2023届北京市密云区高三上学期阶段练习数学试题（解析版）

2023届北京市密云区高三上学期阶段练习数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据集合的交集运算即可求解.

【详解】解：，

，

故选：D.

2．在复平面内，若复数对应的点为，则（    ）

A． B．5 C． D．

【答案】A

【分析】由题知，再计算即可.

【详解】解：因为复数对应的点为，

所以，

所以，.

故选：A

3．已知，则下列不等式中成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】令即可解决.

【详解】因为，

令，可知

由指数函数单调性易知，，故A正确；，故B错误；，故C错误；，故D错误；

故选：A

4．下列函数中既是奇函数又在上单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据函数奇偶性的判断，以及单调性即可求解.

【详解】对于A：既不是奇函数也不等式偶函数，故选项A不正确；

对于B: ，所以是奇函数，因为，所以在上不是单调递增，故选项B不正确；

对于C，为奇函数，且在区间上单调递增，符合题意；

故选项C正确；

对于D，,为偶函数，不符合题意. 故选项D不正确；

故选：C.

5．如图，在平行四边形中，下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用相等向量可判断A选项；利用平面向量的加法可判断BD选项；利用平面向量的减法可判断C选项.

【详解】对于A选项，，A错；

对于B选项，，B错；

对于C选项，，C对；

对于D选项，，D错.

故选：C.

6．已知是等比数列，则“”是“为递减数列”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由求出公比的取值范围，然后结合等比数列的通项即可判断数列的单调性，举出反例说明为递减数列不一定能得到，再根据充分条件和必要条件即可得出答案.

【详解】解：设数列的公比为，

若，

则，所以，

则，

，所以，

所以为递减数列；

若为递减数列，

当时，，数列为递减数列，

此时，

所以由为递减数列不一定能得到，

所以“”是“为递减数列”的充分而不必要条件.

故选：A.

7．已知向量，满足，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先对平方可求，然后利用夹角公式求解.

【详解】因为，所以，即；

因为，，所以，又

所以.

故选：B.

8．若曲线在某点处的切线的斜率为1，则该曲线不可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求得的导函数，通过方程根的情况判断选项A；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项B；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项C；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项D.

【详解】选项A：，则，由，可得

则在处的切线的斜率为1.

选项B：，则，由，可得

则在处的切线的斜率为1

选项C：，则，由，可得

则在处的切线的斜率为1

选项D：，则，则，

则不存在斜率为1的切线

故选：D

9．已知角的终边绕原点逆时针旋转后与角的终边重合，且，则的取值可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意易得，列出余弦函数方程解出即可.

【详解】由于角的终边绕原点逆时针旋转后与角的终边重合，

所以，

所以，即，解得，

当时，，

故选：C.

10．石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创的横梁中轴结构，风格现代简约.“梦想之星”摩天轮直径米，总高约米，匀速旋转一周时间为分钟，配有个球形全透视度全景座舱.如果不考虑座舱高度等其它因素，该摩天轮的示意图如图所示，游客从离地面最近的位置进入座舱，旋转一周后出舱.甲乙两名同学通过即时交流工具发现，他们两人进入各自座舱的时间相差分钟.这两名同学在摩天轮上游玩的过程中，他们所在的高度之和的最大值约为（    ）

A．米 B．米 C．米 D．米

【答案】C

【分析】角速度为，游客从离地面最近的位置进入座舱，游玩中到地面的距离为

，进而甲乙在摩天轮上游玩的过程中他们所在的高度之和，再利用三角函数值域的研究方法求解即可

【详解】因为角速度为，

所以游客从离地面最近的位置进入座舱，游玩中到地面的距离为

，

由题意可得甲乙在摩天轮上游玩的过程中他们所在的高度之和

，

因为，

所以，

所以，，

所以，

所以，即他们所在的高度之和的最大值约为，

故选：C

二、填空题

11．函数的定义域是___________.

【答案】且##

【分析】利用具体函数的定义域求法求解即可.

【详解】由题可知且，得且

故答案为：且

12．已知向量，.若，则___________.

