2026年广东省深圳市罗湖区34校联考中考数学模拟试卷（3月份）有答案

这是一份2026年广东省深圳市罗湖区34校联考中考数学模拟试卷（3月份）有答案，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）若一个几何体的主视图、左视图、俯视图都相同，则该几何体有可能是（ ）
A．球B．圆锥C．圆柱D．三棱柱
2．（3分）下列各组多边形中，一定相似的是（ ）
A．两个矩形B．两个等边三角形
C．两个菱形D．两个等腰三角形
3．（3分）甲、乙、丙三根木棒立于地面上，某一时刻，它们在阳光下的影长分别为1m，2m，1.5m，则三根木棒中最长的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．无法确定
4．（3分）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（ ）
A．6.2（1+x）2＝8.9
B．8.9（1+x）2＝6.2
C．6.2（1+x2）＝8.9
D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2＝8.9
5．（3分）将抛物线y＝x2﹣4x+3平移，使它平移后图象的顶点为（﹣2，4），则需将该抛物线（ ）
A．先向右平移4个单位，再向上平移5个单位
B．先向右平移4个单位，再向下平移5个单位
C．先向左平移4个单位，再向上平移5个单位
D．先向左平移4个单位，再向下平移5个单位
6．（3分）如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2=k2x的图象相交于A、B两点，其中A点的横坐标为3，当y1＜y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣3或x＞3B．x＜﹣3或0＜x＜3
C．﹣3＜x＜0或0＜x＜3D．﹣3＜x＜0或x＞3
7．（3分）如图，有一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长为（ ）
A．60mmB．48mmC．36mmD．24mm
8．（3分）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面120m的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为22°，再将无人机沿水平方向飞行73m到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为45°（点M，N，A，B在同一平面内），则潮汐塔AB的高度为（ ）（结果精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40）
A．41mB．42mC．43mD．77m
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（3分）若5a＝3b，b≠0，则a+bb= ．
10．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2026x﹣2027＝0的两个实数根，则x1+x2＝ ．
11．（3分）《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，截至目前全球票房已破159.49亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点B为AC的黄金分割点（BC＞AB），已知哪吒在剧中的身高AC设定为80cm，则其头部的长度AB是 ．
12．（3分）如图，已知△OAB的一边AB平行于x轴，且反比例函数y=kx经过△OAB顶点B和OA上的一点C，若OC＝2AC且△OBC的面积为103，则k的值为 ．
13．（3分）如图，菱形ABCD中，tan∠ABD=815，点E在边AD上，点F在对角线BD上，作AG⊥BE，EG∥AF交AG于点G．若AGBE=815，则DEBF= ．
三、解答题（本题共7小题，共61分）
14．（8分）计算：(π−2022)0−3tan30°+2−1⋅4；
解方程：（2x﹣1）2＝（3﹣x）2．
15．（8分）中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 人，条形统计图中m的值为 ，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为 ；
（2）若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为 人；
（3）若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率．
16．（6分）已知O是坐标原点，A，B的坐标分别为（3，0），（2，2）．
（1）把△OAB绕点O逆时针方向旋转90°得到△ODE，请在坐标系中作出△ODE；
（2）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似图形△OA1B1，使新图与原图的相似比为2：1；
