北京市第五十五中学2025-2026学年高三下学期3月调研数学试卷-下学期（Word版附解析）

这是一份北京市第五十五中学2025-2026学年高三下学期3月调研数学试卷-下学期（Word版附解析），共4页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数z=3+ai（a∈R）在复平面内对应的点在第一象限，且|z|=5，则a=（ ）
A. 3B. 4C. 5D. -4
3.下列函数是偶函数且值域是(0,+)的函数是（ ）
A. B. C. D.
4.在的展开式中常数项为6，则（ ）
A. B. 1C. D. 6
5.双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6.已知函数相邻两个对称轴之间的距离为，若在上是增函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.设为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A. 为递减数列B. 数列为递减数列
C. 为递增数列D. 数列为递增数列
8.已知直线与圆相交于，两点，若的最小值为4，则圆的半径等于（ ）
A. B. C. 3D. 5
9.对于函数，定义集合，函数在上单调递增是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
10.在平面直角坐标系中，，，集合，下列结论正确的是（ ）①点；②若，则；③；④．
A. ①③B. ②③C. ②④D. ②③④
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知点在抛物线上，则到的准线的距离为 ．
12.已知角、的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别交单位圆（圆心在原点）于、两点，点坐标为，则 ；若点在第一象限，且，则 ．
13.在量子计算研发中，某量子计算机处理任务的时间T=alg2Q（单位：秒），其中a为常数，Q是量子比特的数量.已知当量子比特数量Q从44个增加到213个时，处理时间增加了10秒；当量子比特数量从213个增加到Q1个时，处理时间增加了20秒，则Q1= .
14.在棱长为的正方体中，为棱中点，为侧面的中心，平面截该正方体所得到的多边形为，且交于，将正方体分成两部分，这两部分的体积之比为 ．
15.已知曲线，（其中是自然对数的底数），给出下列四个结论：①曲线关于轴对称；②曲线上任意一点到原点的距离都不小于1；③曲线经过4个整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）；④设曲线所围成平面区域的面积为，则，其中，正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
(1)求．
(2)若，请再从条件①、②、③中选择一个合适的条件作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
①边上的中线长为；②；③角的平分线长为．
17.(本小题12分)
如图，在三棱柱中，四边形为正方形，为等边三角形，平面平面，，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)在棱上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
18.(本小题12分)
为提高学生的文化素养、兴趣爱好和整体的幸福感，某校图书馆对学生的借阅类别进行调查，从而优先选择增加相应类别的数量.现从全校学生中采用分层抽样抽出150名学生进行借阅类别调查，调查结果如下表：
假设所有学生的选择相互独立，用频率估计概率
（1）假设全校共有1500名学生，根据样本数据估计全校喜欢借阅文学类书籍的学生人数；
（2）分别从高一、高二、高三三个年级中各随机抽取1人，估计这3人中至少有2人选择借阅文学类书籍的概率；
（3）记样本中高三学生选择三类书籍的频率依次为x1，x2，x3，其方差为；样本中高三学生不选择三类书籍的频率依次为y1，y2，y3，其方差为，写出与的大小关系.（结论不要求证明）
19.(本小题12分)
已知椭圆经过点，为的右焦点．
(1)求的标准方程；
(2)过点的直线与交于，两点（的斜率存在且不为0），设点关于轴的对称点为，求面积的最大值．
20.(本小题14分)
已知函数的导函数，且．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当或时，设曲线在点处的切线为直线，判断直线是否能经过坐标原点，并说明理由；
(3)若是函数的一个极值点，且，直接写出实数的取值范围．
21.(本小题15分)
当且仅当数列满足下列条件①②时，称数列为广义Hilbert数列：①数列满足；②数列中共有项（），其中m项为，k项为1，且对任意，，，，中的个数不少于1的个数.当时，广义Hilbert数列称为Hilbert数列；表示广义Hilbert数列的个数.
(1)当时，求的值；
(2)若既为等比数列，又为Hilbert数列，求符合条件的所有的通项公式；
(3)，求，并证明：当时，.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】
12.【答案】 ； ； ； ； ； /
13.【答案】223
14.【答案】 /
15.【答案】①②④
16.【答案】解：（1）由二倍角公式得：，
整理得：，
由正弦定理得：，，，代入上式可得：
，即，
由余弦定理，可得，，
因为，所以.
（2）若选条件①，记边上的中线为，则，
在中，由余弦定理得，
即，解得或（舍），
所以.
若选条件②，在中由余弦定理得，
即，解得或3，此时与题目中存在且唯一确定矛盾；
若选条件③，记角的角平分线为，，在中，由余弦定理得：，
，，，
，，
.