【答案】

【分析】利用平面向量共线向量定理求解.

【详解】解：因为向量，，且，

所以，

解得，

故答案为：

13．关于函数，给出下列四个结论：

①是奇函数；

②0是的极值点；

③在上有且仅有1个零点；

④的值域是.

其中，所有正确结论的序号为___________.

【答案】①③④

【分析】利用函数的奇偶性、极值、零点、值域分析每一个选项得解

【详解】对于①，,

所以函数是奇函数，所以①正确.

对于②，，

当时，，所以在单调递增

当时，，所以在单调递增

所以 不是函数的极值点，所以②不正确.

对于③，由，当，，

所以在单调递增，又，

所以函数在上有且仅有1个零点，所以③正确.

对于④，函数在R上连续，当时

所以的值域是.所以④正确

故答案为：①③④

三、双空题

14．已知数列的通项公式，数列的前项和为，当时，求______；若数列的前项和最小值为，则此时可以为___________.

【答案】     ；     （答案不唯一）

【分析】（1）由通项公式直接可求得；

（2）根据数列的函数性质列不等式组即可求解.

【详解】当时，，

则.

由于是关于的一次函数，

而，由于数列的前项和有最小值，则必有，

因为数列的前项和最小值为，则有，且，

即，解得，

当时，

当时，；当时，，满足题意，

故答案为：；18（答案不唯一）

15．如图，在中，，，.为内部（包含边界）的动点，且.则___________；的取值范围___________.

【答案】     4    

【分析】方法1：

①由正弦定理求得，进而可求得b，可得在是等腰三角形，取BC的中点E，在中可求得AE，再由可求得的值.

②设 ，，则展开计算，转化为三角函数在给定区间上求值域，即可得结果.

方法2：

①由余弦定理求得b的值，再由即可求出；

②以A为原点建系，设 ，则可得，转化为三角函数在给定区间上求值域，即可得结果.

【详解】方法1：①在中，由正弦定理得： 即：

解得：.

又∵，∴，∴

∴，

取BC的中点E，连接AE，如图所示，

则：， ，

∴在中， ，

∴，

②设 ，则 ，

，

∵，∴，∴，

故的范围是：；

方法2：①在中，由余弦定理 ，

即： ，解得：或（舍），

，

∴，

②以A为原点，AB所在的直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，

设 ，则P点的坐标为，B点的坐标为 ，

C点的坐标为 ，

∴ ，，

∴，

∵，∴，∴，

∴，

即：，故的范围是：，

故答案为：4；.

四、解答题

16．已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列.

（1）求数列和的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1），；（2）

【详解】试题分析：（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论;（2）利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列前n项和．

试题解析：

（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由题意得

d= = = 3．∴an=a1+（n﹣1）d=3n

设等比数列{bn﹣an}的公比为q，则

q3= = =8，∴q=2，

∴bn﹣an=（b1﹣a1）qn﹣1=2n﹣1， ∴bn=3n+2n﹣1

（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=3n+2n﹣1， ∵数列{3n}的前n项和为n（n+1），

数列{2n﹣1}的前n项和为1× = 2n﹣1，

∴数列{bn}的前n项和为；

【解析】1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；3.数列求和．

17．已知函数的图象经过点.

（1）求的值，并求函数的单调递增区间；

（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)；的单调递增区间为.

(2).

【详解】分析：（1）利用倍角公式和辅助角公式可以求得，然后再利用正弦函数的单调性即可得出单调区间；

（2）由，可得，可得的取值范围是，根据不等式恒成立，即，从而求得结果.

详解：（1）

因为经过点，所以，，

因为的单调递增区间为

所以

所以

所以的单调递增区间为.

（2）由（1）知，

因为，所以，

当，即时，，

因为恒成立即，所以所.

点睛：该题考查的是有关三角函数的恒等变换以及恒成立问题，涉及到的知识点有倍角公式、辅助角公式、正弦函数的单调性、三角函数在闭区间上的最值等，在解题的过程中，注意正确使用公式，再者就是将恒成立问题转化为最值来处理即可.