（3）直接写出△OA1B1的面积．
17．（9分）依据下面的素材，完成表格中的任务．
18．（8分）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，且AO＝BO．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）①用圆规和无刻度直尺在图中作∠ADB的角平分线DE交AB于点E，保留作图痕迹，不用写出作法和理由；
②在①的条件下，当AD＝10，cs∠ADB=513时，求AE的长．
19．（10分）【情境与问题】
在研究二次函数y＝2x2+1时，小明得到了下表：
观察上表，自变量x从左到右依次取连续的整数，若保持这一规律不变，继续扩展表格，那么，表格中的数据间会有什么特殊规律吗？
【探索与发现】
如上表，用一个倒“T”形的套色方框（如图）框住了表格中的四个数，若将套色方框左右移动，可框住另外四个数．设四个数中，上面的数为t，下面三个数从左到右依次为l，m，n（如图）．
（1）写出n与t间的函数关系式为 ．
（2）小明发现：l+n2−m为定值．小明的发现正确吗？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．
【联系与拓广】
（3）①t为何值时，n﹣2m的值最大？
②若二次函数y＝ax2+bx+c在x＝2026，2028，2030时的函数值分别为p，q，r，且p+r2−q=10，则a＝ ．
20．（12分）（1）发现：如图1所示，BD是矩形ABCD的对角线，作AF⊥BD交BD于点F，交BC于点E．求证：△ABE∽△BCD；
（2）探究：如图2，点G是矩形ABCD边BC上一点，连接DG，过点D作AF⊥DG交BC于点G，ABBC=611，探究AEDG的值；
（3）拓展：在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点P为BC边上的三等分点，点E和F分别为直线AD和BC上的点，将矩形ABCD沿直线EF翻折，点P恰好落在边CD上的点Q处，求EFPQ的值．
2026年广东省深圳市罗湖区34校联考中考数学模拟试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.）
1．（3分）若一个几何体的主视图、左视图、俯视图都相同，则该几何体有可能是（ ）
A．球B．圆锥C．圆柱D．三棱柱
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：∵球的三视图都为圆；正方体的三视图都为正方形，
∴一个几何体的主视图、左视图、俯视图都相同，这个几何体可能是球体或正方体．
故选：A．
【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力和对立体图形的认识．
2．（3分）下列各组多边形中，一定相似的是（ ）
A．两个矩形B．两个等边三角形
C．两个菱形D．两个等腰三角形
【分析】根据矩形、等边三角形、菱形、等腰三角形的性质、相似多边形的概念判断．
【解答】解：A、两个矩形对应角相等，但对应边不一定成比例，不一定相似；
B、两个等边三角形，三个角对应相等，对应边成比例，一定相似；
C、两个菱形，对应角不一定相等，不一定相似；
D、两个等腰三角形，对应角不一定相等，不一定相似；
故选：B．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质、菱形、矩形、等边三角形、等腰三角形的性质，掌握相似多边形的判定定理是解题的关键．
3．（3分）甲、乙、丙三根木棒立于地面上，某一时刻，它们在阳光下的影长分别为1m，2m，1.5m，则三根木棒中最长的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．无法确定
【分析】根据木棒的影长与物长成正比即可得到结论．
【解答】解：∵甲、乙、丙三根木棒立于地面上，某一时刻，它们在阳光下的影长分别为1m，2m，1.5m，
∴三根木棒中最长的是乙，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握影长与物长成正比是解题的关键．
4．（3分）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（ ）
A．6.2（1+x）2＝8.9
B．8.9（1+x）2＝6.2
C．6.2（1+x2）＝8.9
D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2＝8.9
【分析】利用该地92号汽油五月底的价格＝该地92号汽油三月底的价格×（1+该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得6.2（1+x）2＝8.9，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的感觉．
5．（3分）将抛物线y＝x2﹣4x+3平移，使它平移后图象的顶点为（﹣2，4），则需将该抛物线（ ）
A．先向右平移4个单位，再向上平移5个单位
B．先向右平移4个单位，再向下平移5个单位
C．先向左平移4个单位，再向上平移5个单位
D．先向左平移4个单位，再向下平移5个单位
