8.一元二次方程——初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）2026学年中考一轮复习

这是一份8.一元二次方程——初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）2026学年中考一轮复习试卷主要包含了基础题，能力题，拓展题等内容，欢迎下载使用。
一、基础题
1．关于 x 的一元二次方程 x2+mx−1=0 根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．不能判定
2．2024年10月30日，搭载3名宇航员的神舟十九号飞船发射圆满成功，某航天科普网站的浏览量猛增，10月份该网站的浏览量为100万人次，第四季度总浏览量为600万人次，如果浏览量平均每月增长率为x，则应列方程是（ ）
A．100(1+x)2=600B．100+100×2x=600
C．100+100(1+x)=600D．100+100(1+x)+100(1+x)2=600
3．若关于x的一元二次方程a+2x2+x+a2−4=0的一个根是x=0，则a的值为（ ）
A．2B．−2C．2或−2D．12
4．若方程x2−k−1x−1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围
5． 已知x1，x2 是方程. 2x2−3x+1=0的两根，则代数式 x1+x21+x1x2的值为 .
6．解下列一元二次方程：
（1）（x-1）2=2；
（2）x2=8x+9；
（3）（x+4）（x-2）=3（x-2）；
（4）2x2-x-5=0.
7．解下列方程：
（1）(x+1)2−81=0．
（2）x2+4x−5=0．
8．“城是济南城，湖是大明湖，楼是超然楼”是网友为超然楼写的广告词．随旅游旺季的到来，大明湖超然楼景区的游客人数逐月增加，4月份游客人数约为16万人次，6月份游客人数约为25万人次．
（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
（2）若增长率保持不变，请求出7月份的游客人数．
9． 已知关于x的一元二次方程x2−3mx+m2−2=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为x=0，且m为正数，求m的值．
10．小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型LED护眼台灯，成本是20元/盏，在“双十一”前20天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏．护眼台灯的销售价格y（元/盏）与时间x（天）之间符合函数关系式y=14x+25（1≤x≤20，且x为整数）．
（1）求日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式；
（2）在这20天中，哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）“双十一”当天，小亮采用如下促销方式：销售价格比前20天中最高日销售价格降低a元；日销售量比前20天最高日销售量提高了7a盏；日销售利润比前20天中的最大日销售利润多了30元，求a的值．（注：销售利润=售价-成本）．
二、能力题
11．正比例函数y=mx的图象过二、四象限，则关于x的一元二次方程x2−2x+m=0的根的情况描述准确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有实数根
C．有两个相等的实数根D．没有实数根
12．若方程x2＋4x＋a＝0无实根，化简16−8a+a2等于（ ）
A．4﹣aB．a﹣4C．﹣（a＋4）D．无法确定
13．某网络学习平台2021年的新注册用户数为81万，2023年的新注册用户数为144万．设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），则有（ ）
A．81（1＋2x）＝144B．81（1＋x2）＝144
C．81（1＋x）2＝144D．144（1－x）2＝81
14．已知 x1，x2 是一元二次方程 x2−2x=0 的两个实数根，则下列结论中错误的是（ ）
A．x1≠x2B．x12−2x1=0C．x1+x2=2D．x1⋅x2=2
15． 定义新运算：a⊗b=a2−b(a≤0)−a+b(a>0)例如：−2⊗4=(−2)2−4=0，2⊗3=−2+3=1．若x⊗1=−34，则x的值为 ．
16．如果 x=2 是方程 x2−c=0 的一个根，这个方程的另一个根为 .
17．解方程：
（1）x−32=9；
（2）2xx−3=x−3．
18．解方程：
（1）x2−1=0；
（2）xx+1=2x+2．
19．已知关于 x 的一元二次方程 x2−2x−3m2=0 .
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为 α ， β ，且 α+2β=5 ，求 m 的值.
20．某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
（3）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
三、拓展题
21．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从A沿AC边向C点以1cm/s的速度移动，在C点停止，点Q从C点开始沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，在B点停止．
（1）如果点P，Q分别从A、C同时出发，经过2秒钟后，S△QPC= cm2；
（2）如果点P从点A先出发2s，点Q再从点C出发，问点Q移动几秒钟后S△QPC=4cm2?
（3）如果点P、Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟后PQ=BQ?
22．定义：我们把关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0与cx2+bx+a=0(ac≠0,a≠c)称为一对“友好方程”．如2x2−7x+3=0的“友好方程”是3x2−7x+2=0．
（1）写出一元二次方程x2+3x−10=0的“友好方程” ．
（2）已知一元二次方程x2+3x−10=0的两根为x1=2，x2=−5，它的“友好方程”的两根x3=12、x4= ．根据以上结论，猜想ax2+bx+c=0的两根x1、x2与其“友好方程”ax2+bx+c=0的两根x1、x2之间存在的一种特殊关系为 ，证明你的结论．
（3）已知关于x的方程2021x2+bx−c=0的两根是x1=−1，x2=12021．请利用（2）中的结论，求出关于x的方程c(x−1)2−bx+b=2021的两根
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：∵一元二次方程为x2+mx−1=0，
∴△=m2-4×1×（-1）=m2+4，
∵△=m2+4＞0，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△0，
∴k>−3；
又∵k−1≥0，
∴k≥1，
综上：k≥1；
故答案为：k≥1.
