广西柳州市柳城县中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份广西柳州市柳城县中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷（解析版）-A4，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1. 设集合A={x∣2 ≤ x < 4}， B={x∣3x－7 ≥ 8－2x}，则A∩B=（ ）
A. B. （3，4）C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出B集合的区间，再根据交集的定义求解即可.
【详解】依题意 ， ；
故选：A
2. 已知，，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用配方法可得答案.
【详解】，
其图象是对称轴为，开口向上的抛物线，
所以当时，有最小值，为，
当时，有最大值，为，
则的取值范围为.
故选：C.
3. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定方法写出命题的否定即可.
【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以命题“”的否定为：“”.
故选：B.
4. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A. 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B. 横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
C. 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D. 纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用三角函数伸缩变换法则得到答案.
【详解】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变.
故选：B
5. 设，，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用对数函数，指数函数的单调性和三角函数的符号进行判断.
【详解】因为对数函数在上为减函数，所以：；
指数函数在上为减函数，所以；
因为是第四象限角，所以;
综上：.
故选：A
6. 已知函数，，的零点分别为，则的大小顺序为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】确定函数在定义域上的单调性，由零点存在定理确定函数零点的范围，由此得到三个零点的大小关系.
【详解】由函数解析式可知三个函数在定义域上均为单调递增函数.
∵，，故，
∵，，故，
，故，
∴.
故选：B.
7. 已知都是锐角，，（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由条件求，再由结合两角差余弦公式求结论.
【详解】因为为锐角，
所以，
又，
所以，，
又，
所以
故选：A.
8. 已知函数在区间上恰有3个零点，则正实数ω的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据，，得，结合正弦函数图像，确定的位置范围即可求出ω的范围﹒
【详解】∵，，∴，
函数在区间上恰有3个零点，
则如图，﹒
故选：D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 若，则下列不等式成立的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】举出反例得到CD错误，根据不等式基本性质得到A正确，再A的基础上，利用不等式的基本性质得到B正确.
【详解】不妨令，则，，CD错误；
因为，不等式两边同乘以得：，
不等式两边同乘以得：，故，A正确；
因为，，相乘得：，B正确.
故选：AB
10. 下列结论中正确的是（ ）
A. 化成弧度是
B. 若角的终边经过点，则
C.
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】A选项利用角度制与弧度制的转化即可；B选项根据三角函数的定义即可求解；C选项利用平方差公式和二倍角公式即可求解；D选项利用正弦的二倍角即可求解.
【详解】对于A: ，故A正确；
对于B:，故B错误；
对于C: ,故C正确；
对于D: ，故D错误.
故选：AC.
11. 已知幂函数的图像经过点，则（ ）
A. 函数为增函数B. 函数为偶函数
C. 当时，D. 当时，
【答案】AC
【解析】
【分析】设幂函数的解析式，代入点，求得函数的解析式，根据幂函数的单调性可判断A、C项，根据函数的定义域可判断B项，结合函数的解析式，利用单调递增可判断D项.
【详解】设幂函数，则，解得，所以，
所以的定义域为，在上单调递增，故A正确，
因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误，
当时，，故C正确，
当时，因为在上单调递增，所以，即，故D错误．
故选：AC.
12. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，图象与轴的交点为，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的最大值为2
C. 直线是图象一个对称轴
D. 在区间上单调递增
【答案】ABD
【解析】
【分析】由三角函数图象判断函数性质问题，一般是先结合图像分别求出，周期确定，关键点确定，接着根据要求，结合正弦型（余弦型）函数性质分别判断即得.
【详解】设的最小正周期为，
由图象可知，解得故选项A正确；
因为，所以，解得，故.将代入解析式得，
因为，则，所以得，故.
又因为图象与轴的交点为，所以，得，故的最大值为2，选项B正确；
由上述分析知，当时，，则点是函数的对称中心，即直线不是其对称轴，
故选项C错误；
因当时，取，而在上单调递增，故在区间上单调递增，故选项D正确.
故选：ABD.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知函数，（且）的图象恒过点________．
【答案】
【解析】
【分析】根据（且）的性质判断即可.