17.【答案】解：（1）连接交于，连接.
因为四边形为正方形，、为对角线且交于点，所以为中点.
又为的中点，所以为的中位线，所以.
又平面，平面，所以平面.
（2）取中点，中点，连接、.
因为为等边三角形，所以，，.
因为四边形为正方形，、为中点，所以，.
因为平面平面，平面平面，
所以平面.
又平面，所以.
因此以点为原点，以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，.
因为为中点，所以，
所以，，.
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，所以.
设直线与平面所成角为，
则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）假设棱上存在一点，使得点到平面的距离为，设.
因为，，所以，则
.
又，.
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，，所以.
则点到平面的距离为，
整理得，即，解得或（舍去）.
所以棱上存在一点，使得点到平面的距离为，此时.

18.【答案】850
19.【答案】解：（1）由题意可得，且有，解得，
即的标准方程为；
（2）设，，，则，
联立，消去可得，
则，，且，
，
点到的距离，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
故面积的最大值为.

20.【答案】解：（1）当时，函数的定义域为，令，
求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，即，
所以函数的单调递减区间是，无递增区间.
（2）直线不经过坐标原点.
由曲线在点处的切线为直线，得直线的方程为，
令函数，而，，
则，当时，，
，函数在上单调递增，则，即；
当时，，，函数在上单调递减，
则，即，因此当或时，，
在直线的方程为中，当时，，
所以直线不经过坐标原点.
（3）由是函数的一个极值点，，得函数在上存在变号零点，
令函数，求导得，而，
当时，，函数在上单调递增，，无零点；
当时，，函数在上单调递减，，无零点；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，则，
当且仅当时，函数，即在上有唯一变号零点，即，
所以实数的取值范围是.

21.【答案】解：（1）方法一：当时，所有的Hilbert数列如下：
，，，，1，1，1，1；，，，1，，1，1，1；
，，，1，1，，1，1；，，，1，1，1，，1；
，，1，，，1，1，1；，，1，，1，，1，1；
，，1，，1，1，，1；，1，，，，1，1，1；
，1，，，1，，1，1；，1，，，1，1，，1；
，，1，1，，，1，1；，，1，1，，1，，1；
，1，，1，，，1，1；，1，，1，，1，，1.
共14个，即；
方法二：当时，Hilbert数列共8项，前4项中最多有2个1.
当前4项中没有1时，Hilbert数列有1个；
当前4项中有1个1时，后4项中有1个，1可以是第项，
可以是第项，Hilbert数列有个；
当前4项中有2个1时，即前4项中有2个1，2个，后4项中有2个1，2个，
前4项有2种情况，即，，1，1和，1，，1，
同理，后4项也有2种情况，Hilbert数列有个.
综上，当时，Hilbert数列有个，
即；
（2）因为数列为Hilbert数列，所以数列中和1的个数相等，设均为个，则数列有2m项.
因为数列是等比数列，且各项为1或，所以公比
因为数列为Hilbert数列，所以对任意，前i项中的个数不少于1的个数.
当时，可得，则数列为，1，，1，，，1，共项，
当i为奇数时，前i项中有个和个1，显然的个数多于1的个数；
当i为偶数时，前i项中有个和个1，满足的个数不少于1的个数.
因此，唯一满足条件的等比数列的通项公式为；
（3）方法一：由广义Hilbert数列的定义可知，若数列为广义Hilbert数列，则.
因为，所以剩余的项中，有个和2个1.
若，则剩余的m项中，有个和1个1，此时，
则剩余的项中，有个和1个1，
且第项都满足数列为广义Hilbert数列，此时数列有个.
若，则剩余的m项中，有个和2个1，且剩余的m项中任意两项为1，
都满足数列为广义Hilbert数列，此时数列有个.
综上，
方法二：当时，对于的广义Hilbert数列有两类，
即或.
若，则前面的项中有个和2个1，
且数列的前项是的广义Hilbert数列，
此时广义Hilbert数列的个数为；
若，则前面的项中有m个和1个1，
且数列的前项是的广义Hilbert数列，
此时广义Hilbert数列的个数为.
因此
对于的广义Hilbert数列，数列中有m个和1个1，
，1可以是第项，数列有m个，即.
初始条件为（2+2的Hilbert数列），
因为，，，
所以
当时，对于的广义Hilbert数列，数列中有m个和1个1，
，1可以是第项，数列有m个，即，
同理，，又，满足.
当时，，，，
满足
当时，对于的广义Hilbert数列，m项为，k项为1，且有两类，
即或.
若，则前面的项中有个和k个1，
且数列的前项是的广义Hilbert数列，
此时广义Hilbert数列的个数为；
若，则前面的项中有m个和个1，
数列的前项是的广义Hilbert数列.
理由：若数列的前项是的广义Hilbert数列，
又，则在其最后添加一项1，则仍然构成广义Hilbert数列；
若数列的前项不构成广义Hilbert数列，则在其最后添加一项1，
则仍然不构成广义Hilbert数列.此时广义Hilbert数列的个数为.
所以.
高一
高二
高三
选择
不选择
选择
不选择
选择
不选择
参考、工具类
20
40
25
25
30
10
文学类
30
30
30
20
25
15
自然、科学类
40
20
40
10
23
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