【分析】利用配方法得到抛物线y＝x2﹣4x+3的顶点坐标为（2，﹣1），然后通过顶点的平移的规律确定抛物线的平移规律．
【解答】解：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，则抛物线y＝x2﹣4x+3的顶点坐标为（2，﹣1），
把点（2，﹣1）先向左平移4个单位，再向上平移5个单位得到点（﹣2，4），
所以将抛物线y＝x2﹣4x+3先向左平移4个单位，再向上平移5个单位，使它平移后图象的顶点为（﹣2，4）．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
6．（3分）如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2=k2x的图象相交于A、B两点，其中A点的横坐标为3，当y1＜y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣3或x＞3B．x＜﹣3或0＜x＜3
C．﹣3＜x＜0或0＜x＜3D．﹣3＜x＜0或x＞3
【分析】由正、反比例的对称性结合点A的横坐标即可得出点B的横坐标，根据函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标，即可得出不等式y1＜y2的解集．
【解答】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，点A的横坐标为3，
∴点B的横坐标为﹣3．
观察函数图象，发现：
当0＜x＜3或x＜﹣3时，正比例函数图象在反比例函数图象的下方，
∴当y1＜y2时，x的取值范围是x＜﹣3或0＜x＜3．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是找出点B的横坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数的对称性找出两函数交点的横坐标，再根据函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标解决不等式是关键．
7．（3分）如图，有一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长为（ ）
A．60mmB．48mmC．36mmD．24mm
【分析】证明△AEH∽△ABC，则EHBC=AKAD，设KD＝x，列方程解方程即可．
【解答】解：∵正方形EFGH的FG边在BC上，
∴EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∴EHBC=AKAD，
设KD＝x，
∴EF＝GH＝KD＝x，
∴x120=80−x80，
解得：x＝48，
∴这个正方形零件的边长是48mm．
故选：B．
【点评】此题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明△AEH∽△ABC是解题的关键．
8．（3分）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面120m的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为22°，再将无人机沿水平方向飞行73m到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为45°（点M，N，A，B在同一平面内），则潮汐塔AB的高度为（ ）（结果精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40）
A．41mB．42mC．43mD．77m
【分析】延长BA交MN于点C，则BC⊥MN，由题意得，BC＝120m，MN＝73m，分别解Rt△CNB和Rt△AMC，依次求出CN、MC、AC，最后根据线段的和差关系即可求解．
【解答】解：延长BA交MN于点C，则BC⊥MN，
由题意得，BC＝120m，MN＝73m，
在Rt△CNB中，∠CNB＝45°，
∴∠CNB＝∠CBN＝45°．
∴CN＝BC＝120m．
∴MC＝MN+CN＝73+120＝193（m），
在Rt△AMC中，∠AMC＝22°，
∴AC＝MC•tan22°≈193×0.4＝77.2（m），
∴AB＝BC﹣AC＝120﹣77.2≈43（m），
即潮汐塔AB的高度约为43m．
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（3分）若5a＝3b，b≠0，则a+bb= 85 ．
【分析】由已知条件5a＝3b可得ab=35，进而代入所求表达式化简．
【解答】解：由条件可得：ab=35．
则a+bb=ab+bb=35+1=85．
故答案为：85．
【点评】本题考查了比例的性质．熟练掌握该知识点是关键．
10．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2026x﹣2027＝0的两个实数根，则x1+x2＝ 2026 ．
【分析】根据x1+x2=−ba，直接计算两根之和即可．
【解答】解：∵c＝﹣2027，a＝1，b＝﹣2026，
