2026高考数学二轮复习讲义第八章 解三角形（教师版+学生版）

这是一份2026高考数学二轮复习讲义第八章 解三角形（教师版+学生版），共7页。学案主要包含了典例1-1，典例1-2，变式1-1，典例2-1，典例2-2，变式2-1，变式2-2，典例3-1等内容，欢迎下载使用。
知识梳理
1、正弦定理和余弦定理的主要作用，是将三角形中已知条件的边、角关系转化为角的关系或边的关系，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．
2、与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当选用公式，对于面积公式S=12absinC=12acsinB=12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪个公式．
3、对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围．
4、利用正、余弦定理解三角形，要注意灵活运用面积公式，三角形内角和、基本不等式、二次函数等知识．
5、正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手锏，要牢牢掌握并灵活运用．利用三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等求其最值．
6、三角形中的一些最值问题，可以通过构建目标函数，将问题转化为求函数的最值，再利用单调性求解．
7、“坐标法”是求解与解三角形相关最值问题的一条重要途径．充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立恰当的直角坐标系，选取合理的参数，正确求出关键点的坐标，准确表示出所求的目标，再结合三角形、不等式、函数等知识求其最值．
经典真题回顾
1．（2024年高考全国甲卷数学真题）在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若B=π3，，则（ ）
A．23913B．3913C．D．31313
2．（2024年北京高考数学真题）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，∠A为钝角，a=7，sin2B=37bcsB．
(1)求∠A；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积．
条件①：b=7；条件②：csB=1314；条件③：csinA=523．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
3．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+3csA=2．
(1)求A．
(2)若a=2，2bsinC=csin2B，求△ABC的周长．
4．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知sinC=2csB，a2+b2−c2=2ab
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为3+3，求c．
5．（2023年高考全国甲卷数学真题）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知．
(1)求bc；
(2)若，求△ABC面积．
6．（2023年高考全国乙卷数学真题）在△ABC中，已知∠BAC=120°，，AC=1.
(1)求sin∠ABC；
(2)若D为BC上一点，且∠BAD=90°，求△ADC的面积.
7．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知在△ABC中，A+B=3C,2sinA−C=sinB．
(1)求sinA；
(2)设AB=5，求AB边上的高．
8．（2023年北京高考数学真题）在△ABC中，(a+c)(sinA−sinC)=b(sinA−sinB)，则∠C=（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．
9．（2023年高考全国乙卷数学真题）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若acsB−bcsA=c，且C=π5，则（ ）
A．π10B．π5C．3π10D．2π5
10．（2023年高考全国甲卷数学真题）在△ABC中，∠BAC=60°,AB=2,BC=6，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD= ．
11．（2022年新高考浙江数学高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S=14c2a2−c2+a2−b222，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边a=2,b=3,c=2，则该三角形的面积S= ．
12．（2022年高考全国甲卷数学真题）已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD．当ACAB取得最小值时，BD= ．
13．（2022年新高考全国II卷数学真题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3，已知S1−S2+S3=32,sinB=13．
(1)求△ABC的面积；
(2)若sinAsinC=23，求b．
14．（2022年高考全国乙卷数学真题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知sinCsinA−B=sinBsinC−A．
(1)若A=2B，求C；
(2)证明：2a2=b2+c2
15．（2022年新高考全国I卷数学真题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csA1+sinA=sin2B1+cs2B．
(1)若，求B；
(2)求a2+b2c2的最小值．
考点一：倍长定比分线模型
解题思路：如图，若P在边BC上，且满足PC=λBP，AP=m，则延长AP至D，使PD=λAP，连接CD，易知AB∥DC，且DC=λc，AD=(1+λ)AP．∠BAC+∠ACD=180°．
【典例1-1】设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，AD为BC边上的中线，c＝1，∠BAC=2π3，2csinAcsB=asinA−bsinB+12bsinC．
(1)求AD的长度；
(2)若E为AB上靠近B的四等分点，G为△ABC的重心，连接EG并延长与AC交于点F，求AF的长度．
【典例1-2】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cs2A−C2−csAcsC=34，
(1)求角B的大小；
(2)若a=8, csA=217，D为边AB上一点，且CD=7，求的值．
【变式1-1】在①3b−3ccsA=asinC ，②sinA−sinCb=sinA−sinBa+c ，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在△ABC中，内角的对边分别为a,b,c，且满足____．
(1)求C；
(2)若△ABC的面积为3,D在边AC上，且CD=13CA ，AC+BC=4 ，求BD的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．
高考预测
1．在△ABC中，角所对的边分别为a,b,c，且B=π3,AB=2,M是BC的中点，AM=23，则AC= ，cs∠MAC= .
