北京市密云区2025-2026学年高三下学期阶段练习数学试卷（Word版附解析）

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2026.3
一､选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】集合 ，
所以 .
2. 若复数 ，则 在复平面上对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【详解】复数 ，则 ，
所以 在复平面上对应的点 位于第三象限.
3. 双曲线 的渐近线方程为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：令 ，化简可得 ．故选 D．
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考点：双曲线的渐近线．
4. 已知 ，则下列结论中不正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】A
【解析】
【详解】对于 A，因为 ，由不等式的性质，不等式两边同时加上一个数，不等式方向不变，
，故 A 错.
对于 B，因为函数 在 上单调递增， ，所以 ，故 B 正确
对于 C， 已知 且 ，说明 ，那么 ，不等式两边同除以 ，不等式方向不变，所
以 ，故 C 正确.
对于 D，已知 ，所以 ，因为函数 在 上单调递增，所以 ，故 D 正
确.
5. 已知数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A. 35 B. 11 C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】因为 ，即 ，
可知数列 是以首项为 ，公差为 的等差数列，
则 ，所以 .
6. 已知向量 ，则 的最小值为（ ）
A. B. 2 C. -2 D.
【答案】D
【解析】
【详解】向量 ，
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则 ，
当 时， 取最小值 .
7. 为了得到 的图象，只需把函数 的图象上所有点的（ ）
A. 横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变）
B. 横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变）
C. 纵坐标变为原来的 2 倍（横坐标不变）
D. 纵坐标变为原来的 倍（横坐标不变）
【答案】B
【解析】
【详解】对于 A，把函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变），得
，A 错误；
对于 B，把函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），得 ，B 正
确；
对于 C，把函数 的图象上所有点的纵坐标变为原来的 2 倍（横坐标不变），得 ，C
错误；
对于 D，把函数 图象上所有点的纵坐标变为原来的 倍（横坐标不变），得 ，D
错误.
8. 已知函数 ，则“ ”是“ 在 上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
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C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】当 时， ，
令 ，当 时，可得 ，
由正弦函数的性质，可得 在 为单调递增函数，
所以当 时，函数 在区间 上单调递增，即充分性成立；
反之：当 时，可得 ，
又由正弦函数 的单调递增区间为 ，
要使得函数 在区间 上单调递增，则满足 ，
即 ，且 ，解得 ，所以必要性不成立，
综上可得：“ ”是“ 在 上单调递增”的充分不必要条件.
9. 任取一个正整数，若它是奇数，就将该数乘 3 再加 1；若它是偶数，就将该数除以 2.反复进行上述两种
运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈 .这就是数学史上著名的“冰雹猜想”.如取正整数 6
时，根据上述运算法则得出 ，共需经过 8 个步骤变成 1（简称 8
步 “雹 程 ”） .现 给 出 “冰 雹 猜 想 ”的 递 推 关 系 如 下 ： 已 知 数 列 满 足 ： ，
若 ，则 的所有可能取值的总个数为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
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【解析】
【详解】由 ， ，解得 ；
由 ，解得 ；
由 ，解得 或 ；
由 ，解得 或 ；
由 ，解得 或 或 ；
由 ，解得 或 或 或 ；
由 ， 或 或 或 或 或 ，
所以则 m 所有可能的取值集合为 ，共 6 个元素.
10. 已知直线 与 相交于点 ，直线 与圆 交于
两点 ，且 ，则 的最大值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
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【答案】D
【解析】
【分析】先确定 点的轨迹，再确定线段 中点的轨迹，将问题转化为两圆上两点的距离问题求解.
【详解】直线 ： ，所以直线 过定点 ；
直线 ： ，所以直线 过定点 .
又 ，所以 .
所以点 的轨迹是以线段 为直径的圆.
因为 的中点为 ， ，
所以 点的轨迹方程为： .
因为直线 与圆 交于两点 ，且 ，
所以圆心 到直线 的距离为 1，设 的中点为 ，则 .
如图：
，且 ,
所以 ，即 的最大值为 .
二､填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
11. 若抛物线： 的焦点在直线 上，则 p 等于______.
【答案】4
【解析】
【分析】将抛物线的焦点坐标代入直线方程可求得实数 的值.
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【详解】根据题意，拋物线 的方程为 ，其拋物线的焦点在 轴的正半轴上，其焦点坐标
为 ，
又由抛物线的焦点在直线 上，则有 ，解可得 ．
故答案为： .
12. 二项展开式中，第 1 项是__________；常数项是__________.
【答案】 ①. ②. 24
【解析】
【详解】 的二项展开式的第 1 项是 ，
常数项为 .
13. 玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称；如图所示，
圆筒内径长 ，外径长 ，筒高 ，中部是棱长为 的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于
正方体的侧面，则该玉琮的体积为__________ .
【答案】
【解析】
【分析】玉琮体积可以分为两部分计算:上下圆筒部分和中部正方体挖去圆柱部分，最后减去空心部分的体
积.
【详解】因为圆筒内径长为 ，所以内圆半径 .