∴x1+x2=−ba=−−20261=2026．
故答案为：2026．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
11．（3分）《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，截至目前全球票房已破159.49亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点B为AC的黄金分割点（BC＞AB），已知哪吒在剧中的身高AC设定为80cm，则其头部的长度AB是 （120−405）cm ．
【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可．
【解答】解：由题知，
因为点B为AC的黄金分割点（BC＞AB），
所以BCAB=5−12．
因为AC＝80cm，
所以BC=5−12×80=(405−40)cm，
所以AB＝AC﹣BC＝80﹣（405−40）＝（120−405）cm．
故答案为：（120−405）cm．
【点评】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．
12．（3分）如图，已知△OAB的一边AB平行于x轴，且反比例函数y=kx经过△OAB顶点B和OA上的一点C，若OC＝2AC且△OBC的面积为103，则k的值为 8 ．
【分析】作BD⊥x轴，CE⊥x轴，AF⊥x轴，得AF∥CE，推比例线段，设点B（kn，n），推出C（3k2n，23n），再根据S△OBC＝S△OBD+S梯形BCED﹣S△COE＝S梯形BCED，求出k的值．
【解答】解：作BD⊥x轴，CE⊥x轴，AF⊥x轴，
∴AF∥CE，
∴CEAF=OCOA，
∵OC＝2AC，
∴CEAF=23，
设点B（kn，n），
∵AB∥x轴，
∴A点的纵坐标为n，
∴CE=23n，
∵点C反比例函数y=kx，
∴C（3k2n，23n），
∵S△OBC＝S△OBD+S梯形BCED﹣S△COE＝S梯形BCED，
∴12（n+23n）（3k2n−kn）=103，
解得k＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，掌握这两个知识点的应用，由图形推比例线段及C点的表示方法是解题关键．
13．（3分）如图，菱形ABCD中，tan∠ABD=815，点E在边AD上，点F在对角线BD上，作AG⊥BE，EG∥AF交AG于点G．若AGBE=815，则DEBF= 1517 ．
【分析】连接AC，分别交BD，BE于点O，M，连接OG，OE，设BD，GE相交于点N，先证明△OBE∽△OAG，得到∠EOB＝∠GOA，OGOE=OAOB，推出∠GOE＝∠AOB＝90°，得出△AOB∽△GOE，利用平行线的性质及三角形外角的性质得到∠BAF＝∠DOE，推出△DOE∽△BAF，利用相似三角形的性质即可得到答案．
【解答】解：连接AC，分别交BD，BE于点O，M，连接OG，OE，设BD，GE相交于点N，
在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∵AG⊥BE，∠AME＝∠BMO，
∴∠OBE＝∠OAG，
∵tan∠ABD=815=OAOB，AGBE=815，
∴△OBE∽△OAG，
∴∠EOB＝∠GOA，
∴OGOE=OAOB，
∴∠GOE＝∠AOB＝90°，
∴△AOB∽△GOE，
∴∠ABO＝∠GEO＝∠ADO，
∵AF∥GE，
∴∠AFD＝∠END，
∴∠ABF+∠BAF＝∠NEO+∠NOE，
∴∠BAF＝∠DOE，
∴△DOE∽△BAF，
∴DEBF=ODAB，
设OA＝8x，则OB＝OD＝15x，AB＝17x，
∴DEBF=1517．
故答案为：1517．
【点评】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
三、解答题（本题共7小题，共61分）
14．（8分）计算：(π−2022)0−3tan30°+2−1⋅4；
解方程：（2x﹣1）2＝（3﹣x）2．
【分析】（1）先根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值计算，然后进行二次根式的混合运算；
（2）先把方程两边开方得到2x﹣1＝±（3﹣x），然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（1）原式＝1−3×33+12×2
＝1﹣1+1
＝1；
（2）2x﹣1＝±（3﹣x），
即2x﹣1＝3﹣x或2x﹣1＝﹣（3﹣x），
所以x1=43，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．也考查了零指数幂、负整数指数幂和解一元二次方程．
15．（8分）中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 80 人，条形统计图中m的值为 16 ，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为 90° ；
（2）若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为 40 人；