考点二：倍角定理与正弦平方差
解题思路：“倍角三角形”
B=2A⇔b2=a（a+c）
C=2B⇔c2=b（b+a）
A=2C⇔a2=c（c+b）
推论1：A=2B⇔asin2B=bsinB=csin3B⇔b=a2csB=c3−4sin2B
推论2：A=2B⇔cb=1+2csA⇔b+c=2acsB
正弦平方差：sin2α−sin2β=sinα+βsinα−β
【典例2-1】从①；②c2=b2+ab；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答问题．
在锐角△ABC中，角所对的边分别为a,b,c，且________．
(1)证明：；
(2)求的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【典例2-2】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a2−c2=bc．
(1)证明：；
(2)若a=2，且△ABC为锐角三角形，求b+2c的取值范围．
【变式2-1】在△ABC中，AB＝4，AC＝3．
(1)若csC=−14，求△ABC的面积；
(2)若A＝2B，求BC的长．
【变式2-2】在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且a⋅csB=b1+csA．
(1)证明：sinC=sin3B；
(2)求ca的取值范围．
高考预测
1．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且a⋅csB=b1+csA.
(1)证明:A=2B
(2)若b=2，求a的取值范围.
考点三：角平分线模型与张角定理
解题思路：
角平分线张角定理：如图，AD为∠BAC平分线，cs∠BAD=12(ADb+ADc)（参考一轮复习）
斯库顿定理：如图，AD是△ABC的角平分线，则AD2=AB⋅AC−BD·DC，可记忆：中方=上积一下积．
【典例3-1】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且csBccsB+bcsC+12a=0.
(1)求角B的大小：
(2)若a+c=8，b=7，，求sin2A+C的值；
(3)设D是边AC上一点，BD为角平分线且2AD=DC，求csA的值.
【典例3-2】已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinCa+b=csπ2−A−sinBa−c
(1)求角B；
(2)若点D在AC上，BD为∠ABC的角平分线，BD=23，求2a+c的最小值．
【变式3-1】（2024·河北沧州·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2=cc+b．
(1)求证：B+3C=π；
(2)若∠ABC的角平分线交AC于点D，且a=12，b=7，求BD的长．
【变式3-2】 △ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
(1)求sinAsinC的值；
(2)若BD是∠ABC的角平分线.
（i）证明：BD2=BA·BC−DA·DC；
（ii）若a=1，求的最大值.
高考预测
1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acsB+bcsAc=3(a2+b2−c2)2absinC
(1)求C；
(2)若△ABC的三条角平分线相交于点O，AB＝7，OAB的面积为1534，求OC．
考点四：隐圆问题
解题思路：若三角形中出现b=λa(λ>1)，且c为定值，则点C位于阿波罗尼斯圆上．
【典例4-1】（2024·四川眉山·三模）阿波罗尼奥斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他姓名命名的阿氏圆是指平面内到两定点的距离的比值为常数λλ>0,λ≠1的动点的轨迹．已知在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sinA=2sinB，acsB+bcsA=3，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．3B．33C．6D．63
【典例4-2】在平面四边形ABCD中，连接对角线BD，已知CD=9，BD=16，∠BDC=90°，sinA=45，则对角线AC的最大值为（ ）
A．27B．16C．10D．25
【变式4-1】已知△ABC中，BC=2，G为△ABC的重心，且满足AG⊥BG，则△ABC的面积的最大值为______.
【变式4-2】已知等边△ABC的边长为2，点G是△ABC内的一点，且AG+BG+CG=0，点P在△ABC所在的平面内且满足PG=1，则PA的最大值为________.
高考预测
1．在平面四边形ABCD中，∠BAD=90°， AB=2，AD=1．若AB⋅AC+BA⋅BC=43CA⋅CB， 则CB+12CD的最小值为____．
考点五：正切比值与和差问题
解题思路：
定理1：tanA=λtanB⇔c=(λ+1)bcsA⇔(λ+1)(b2−a2)+(λ−1)c2=0
定理2：1tanA+1tanB=λtanC⇔a2+b2=λ+2λc2
定理3：（正切恒等式）ΔABC中，tanA+tanB+tanC=tanA⋅tanB⋅tanC．
【典例5-1】在△ABC中，AB=6且9tanA+9tanB+5tanC=0，则△ABC面积的最大值为 ．
【典例5-2】已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcsC=ccsB，则tanCtanB= ，1tanA+1tanB+1tanC的最小值为 .
