜二测画法可知，的实物图如下图所示：
可知，，且，因此，的面积为.
故选C.
8．【答案】A
【详解】由正弦定理得：
由余弦定理得：，即

当且仅当，，时取等号，
,
则，所以面积的最大值1. 故选.
9．【答案】BCD
【详解】解：根据题意，在A条件下，因为，所以角B在和上各有一个解，并且这两个解与角A的和都小于，所以A不满足；在B条件下，，，，根据余弦定理可得，即，解得或（舍），所以只有1个解，满足题意；在C条件下，条件为边角边，所以有唯一解；在D条件下，，因为，所以角A在和上各有一个解，当解在时，角B与角A的和大于，所以只有1个解，满足题意，
故选BCD．
10．【答案】BCD
【详解】对于A选项，，，所以，与不共线，A选项错误；
对于B选项，设向量在向量上的投影向量为，
则，即，解得，
故向量在向量上的投影向量为，B选项正确；
对于C选项，，，C选项正确；
对于D选项，若，则，所以，，D选项正确.
故选BCD.
11．【答案】BC
【详解】由题设及正弦定理知：，令且，
，可得，
所以，则△周长为，A错误；
，又，则，B正确；
△的外接圆半径为，C正确；
如下图，过作，由题设知：，则，
又，可得，故，
所以，D错误.
故选BC
12．【答案】
【详解】则
13．【答案】
【详解】因为是钝角三角形，最大边为，所以角为钝角，
在中，由余弦定理可得：
，可得，
又因为，所以，
所以最大边的取值范围是：.
14．【答案】
【详解】如图所示：

设球心为，所在圆面的圆心为，则平面；因为，，所以是等腰直角三角形，所以是中点；所以当三棱锥体积最大时，为射线与球的交点，所以；因为，设球的半径为，所以，所以，解得：，所以球的体积为：.
15．【答案】（1）2；
（2）.
【详解】（1）因向量，，与的夹角为，
所以.
（2）由（1）知，，则，
所以.
16．【答案】表面积，体积.
【详解】由题意知，该几何体是由一个圆柱和半球拼接而成的组合体，其中圆柱和半球的底面半径均为，圆柱的高为.
圆柱的底面积，圆柱的侧面积，
半球面的表面积，
则该几何体的表面积，
圆柱的体积，半球的体积，
则该几何体的体积.
17．【答案】（1）或；
（2）.
【详解】（1）由正弦定理得：，且，
所以，又，故或；
（2）由（1）及题设知：且，由正弦定理，
所以，．
所以，，
由，则，故，
所以，则三角形周长．
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）设，则，
，即.
（2）因为，
所以
所以.
因为
所以.
因为，
所以
19．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由题意得：
.
令，得
即，
故x的取值范围为．
（2），则，又，则，
由正弦定理，可知，则
∴
又为锐角三角形，则.
则，
∴