（3）若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率．
【分析】（1）将基本了解的人数除以其所占百分比即可得到接受调查的学生总数；将接受调查的学生总数减去另外三项人数即可求出M的值；将“非常了解”占比乘以360°即可求出扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数；
（2）将该校学生总数乘以样本中该校学生中对心理健康知识“不了解”的占比即可；
（3）用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出恰好抽到2名女生的可能结果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
【解答】解：（1）∵基本了解的有40人，占50%，
∴接受问卷调查的学生共有40÷50%＝80（人），
条形统计图中m的值为：80﹣20﹣40﹣4＝16，
扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为：2080×360°=90°，
故答案为：80，16，90°；
（2）可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为：800×480=40人），
故答案为：40；
（3）画树状图如下：
一共有12种等可能的结果，其中恰好抽到2名女生的结果有2种，
∴P（恰好抽到2名女生）=212=16．
【点评】本题考查扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体，列表法和树状图法求等可能事件的概率，能从统计图中获取有用信息，掌握列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
16．（6分）已知O是坐标原点，A，B的坐标分别为（3，0），（2，2）．
（1）把△OAB绕点O逆时针方向旋转90°得到△ODE，请在坐标系中作出△ODE；
（2）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似图形△OA1B1，使新图与原图的相似比为2：1；
（3）直接写出△OA1B1的面积．
【分析】（1）按要求把△OAB绕点O逆时针方向旋转90°得到△ODE即可；
（2）按要求作出位似图形即可；
（3）根据三角形面积公式求解．
【解答】解：（1）△ODE即为所求；
（2）△OA1B1即为所求；
（3）△OA1B1的面积为12×6×4=12．
【点评】本题考查了利用网格求三角形面积，画旋转图形，在坐标系中画位似图形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
17．（9分）依据下面的素材，完成表格中的任务．
【分析】（1）根据样本频率估计概率即可；
（2）先求出采购的总质量，再求实际可以销售的质量即可；
（3）根据利润＝销售收入﹣采购成本计算即可．
【解答】解：（1）观察表格里的完好频率，这些数值都接近0.9，所以估计柑橘完好的概率约为0.9．
故答案为：0.9；
（2）根据题意购买的总质量为：900÷9＝100（kg），
实际可销售的质量为：100×0.9＝90（kg）．
故答案为：90；
（3）∵m+100x＝3000，
∴x=3000−m100．
根据题意得：0.9mx﹣9m＝9000，
将x=3000−m100代入上式得：
0.9m×3000−m100−9m＝9000，
化简得：m2﹣2000m+1000000＝0，即：
（m﹣1000）2＝0，
解得m1＝m2＝1000．
∵0＜m≤2000，
∴m＝1000符合题意．
将m＝1000代入x=3000−m100得：
x=3000−1000100=20．
答：能够获得9000元的总利润，则应采购1000kg的柑橘，售价应定为20元/kg．
【点评】本题考查利用频率估计概率，掌握利润＝销售收入﹣采购成本是解题关键．
18．（8分）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，且AO＝BO．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）①用圆规和无刻度直尺在图中作∠ADB的角平分线DE交AB于点E，保留作图痕迹，不用写出作法和理由；
②在①的条件下，当AD＝10，cs∠ADB=513时，求AE的长．
【分析】（1）根据矩形的判定定理进行证明即可；
（2）①根据题意，画出图形即可；②根据余弦的定义结合面积法进行计算即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD．
∵AO＝BO，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：①如图所示，
；
②过点E作BD的垂线，垂足为M，
在Rt△ABD中，
cs∠ADB=ADBD，
∴10BD=513，
解得BD＝26，
∴AB=262−102=24，
∴S△ABD=12×24×10=120．
∵DE平分∠ADB，∠DAB＝90°，EM⊥BD，
∴EA＝EM．
∵12×10×AE+12×26×EM=120，