【变式5-1】（2024·浙江·模拟预测）在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若b2+c2=4bcsinA+π6，则tanA+tanB+tanC的最小值是 ．
【变式5-2】在△ABC中，角所对的边分别为a,b,c，若1tanB+1tanC=3bc⋅sinA，且sinC−B=12sinA，则c2−b2= ．
高考预测
1．在锐角△ABC中，a,b,c分别为角所对的边，b=2，且△ABC的面积S=2．
(1)若sinA=45，求a；
(2)求的最大值．
考点六：四边形定值和最值与托勒密定理
解题思路：正常的四边形我们不去解释，只需多一次余弦定理即可，我们需要注意一些圆内接的四边形，尤其是拥有对角互补的四边形，尤其一些四边形还需要引入托勒密定理．
托勒密定理：在四边形ABCD中，有AB⋅CD+AD⋅BC≥AC⋅BD，当且仅当四边形ABCD四点共圆时，等号成立．
【典例6-1】克罗狄斯⋅托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家．托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理，定理内容如下：任意一凸四边形，两组对边乘积的和不小于两对角线的乘积，当且仅当四点共圆时，等号成立．已知在凸四边形ABCD中，，BC=6，，∠ADC=2π3，则BD的最大值为（ ）
A．5B．32C．26D．27
【典例6-2】托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，BD=43，且△ACD为正三角形，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．163B．16C．123D．12
【变式6-1】如图．在平面四边形ABCD中，BC=CD=AD=33AB．设∠CBD=θ，证明：为定值．
【变式6-2】如图，平面四边形ABCD的对角线分别为AC，BD，其中AB=2，BC⊥CD，∠BCD=23∠ABC．

(1)若BC=2，△ACD的面积为，求△BCD的面积；
(2)若∠ADC=13∠BCD，AD=2AB，求的值．
高考预测
1．克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形ABCD内接于半径为23的圆，∠A=120°，，AB=AD，则四边形ABCD的周长为（ ）
A．43+62B．103C．D．43+52
考点七：边角特殊，构建坐标系
【典例7-1】已知三角形ABC中，BC=3，角A的平分线交BC于点D，若BDDC=12，则三角形ABC面积的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【典例7-2】在△ABC中，∠ACB=30°，点D在边BC上，且BD=3，若AB=2AD，则CD长度的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式7-1】已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G是△ABC的重心，且AG⋅BG=0.
(1)若∠GAB=π6，求tan∠GAC的值；
(2)求cs∠ACB的取值范围.
高考预测
1．在△ABC中，AB=2，，，M是△ABC所在平面上的动点，则w=MA⋅MB+MB⋅MC+MC⋅MA的最小值为________．
考点八：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题
【典例8-1】（2024·高三·河北沧州·期中）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acsB−π3．
(1)求A；
(2)若△ABC的面积为33，sinBsinC=964，求△ABC的周长．
【典例8-2】在△ABC中，角A,B,C对应的边分别为a,b,c．已知．
(1)求sinA；
(2)若点D为BC边的中点，且a=22，AD=5，求△ABC的面积．
【变式8-1】已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别是a，b，c，且tanC=3tanB．
(1)若a=2b，求C；
(2)若a=6，，求△ABC的面积．
【变式8-2】（2024·四川眉山·一模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B∈0,π2，且1tanB+1tanC=3a2bsinBsinC.
(1)求B；
(2)若△ABC的外接圆半径为，周长为3+6R，且，求A.
高考预测
1．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsinA=2csB+csC2−csA.
(1)求A；
(2)若，asinA=bsinC，求△ABC的周长.