【详解】由已知得，令，解得，即，
所以函数的图象恒过点，
故答案为：.
14. 计算的值______________．
【答案】
【解析】
【分析】利用对数的运算性质计算可得出所求代数式的值.
【详解】原式.
故答案为：.
15. 已知函数，若在R上是增函数，则实数a的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用分段函数的单调性，列出不等式组并求解即得.
【详解】由函数在R上是增函数，得，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：
16. 已知函数是奇函数，则时， _____．
【答案】
【解析】
【分析】由函数为奇函数，可知即可求解.
【详解】因为函数是奇函数，
所以,即,
又因为，所以令，，
故答案为：.
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知，且为第二象限角.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角函数基本关系式求解；
（2）利用三角函数的诱导公式求解.
【小问1详解】
解：因为，且为第二象限角，
所以；
【小问2详解】
.
18. 已知函数
（1）判断函数的奇偶性；
（2）根据定义证明函数在区间上单调递增..
【答案】（1）为奇函数
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的定义进行证明；
（2）设，且，利用作差法证明
【小问1详解】
函数在定义域内为奇函数
证明如下：由已知可得，函数的定义域
对于，则，
所以为奇函数.
【小问2详解】
，且，则
∵，且，
∴，，
∴即
所以在区间上单调递增.
19. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
（1）求；
（2）求函数的解析式；
（3）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）．
【解析】
【分析】（1）借助奇函数的性质即可得；
（2）由定义在上的奇函数有，再设出时有，即可代入求解；
（3）结合函数单调性与奇偶性即可得.
【小问1详解】
由函数是定义在上的奇函数，可得．
又当时，，可得；
【小问2详解】
当时，；
当时，，则，
又，可得时，．
所以；
【小问3详解】
由的解析式可得奇函数在上单调递增，
所以即为，
化为，解得，
即的取值范围是.
20. 已知函数．
（1）若函数在为单调函数，求a的取值范围；
（2）当，解不等式．
【答案】（1） （2）答案见解析
【解析】
【分析】（1） 讨论a及轴与0和2的关系（2）分解因式利用分类讨论求解a在不同范围内的不等式的解
【详解】（1）①当a＝0时，在上单调递减，符合题意；
②当时，对称轴，由题意得或，∴或，
综上，所求a取值范围是．
（2）①当a＝0时，；∴．
②当a＞0时，由得x＝1或，
（i）当即时，x=1，
（ii）当即时，，
（iii）当即时，，
综上，当a＝0时，所求不等式的解集为．
当时，所求不等式的解集为，
当时，所求不等式的解集为，
当时，所求不等式的解集为．
21. 投资理财是指投资者通过合理安排资金，运用合法的投资理财工具对资产进行管理和分配，达到保值增值的目的，从而加速资产的增长.小薛有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报20元.
方案二：第一天回报5元，以后每天比前一天多回报5元.
方案三：第一天回报0.8元，以后每天的回报比前一天翻一番.
设第天所得回报是元.
（1）若小薛采用方案三进行投资，试写出关于的函数关系式.
（2）若小薛计划用该笔资金投资8天，试问哪种方案所得的总回报最多？最多为多少元？
【答案】（1），
（2）第三种方案所得的总回报最多，最多为204元.
【解析】
【分析】（1）由题意，若小薛采用方案三进行投资，则第天所得回报成指数型函数增长，由此可直接写出关于的函数关系式；
（2）分别计算按照三种投资方案投资的回报，比较即可得出结果.
【小问1详解】
由题意，若小薛采用方案三进行投资，则，.
【小问2详解】
若小薛采用方案一进行投资8天，则所得的总回报元；
若小薛采用方案二进行投资8天，则所得的总回报元；
若小薛采用方案三进行投资8天，则所得的总回报元.
因为，所以第三种方案所得的总回报最多，最多为204元.
22. 已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换可得，然后根据三角函数的性质即得；
（2）根据图象变换规律可得，然后根据正弦函数的性质即得.
【小问1详解】
因为，
令，解得，
则的单调递增区间是；
【小问2详解】
因为，
将的图象向右平移个单位长度，
可得．
因为，所以，
所以，则，
即在区间内的值域为．