∴AE=203．
【点评】本题主要考查了解直角三角形、角平分线的性质、平行四边形的性质、矩形的判定与性质及作图﹣基本图形，熟知平行四边形及矩形的性质是解题的关键．
19．（10分）【情境与问题】
在研究二次函数y＝2x2+1时，小明得到了下表：
观察上表，自变量x从左到右依次取连续的整数，若保持这一规律不变，继续扩展表格，那么，表格中的数据间会有什么特殊规律吗？
【探索与发现】
如上表，用一个倒“T”形的套色方框（如图）框住了表格中的四个数，若将套色方框左右移动，可框住另外四个数．设四个数中，上面的数为t，下面三个数从左到右依次为l，m，n（如图）．
（1）写出n与t间的函数关系式为n＝2（t+1）2+1 ．
（2）小明发现：l+n2−m为定值．小明的发现正确吗？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．
【联系与拓广】
（3）①t为何值时，n﹣2m的值最大？
②若二次函数y＝ax2+bx+c在x＝2026，2028，2030时的函数值分别为p，q，r，且p+r2−q=10，则a＝ 52 ．
【分析】【情境与问题】依据题意，观察表格数据即可判断得解；
【探索与发现】（1）依据题意得，当x＝t+1时，y＝n，从而n＝2（t+1）2+1，即可得解；
（2）依据题意得，当x＝t﹣1时，y＝l＝2（t﹣1）2+1；当x＝t时，y＝m＝2t2+1，则l+n2−m=2(t−1)2+1+2(t+1)2+12−（2t2+1），进而可以证明得解；
【联系与拓广】（3）①依据题意得，n﹣2m＝2（t+1）2+1﹣2（2t2+1）＝﹣2（t﹣1）2+3，结合﹣2＜0，从而可以得解；
②依据题意得，a×20262+b×2026+c＝p，a×20282+b×2028+c＝q，a×20302+b×2030+c＝r，又p+r2−q=10，则p+r﹣2q＝20，可得a×[（2028﹣2）2+（2028+2）2﹣2×20282）]＝20，进而计算可以得解．
【解答】解：【情境与问题】由题意，根据表格数据可得，
当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＝0时，y取最小值为1；在x＝0两侧的数据关于x＝0对称；
【探索与发现】（1）由题意得，当x＝t+1时，y＝n，
∴n＝2（t+1）2+1．
故答案为：n＝2（t+1）2+1；
（2）小明的发现正确，证明如下：
由题意得，当x＝t﹣1时，y＝l＝2（t﹣1）2+1；当x＝t时，y＝m＝2t2+1，
∴l+n2−m=2(t−1)2+1+2(t+1)2+12−（2t2+1）
=4t2+4+22−2t2﹣1
＝2t2+3﹣2t2﹣1
＝2．
∴小明的发现正确，l+n2−m为定值2；
【联系与拓广】（3）①由题意得，n﹣2m＝2（t+1）2+1﹣2（2t2+1）
＝2t2+4t+2+1﹣4t2﹣2
＝﹣2t2+4t+1
＝﹣2（t﹣1）2+3．
∵﹣2＜0，
∴当t＝1时，n﹣2m取最大值，最大值为3；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c在x＝2026，2028，2030时的函数值分别为p，q，r，
∴a×20262+b×2026+c＝p，a×20282+b×2028+c＝q，a×20302+b×2030+c＝r．
∵p+r2−q=10，
∴p+r﹣2q＝20．
∴a×（20262+20302）+b×（2026+2030）+2c﹣2（a×20282+b×2028+c）＝20．
∴a×（20262+20302﹣2×20282）+b×（2026+2030﹣2×2028）＝20．
∴a×[（2028﹣2）2+（2028+2）2﹣2×20282）]＝20．
∴8a＝20，则a=52．
故答案为：52．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用、规律型：数字的变化类，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
20．（12分）（1）发现：如图1所示，BD是矩形ABCD的对角线，作AF⊥BD交BD于点F，交BC于点E．求证：△ABE∽△BCD；
（2）探究：如图2，点G是矩形ABCD边BC上一点，连接DG，过点D作AF⊥DG交BC于点G，ABBC=611，探究AEDG的值；
（3）拓展：在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点P为BC边上的三等分点，点E和F分别为直线AD和BC上的点，将矩形ABCD沿直线EF翻折，点P恰好落在边CD上的点Q处，求EFPQ的值．
【分析】（1）由矩形的性质，可得∠ABE＝∠C，由直角三角形的两个锐角互余，结合同角的余角相等，可得∠BAE＝∠CBD，即可证得结论；
（2）设AB＝6a，BC＝11a，BG＝GE＝x，证明△AEB﹣△GDC，可得AEGD=ABGC=BECD，可得x＝2a，即可得AEDG的值；
（3）作EM⊥BC于点M，由矩形的判定和性质，可得EM＝3，证明△EMF∽△PCQ，EFPQ=EMPC，由已知可得PC＝4或PC＝2，即可得EFPQ的值．
【解答】（1）证明：∵AE⊥BD，
∴∠EFB＝90°，