考点九：三角形的形状判定
【典例9-1】已知△ABC的三条边a,b,c和与之对应的三个角A,B,C满足等式acsB+bcsC+ccsA=bcsA+ccsB+acsC则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形
【典例9-2】（2024·高三·福建南平·期中）在△ABC中，内角A, B,​ C的对边分别为a, b, c，已知向量c, csC2共线，则△ABC的形状为（ ）
A．等边三角形B．钝角三角形
C．有一个内角是π6的直角三角形D．等腰直角三角形
【变式9-1】（2024·高三·上海闵行·期中）在△ABC中，已知b2+c2−bc=a2，且，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰直角三角形
C．有一个角为60°的直角三角形D．等边三角形
【变式9-2】在△ABC中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，a2+b2a2−b2=sinA+BsinA−B，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形但一定不是直角三角形
B．等腰直角三角形
C．直角三角形但一定不是等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
高考预测
1．已知a,b,c分别是△ABC三个内角A,B,C的对边，下列关于△ABC的形状判断一定正确的为（ ）
A．sin2A+sin2B=sinC，则△ABC为直角三角形
B．sin2A+sin2B=sinC，则△ABC为等腰三角形
C．sin2A+sin2B+sin2C=2，则△ABC为直角三角形
D．sin2A+sin2B+sin2C=2，则△ABC为等腰三角形
2．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足2a+b=2ccsB，且，则△ABC的形状为（ ）
A．等边三角形B．顶角为120°的等腰三角形
C．顶角为150°的等腰三角形D．等腰直角三角形
考点十：三角形中的几何计算
【典例10-1】（2024·高三·安徽·期中）如图，在平面四边形ABCD中，AC与DB的交点为E，DB平分∠ADC，AB=BC=CD=2，．
(1)证明：BD2=2AD+2；
(2)若∠ABD=3π4，求DEBE．
【典例10-2】在平面四边形ABCD中，AB=BC=3，∠ABC=120°，且AC=3CD.
(1)求AD的长；
(2)若M为CD的中点，求cs∠AMB.
【变式10-1】（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，四边形ABCD中，已知BC=1，AC2=AB2+AB+1．
(1)若△ABC的面积为，求△ABC的周长；
(2)若，∠ADB=60°，∠BCD=120°，求∠BDC的值．
【变式10-2】如图所示，在△ABC中，设a,b,c分别为内角A,B,C的对边，已知b+c=3a，b=4c−a．
(1)求角C；
(2)若c=7，过B作AC的垂线并延长到点D，使四点共圆，AC与BD交于点E，求四边形ABCD的面积．
高考预测
1．在△ABC中，23cs2B2+sinB=1+3.
(1)求角B的大小；
(2)若E为BC的中点，F是AC边上的点，且满足BF⊥AE，2ABsin∠BAC−BCcsC=0，求AFAC的值.
考点十一：中线长定理与补角双余弦
解题思路：
方向一：中线长定理
若Ia,Ib,Ic分别为BC,AC,AB的中线，则有：
Ia=122b2+c2−a2,Ib=122a2+c2−b2,Ic=122b2+a2−c2.
方向二：余弦和为0
在△ABC中，点D为线段BC上一点，则有：
cs∠ADB+cs∠ADC=0即AD2+BD2−AB22⋅AD⋅BD+AD2+CD2−AC22⋅AD⋅CD=0．
【典例11-1】记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知△ABC的面积为，D为BC中点，且AD=1．
(1)若∠ADC=π3，求；
(2)若b2+c2=8，求b,c．
【典例11-2】（2024·山东潍坊·模拟预测）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，btanA+btanB=3ccsA．
(1)求角B；
(2)D是AC边上的点，若CD=1，AD=BD=3，求sinA的值．
【变式11-1】（2024·高三·江苏扬州·期中）在△ABC中，AC=3AB，且BC边上的中线AD长为1.
(1)若BC=2AB，求△ABC的面积；
(2)若∠ABC=2∠DAC，求BC的长.
【变式11-2】（2024·广东广州·模拟预测）在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且2c2=a2+c2−b2tanA+tanB.
(1)求角A的大小；
(2)若边，边BC的中点为D，求中线AD长的取值范围.
高考预测
1．如图，在△ABC中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点P．
(1)求中线AM的长；
(2)求∠MPN的余弦值；
(3)求△ABP面积．
高分突破：利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围
解题思路：对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围．
【典例12-1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=1，．
(1)求角A；
(2)若D是线段BC的中点，且AD=1，求S△ABC；
(3)若△ABC为锐角三角形，求△ABC的周长的取值范围．
【典例12-2】在三角形ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且ccsB+45b=a.
(1)求csC；
(2)若a=2，且b2+c2