北京市密云区2021-2022学年高三下学期期中数学试卷（无答案）

密云区2021-2022学年第二学期期中考试 

高三数学试卷     2022.4

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知集合，且，则可以是

　 A．         B．         C．         D．

2．已知，，，则的值为

A．2             B．              C．             D．

3．已知为等差数列，为其前项和，若，则公差等于

A．3             B．             C．             D．

4．已知复数（其中），则下面结论正确的是

A．                      

B．      

C．

D．在复平面上，对应的点在直线上

5．二项式的展开式中含项的系数是

A．             B．             C．              D．15

6．已知，则下列各式中一定成立的是

A．                               B．    

C．                    D．

7．在中，角的对边分别是，则“”是“”的

　  A．充分而不必要条件              　　B．必要而不充分条件  

C．充分必要条件    　　　　　　　　　　D．既不充分也不必要条件

8．设函数在的图象大致如图所示，则的最小正周期为

A．              B．          

C．               D．

9．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数叫做素数），如36＝5＋31．在不超过36的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于36的概率是

A．             B．             C．              D．

10．正方体的棱长为1, 分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱、交于，设，，则下列结论中不正确的是

A．四边形为平行四边形

B．若四边形面积,,则有最小值

C．若四棱锥的体积，，则常函数         

D．若多面体的体积，，则为单调函数

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．已知抛物线，则抛物线的准线方程是          ．

12．已知成等比数列，且，则=         ．

13．银行储蓄卡的密码由6位数字组成，某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，如果记得密码的最后1位是偶数，则第2次按对的概率是______．

14．设，为双曲线的两个焦点，若双曲线的两个顶点恰好将线段三等分，则双曲线的离心率为____；渐近线方程为______．

15．已知点，和点，．给出下列四个结论

①点到直线的最大距离为；   

②当最大时，=；

③的面积的最大值为；

④若，则．

其中所有正确结论的序号是________．

三、解答题: 本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16．（本小题满分14分）

在△中，内角，，的对边分别为，，，且，．再在条件①、条件②、条件③中选择1个作为已知，使得△存在并且唯一．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求△的面积．

条件①；条件②；条件③．

注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

17．（本小题满分14分）

从2008年的夏季奥运会到2022年的冬季奥运会，志愿者身影成为“双奥”之城的“最美名片”．十几年间志愿精神不断深入人心，志愿服务也融入社会生活各个领域．2022年的北京冬奥会共录用赛会志愿者18000多人．中学生志愿服务已经纳入学生综合素质评价体系，为了解中学生参加志愿服务所用时间，某市教委从全市抽取部分高二学生调查2020—2021学年度上学期参加志愿服务所用时间，把时间段按照，，，，分成5组，把抽取的600名学生参加志愿服务时间的样本数据绘制成如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）根据频率分布直方图，用每一个小矩形的中点值代替每一组时间区间的平均值，估计这600名高二学生上学期参加志愿服务时间的平均数．并写出这600个样本数据的第75百分位数的一个估计值．

（Ⅱ）若一个学期参加志愿服务的时间不少于3.5小时视为“预期合格”，把频率分布直方图中的频率视为该市高二学生上学期参加志愿服务时间的概率，从全市所有高二学生中随机抽取3名学生，设本学期这3名学生中达到“预期合格”的人数为，求的分布列并求数学期望．

（Ⅲ）用每一个小矩形的中点值代替每一组时间区间的平均值，把时间段在的数据组成新样本组A，其方差记为，把时间段在的数据组成新样本组B,其方差记为，原来600个样本数据的方差记为，试比较，，的大小（结论不要求证明）．

18．（本小题满分15分）

如图所示，在直三棱柱中，，，点分别为棱，的中点，点是线段上的点（不包括两个端点）．

（Ⅰ）设平面与平面ABC相交于直线m, 求证：；

（Ⅱ）当为线段的中点时，求点到平面的距离；

（Ⅲ）是否存在一点，使得二面角的余弦值为，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由．

19．（本小题满分14分）

已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，求证: 函数存在极小值；

（Ⅲ）请直接写出函数的零点个数．

20．（本小题满分14分）

已知椭圆的一个顶点坐标为，椭圆的离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的方程和椭圆的短轴长；

（Ⅱ）若过点的两条互相垂直的直线分别交椭圆于两点，（，与不重合），试判断直线是否经过定点，若经过定点，求出定点坐标；若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）作于点，则存在定点，使得为定值，请写出这个定值（只要求写出结果）．

21．（本小题满分14分）

设且，集合，若对的任意元子集，都存在，满足：，，且为偶数，则称为理想集，并将的最小值记为．

（Ⅰ）当时，是否存在理想集？若存在，求出相应的；若不存在，请说明理由．

（Ⅱ）当时，是否存在理想集？若存在，直接写出对应的 以及满足条件的；若不存在，请说明理由．

（Ⅲ）证明：当时，．

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）