外径长为 ，所以外圆半径
上下两段圆筒总高为 ，加上中部正方体挖去外圆柱后剩余部分:
上下外圆柱体积+中部正方体体积
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=
空心是贯通整个玉琮的内圆柱，总高为 ，
所以玉琮的体积为 .
14. 设 ，若对任意实数 ，都有 ，则满足条件的一组实数
的值依次为__________.
【答案】2，3， （答案不唯一）
【解析】
【分析】利用诱导公式，结合 的取值范围和等式恒成立可得 的一组值.
【详解】因 ，
且当 时，等式 对任意实数 都成立，
所以 ， ， 满足条件需求.
故满足条件的一组实数 的值依次为：2，3， （答案不唯一）.
15. 已知函数 .给出下列四个结论：
①当 时， 为偶函数；
②当 时，对任意 ，都有 ；
③当 时， 在 上单调递减；
④存在实数 ，使得 有 2 个零点.
其中正确结论的序号为__________.
【答案】①②③
【解析】
【分析】利用偶函数定义判断①；利用导数确定单调性判断②③；确定零点个数判断④.
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【详解】函数 的定义域为 ，
对于①，当 时， ， ， 为偶函数，①正确；
对于②，当 时， ，求导得 ，
函数 在 上单调递减，恒有 ，②正确；
对于③，当 时， ，
当 时， ；当 时， ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递减，因此 在 上单调递减，③正确；
对于④，函数 的零点即为方程 的根，
亦即函数 的图象与直线 交点的横坐标，
在同一坐标系内画出函数 的图象及直线 ，如图：
直线 过定点 ，令 与函数 相切的切点为 ，
由 ，求导得 ，则 ，解得 ，
则当 时，函数 的图象与直线 有 1 个交点；
当 时，直线 还过点 ，函数 的图象与直线 有 1 个交点；
当 时，直线 还过点 ，函数 的图象与直线 有 1 个交点，
因此当 时，函数 的图象与直线 有 1 个交点；
当 时，函数 的图象与直线 没有交点；
当 时，由对称性得函数 的图象与直线 有 1 个交点，
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所以不存在实数 ，使得 有 2 个零点，④错误.
三､解答题：本大题共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，在三棱柱 中， 平面 ， 分别为
的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ，先证四边形 为平行四边形，则根据线面平行的判定
定理证明；
（2）因为 两两垂直，如图建立空间直角坐标系 ，利用空间向量法求二面角.
【小问 1 详解】
取 的中点 ，连接 ，
因为 分别为 的中点，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以四边形 为平行四边形.
所以 ，因为 平面 平面 ，
所以 平面 .
【小问 2 详解】
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由题知 平面 ，所以 ，
又因为 ，
所以 两两垂直，如图建立空间直角坐标系 .
所以 ，
则 .
根据题意平面 的一个法向量是 ，设平面 的法向量为 ，
则 即 ，
令 ，则 .于是 ，
设二面角 的平面角为 ，
则 ，由图可知 为锐角，所以 .
17. 随着机器人的智能化､精细化发展，市场对其零部件的质量要求不断提高.现有甲､乙两台车床分别加工
某种机器人的同一型号的零件.为评估这两台车床加工零件的质量，随机抽取甲､乙两台车床加工的零件各
100 个，记录零件质量检测结果，并整理得到数据如下表：
等级 优等品 非优等品
甲车床加工的零件数 75 25
乙车床加工的零件数 80 20
假设不同零件的质量等级相互独立，用频率估计概率.
（1）分别估计甲､乙两台车床加工的零件是优等品的概率 ；
（2）从甲车床加工的零件中随机抽取 1 个，乙车床加工的零件中随机抽取 2 个.设 为这 3 个零件中优等
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品的个数，估计 的数学期望；
（3）在某一时段内，甲､乙两台车床加工的零件数之比为 ，现从这些零件中随机抽取 1 个，设该零件是
优等品的概率估计值为 ，判断 与 的大小.（结论不要求证明）
【答案】（1） ， ；
（2） ；
（3） .
【解析】
【分析】（1）利用频率估计概率求解；
（2）求出 的可能取值，分别求出 的每个可能取值的概率，利用离散型随机变量的期望公式求出期望；
（3）甲、乙两台车床加工的零件数之比为 ，求出 和 得到 与 的大小.
【小问 1 详解】
甲车床：抽取 100 个零件，优等品有 75 个，则 ，
乙车床：抽取 100 个零件，优等品有 80 个，则 .
【小问 2 详解】
为这 3 个零件中优等品的个数， 则 的可能取值为 ，
，意味着从甲车床加工的零件中随机抽取 1 个非优等品
且乙车床加工的零件中随机抽取 2 个非优等品，
，
，意味着从甲车床加工的零件中随机抽取 1 个非优等品
且乙车床加工的零件中随机抽取 1 个优等品 1 个非优等品，
或从甲车床加工的零件中随机抽取 1 个优等品且乙车床加工的零件中随机抽取 2 个非优等品，
，
，意味着从甲车床加工的零件中随机抽取 1 个非优等品
且乙车床加工的零件中随机抽取 2 个优等品，
或甲车床加工的零件中随机抽取 1 个优等品乙车床加工的零件中随机抽取 1 个优等品 1 个非优等品，
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，
，意味着从甲车床加工的零件中随机抽取 1 个优等品
且乙车床加工的零件中随机抽取 2 个优等品，
，
.