18．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求函数的单调区间．

【答案】(1)

(2)单调递增区间为：，单调递减区间为：

【分析】（1）求导，根据导函数在某点处的导数值是切线的斜率即可求解，（2）根据导函数的正负即可确定的单调区间.

【详解】（1）由得，

故，所以切线方程为：

（2）的定义域为，由（1）知：当，单调递减，当，单调递增，当，单调递减，

故的单调递增区间为：，单调递减区间为：

19．中，角，，的对边分别为，，，设面积为，已知下列四个条件中，只能同时满足其中三个，①；②；③；④.

(1)请指出这三个条件，并说明理由；

(2)求的周长.

【答案】(1)在同时满足条件①③④，理由见解析

(2)

【分析】（1）先假设②满足，证明出③必满足.再由①满足，得到④必满足；①不满足，则④不满足.判断出②不符合.（2）由条件①③④，先利用面积公式求出，得到为等腰三角形，利用三角公式求出，利用余弦定理求出c，即可求出的周长.

【详解】（1）在同时满足条件①③④，理由如下：

若满足条件②，已知，

可得，且.

因为，

所以，即满足③.

若满足条件①，则，即满足④.

此时四个条件都满足，不合题意.

若不满足条件①，，

即不满足④，此时①④两个条件都不满足，不合题意.

综上，条件②不满足，所选三个条件只能是①③④.

（2）选条件①③④，

因为，

所以

因为，此时或，

又因为，

所以.

若，则有，满足条件②不合题意.

所以，

由余弦定理得，

所以.

所以的周长为：

20．已知函数.

(1)当时，求函数的极小值；

(2)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围；

(3)若曲线存在两条互相垂直的切线，求实数的取值范围.（只需直接写出结果）

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）对求导，利用导数与函数的单调性易得的极小值；

（2）法一：将问题转化为在区间上的最小值小于等于，再分类讨论、、与四种情况下在区间上的最小值，从而得解；

法二：在法一的启发下，分类讨论与两种情况，在时取点满足有解；在时求得在区间上的最小值，从而得解.

（3）分类讨论与两种情况，研究是否存在即可.

【详解】（1）依题意得，函数的定义域为，

当时，，则，

令，解得或，

所以当变化时，，的变化情况如下表：

当时，函数取得极小值.

（2）法一：

因为在区间上有解，所以在区间上的最小值小于等于，

因为，令，得，，

当时，即时，

因为对成立，所以在上单调递增，

此时在上的最小值为，

所以，

解得，所以此种情形不成立；

当，即时，

若，则对成立，所以在上单调递增，

此时在上的最小值为，所以，

解得，所以；

若，

若，则对成立，对成立.

则在上单调递减，在上单调递增，

此时在上的最小值为，

所以有显然成立，可得；

当时，注意到，而，此时结论成立；

综上，的取值范围是.

法二：

因为在区间上有解，

所以在区间上的最小值小于等于，

当时，显然，而成立；

当时，对成立，所以在上单调递增，

此时在上的最小值为，

所以有，

解得，所以；

综上，.

（3）因为，

所以当时，，故不存在，不满足题意；

当时，

的两个根为，

此时，

当，即时，令，得或；令，得；

由于当时，，

结合二次函数的性质可得，当时，，

故存在，使得；

当，即时，令，得或；令，得，

由于当时，，

结合二次函数的性质可得，当时，，

故存在，使得；

综上：，故的取值范围是.

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：

一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；

二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

21．已知每项均为正整数的数列，，，，，，其中等于的项有个，设，．

（）设数列，，，，求，，，，．

（）若数列满足，求函数的最小值．

【答案】(）；；；；．

（）．

【详解】分析：（）直接根据，，利用列举法求解即可；（）先证明，设整数，可得最小值为，，由．，从而可得结果.

详解：（）根据题目中定义，

，，，，，

，，，，，

，

，

，

，

．

（）∵，由“数列含有项”及的含义知，

∴，

即，

又∵设整数，

当时，必有，

∴，

∴最小值为，

∵

，

∵．，

∴最小值为．

点睛：本题考查数列的增减性、数列的最小项与数列求和以及新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.