∴∠FBE+∠FEB＝90°，
又∵四边形ABCD为矩形，
∴∠C＝∠ABC＝90°，
∴∠FBE+∠BDC＝90°，
∴∠FEB＝∠BDC，
∴△ABE∽△BCD．
（2）解∵BG＝GE，ABBC=611，
设AB＝6a，BC＝11a，BG＝GE＝x，
∵CE＝11a﹣2x＞0，
∴x＜112a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，∠ABE＝90°，CD＝AB＝6a，
∴∠CGD+∠CDG＝90，∠ABE＝∠C，
∵AF⊥DG，
∴∠GFE＝90°，
∴∠CGD+∠AEB＝90°，
∴∠AEB＝∠GDC，
∴△AEB∽△GDC，
∴AEGD=ABGC=BECD，
∴6a11a−x=2x6a，
∴x＝2a或x＝9a（与x＜112a矛盾，舍去），
∴AEGD=BECD=2×2a6a=23；
（3）解：作EM⊥BC于点M，则∠EMB＝∠EMF＝90°，
∵在矩形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∠C＝90°＝∠EMF，
∴四边形ABME为矩形，
∴EM＝AB＝3，
根据题意可知，点P和点Q关于直线EF对称，
∴EF⊥PQ，
∴∠CPQ+∠PFE＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠CPQ+∠CQP＝90°，
∴∠MFE＝∠CQP，
∴△EMF∽△PCQ，
∴EFPQ=EMPC，
∵BC＝6，点P为BC边上的三等分点，
∴PC=6×23=4或PC=6×13=2，
∴EMPC=34或EMPC=32，
∴EFPQ=34或EFPQ=32．
【点评】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/3/28 10:01:09；用户：邢连强；邮箱：13468187680；学号：36611160提出问题
柑橘采购后，从生产地运到市场的过程中，会有损坏；在市场进行一次性批量销售时，销售单价又会因采购量的不同而发生波动．多重因素影响下，要获得一定数量的利润，该如何定价？
调研项目
调查1：“柑橘完好率”调查
采购的总质量m（kg）
50
100
200
400
500
完好柑橘的质量n（kg）
44.5
90.1
180.5
360.8
450.5
柑橘完好的频率nm
0.89
0.901
0.903
0.902
0.901
调查2：①柑橘在生产地的采购价为9元/kg；②在市场进行一次性批量销售时，柑橘的售价x（元/kg）与采购的总质量m（kg）之间的关系满足m+100x＝3000（0＜m≤2000）．
任务一（分析）
（1）可以估计柑橘完好的概率约为 （精确到0.1）．
（2）由（1）知，用900元采购的柑橘量，进入市场后，实际可以销售的质量约为 kg（结果保留整数；损坏的柑橘不得销售）．
任务二（决策）
（3）若希望在市场进行一次性批量销售时，能够获得9000元的总利润，则应采购多少kg的柑橘？售价应定为多少元/kg？
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y＝2x2+1
…
33
19
9
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1
3
9
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33
…
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
B
A
C
B
B
C
提出问题
柑橘采购后，从生产地运到市场的过程中，会有损坏；在市场进行一次性批量销售时，销售单价又会因采购量的不同而发生波动．多重因素影响下，要获得一定数量的利润，该如何定价？
调研项目
调查1：“柑橘完好率”调查
采购的总质量m（kg）
50
100
200
400
500
完好柑橘的质量n（kg）
44.5
90.1
180.5
360.8
450.5
柑橘完好的频率nm
0.89
0.901
0.903
0.902
0.901
调查2：①柑橘在生产地的采购价为9元/kg；②在市场进行一次性批量销售时，柑橘的售价x（元/kg）与采购的总质量m（kg）之间的关系满足m+100x＝3000（0＜m≤2000）．
任务一（分析）
（1）可以估计柑橘完好的概率约为 0.9 （精确到0.1）．
（2）由（1）知，用900元采购的柑橘量，进入市场后，实际可以销售的质量约为 90 kg（结果保留整数；损坏的柑橘不得销售）．
任务二（决策）
（3）若希望在市场进行一次性批量销售时，能够获得9000元的总利润，则应采购多少kg的柑橘？售价应定为多少元/kg？
x
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y＝2x2+1
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33
19
9
3
1
3
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19
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…