【分析】根据一元二次方程根的情况，若方程有两个不相等的实数根，列出判别式大于零，再根据二次根式的有意义的条件，进行求解即可．
5．【答案】1
【解析】【解答】解：∵x1+x2=32，x1x2=12，
∴x1+x21+x1x2=321+12=1
故答案为：1.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出x1+x2和x1x2的值，将所求的值代入代数式即可求解.
6．【答案】（1）解：（x-1）2=2
两边开平方可得：x+1=±2
解得：x1=1−2，x2=1+2
（2）解：x2=8x+9
移项可得：x2-8x-9=0
∴(x+1)(x-9)=0
∴x+1=0或x-9=0
解得：x1=-1，x2=9
（3）解：（x+4)(x-2）=3(x-2)
移项可得：(x+4)(x-2)-3(x-2)=0
∴(x+4-3)(x-2)=0
∴x+4-3=0或x-2=0
解得：x1=-1，x2=2
（4）解：2x2-x-5=0
∴x=1±−12−4×2×−52×2
解得：x1=1−414，x2=1+414
【解析】【分析】（1）根据直接开平方法解方程即可求出答案.
（2）根据因式分解法解方程即可求出答案.
（3）根据因式分解法解方程即可求出答案.
（4）根据公式法解方程即可求出答案.
7．【答案】（1）解：原方程即为(x+1)2=81，
两边开平方，得x+1=±9，
解得：x1=8，x2=−10。
（2）解：原方程可变形为x−1x+5=0，
∴x−1=0或x+5=0，
解得：x1=1，x2=−5．​​​​​
【解析】【分析】（1）将81移项后，可以利用直接开平方法进行计算，得出x+1=±9，然后求解即可；
（2）将原方程利用十字相乘法因式分解，变形得到x−1x+5=0，然后求解即可。
（1）解：原方程即为(x+1)2=81，
两边开平方，得x+1=±9，
解得：x1=8，x2=−10；
（2）解：原方程可变形为x−1x+5=0，
∴x−1=0或x+5=0，
解得：x1=1，x2=−5．
8．【答案】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率是x，
根据题意可列方程为：16（1+x）2=25，
解得：x=0.25或x=-2.25（不符合题意，故舍去），
∴0.25=25%，
答： 这两个月中该景区游客人数的月平均增长率是25%.
（2）解：根据题意可知，7月份的游客人数=25×（1+25%）=25×1.25=31.25万人，
答：7月份的游客人数是31.25万人.
【解析】【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，根据4月份和6月份的游客人数列出一元二次方程，求解即可得出答案；
（2）由（1）可知月增长率，据此列式计算即可得出答案.
（1）解：设月平均增长率为x
由题意可得16(x+1)2=25
解得x1=0.25，x2=−2.25（不合题意，舍去）
答：这两个月平均增长率为25%．
（2）25×(1+25%)=31.25（万人）
答：7月份的游客人数为31.25万人．
9．【答案】（1）证明： ∵△=(−3m)2−4(m2−2)=5m2+8>0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵该方程的一个根为x=0，
∴m2−2=0,解得 m=±2,
∵m是正数，
∴m=2.
【解析】【分析】(1)求出判别式 Δ=−3m2−4m2−2=5m2+8>0，据此可得答案；
(2)将x=0代入方程，解关于m的方程可得m的值.
10．【答案】（1）解：设该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系为p=kx+b，代入数据得：
k+b=782k+b=76，
解得：k=−2b=80，
∴日销售量p（盏）与时间x（天）之间函数关系为p=−2x+80；
（2）解：设日销售利润用w表示，
w=(−2x+80)(14x+25−20)
=−12x2+10x+400
=−12(x−10)2+450，
当x=10时，销售利润最大，w最大=450元；
（3）解：∵p=−2x+80，k=-2＜0，y随x的增大而减小，
∴x=1时，p最大=−2×1+80=78盏，小亮采用如下促销方式：日销售量为（78+7a），
∵y=14x+25，k=14＞0，y随x的增大而二增大，x=20时y最大=14×20+25=30元/盏，
∴小亮采用如下促销方式：销售价格为（30-a）元/盏，
根据题意：(30−a−20)(78+7a)=450+30，
整理得7a2+8a−300=0，
解得a1=6，a2=−507（舍去），
∴a的值为6．
【解析】【分析】 （1）设该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系为p=kx+b，利用待定系数法可求得函数关系式；
（2）设日销售利润用w表示，根据题意可得w=(−2x+80)(14x+25−20)=−12(x−10)2+450，根据二次函数的性质可得当x=10时，销售利润最大，w最大=450元；
（3）先求出前20天最高日销售量和最高日销售价，再根据题意列方程求解即可。
11．【答案】A
【解析】【解答】解：∵正比例函数y=mx的图象过第二、四象限，
∴m0，
∴方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，
故选：A．
【分析】
由正比例函数的图象与系数的关系可得m