【小问 3 详解】
，
甲、乙两台车床加工的零件数之比为 ，
现从这些零件中随机抽取 1 个，设该零件是优等品的概率估计值为 ，
则 ，
， ， .
18. 在 中， .
（1）求 ；
（2）再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，求 的面积.
条件①： ；
条件②： ；
条件③： .
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分.
【答案】（1）
（2）条件①：不存在这样的三角形；条件②：存在这样的三角形， 的面积 ；条件③：存在这
样的三角形， 的面积 .
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【解析】
【分析】（1）利用余弦定理求解即可；
（2）条件①，由 的值得到 的范围，结合 的值得到这样的三角形不存在；条件②，由 的值得
到 的范围，利用同角关系式求出 ，利用 结合两角和的正弦公式求出
，利用正弦定理求出 ，利用三角形的面积公式求出 ；条件③，由 利用
正弦定理进行边化角，结合两角和的正弦公式求出 ，利用正弦定理求出 ，利用同角关系式求出
，由 结合两角和的正弦公式求出 ，利用三角形的面积公式求出 .
【小问 1 详解】
， ，
， ， .
【小问 2 详解】
条件①， ， ，
， ，不符合题意，不存在这样的三角形；
条件②， ， ，
， ，
，
， ， ， ，
；
条件③，
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，其中 为 的外接圆的半径，
，
， ， ，
， ， ， ， ，
，
，
.
19. 已知椭圆 ，过点 ，焦距为 .
（1）求椭圆 的方程和离心率；
（2）设 为椭圆 的右焦点，过点 的直线 与椭圆 交于不同两点 （ ， 异于椭圆
的顶点）.判断光线 经过 轴反射后是否经过点 ？说明理由.
【答案】（1） ，
（2）光线 经过 轴反射后经过点
【解析】
【分析】（1）由已知条件列出关于 方程组求出 即可求解.
（2）先表示过点 的直线 的方程，与椭圆方程联立，由韦达定理得 、 ，计算求解
即可.
【小问 1 详解】
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由题可得 ，
椭圆 的方程为 ，
所以椭圆的离心率 .
【小问 2 详解】
如图
为椭圆 的右焦点， ，
设 ， ，
设过点 的直线 的方程为 ，
将直线方程与椭圆方程联立 得 ，
展开并整理得 ，
则 即 ，
且 ， ，
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，
光线 经过 轴反射后经过点 .
20. 已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
（2）若 4 是 的极小值点，证明此时 的极大值小于零；
（3）若 在定义域内单调递增，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）证明过程见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据导数 几何意义及直线的点斜式方程求解即可.
（2）根据 4 是极小值点求出 ，结合导数与单调性、极值的关系求出极大值，进一步证明即可.
（3） 在定义域内单调递增即 在定义域内恒成立，结合分离常数法及基本不等式求解即可.
【小问 1 详解】
当 时， ，则 ， ，
所以 ，
所以曲线 在 处的切线方程为： ，即 .
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【小问 2 详解】
函数 的定义域为 ， .
因为 4 是 的极小值点，所以 ，即 ，解得 .
当 时， ， ，
令 ，则 ，解得 或
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 在 处取得极大值， ，
故此时 的极大值小于零.
【小问 3 详解】
因为 在定义域 内单调递增，所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立.
在 上恒成立，也即 在 上恒成立.
又 ，当且仅当 ，即 时等号成立.
所以 ，即实数 的取值范围为 .
21. 已 知 集 合 .对 于
，定义 与 的差为 ， ；
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定义 与 之间的距离为 .
（1）若 ，写出所有的 ，使得 ；
（2）已知 ，若 ，并且 ，求 的最大值；
（3）证明： 三个数中至少有一个是偶数.
【答案】（1）
（2）
（3）证明过程见解析
【解析】
【分析】（1）根据距离的定义，找出满足 的 即可；
（2）先根据 ，分析 元素所满足的条件，再求 的最大值；
（3）首先讨论三个差 的和的奇偶性，再利用反证法，结论得证.
【小问 1 详解】
，说明 与 只有 个位置元素不同， 全为 ，因此 恰有 1 个位置为 0，其余为 ，
则所有满足条件的 为： ；
【小问 2 详解】
已知 ， ，
， ，
即 和 中恰好各有 个分量为 （其余为 ）
设 的 的位置集合为 ， 的 0 的位置集合为 ,则 ，
则 ，而 的最小值为 ，
因此 的最大值为
【小问 3 详解】
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证明：
对任意位置 ，讨论三个差 的和的奇偶性：
若 全相同：三个差都为 ，和为偶数；
若两个相同一个不同：不妨设 ，则三个差为 ，和为 ，仍是偶数；
所有位置求和得： 是偶数；
若三个数全为奇数，总和为奇数，与上述结论矛盾，因此三个数中至少有一个是偶数，得证.