2026年中考数学一轮复习专题1.3 二次根式及其运算（全国通用版）练习（原卷版）

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专题3 二次根式及其运算
知识梳理
【考点一】二次根式的有关概念
【考点二】二次根式的性质与化简
1.二次根式的性质：
2.二次根式的化简方法：
（1）利用二次根式的基本性质进行化简；
（2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．ab =a•b （a≥0，b≥0），ab =ab （a≥0，b＞0）
3.化简二次根式的步骤：
（1）把被开方数分解因式；
（2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；
（3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【考点三】二次根式的运算
1.乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即：ab =a•b （a≥0，b≥0）.
2.除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：ab=ab（a≥0，b＞0）.
3.加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并.
【口诀】一化、二找、三合并.
4.分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程.
【分母有理化方法】
1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即：1a=aa•a=aa
2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分.
即：1a−b=a+b(a−b)(a+b)=a+ba−b；
5.混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．
例题讲解
【题型一】二次根式的有关概念
◇典例1：下列各式中，是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
◆变式训练
1.下列式子中，不一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
◇典例2：当时，下列式子有意义的是（ ）
A．B．C．D．
◆变式训练
1.函数y中，自变量x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
◇典例3：下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．32B．0.4C．43D．15
◆变式训练
1.下列各式中，最简二次根式为（ ）
A．B．C．D．
◇典例4：若最简二次根式与能合并，则k的值可以是（ ）
A．0B．1C．2D．3
◆变式训练
1.下列二次根式中，与3是同类二次根式的是 （ ）
A．6B．81C．13D．18
【题型二】二次根式的性质与化简
◇典例1：若，则a的值可以是（ ）
A．4B．3C．2D．1
◆变式训练
1.化简： ．
◇典例2：下列计算正确的为（ ）
A．B．C．D．
◆变式训练
1.下列各式中，对任意实数a都成立的是（ ）
A．B．C．D．若，则
◇典例3：已知x，y为实数，若满足，则的值为（ ）
A．5B．6C．8D．9
◆变式训练
1.若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
【题型三】二次根式的运算
◇典例1：计算： ．
◆变式训练
1.计算 ．
◇典例2：下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
◆变式训练
1.已知，则实数的范围是（ ）
A．B．C．D．
◇典例3：计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
◆变式训练
1.计算： ．
◇典例4：已知实数x满足2021−x2+x−2022=x，求x−20212的值．
◆变式训练
1.已知，．
(1)求的值．
(2)若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值．
◇典例5：用三块边长不同的正方形纸片“甲、乙、丙”和一个面积为的矩形纸片“丁”紧密拼接形成一个大矩形，如图，已知一块“丙”纸片的面积为2，则一块“甲”纸片的边长为（ ）
A．B．C．3D．
◆变式训练
1.据研究，忽略空气阻力，物体从高空下落的时间与下落高度近似满足公式，一物体从高空自由落下，则关于物体下落的时间，说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
真题在线
一、单选题
1．（2025·西藏·中考真题）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·甘肃兰州·中考真题）计算：（ ）
A．6B．C．D．1
3．（2025·河北·中考真题）计算：（ ）
A．2B．4C．6D．8
4．（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·河北·中考真题）若，则（ ）
A．2B．4C．D．
6．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（ ）
A．8B．C．D．
7．（2023·广东广州·中考真题）如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B点出发由西向东航行10到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为（ ）

A．B．C．20D．
8．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列：
则第八行左起第1个数是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．（2025·湖南·中考真题）化简 ．
10．（2025·广东广州·中考真题）要使代数式有意义，则x的取值范围是 ．
11．（2024·江苏南京·中考真题）计算 ．
12．（2024·四川攀枝花·中考真题）已知一个直角三角形两直角边的长分别为1和，则其斜边的长为 ．
三、解答题
13．（2024·甘肃·中考真题）计算：．
14．（2025·吉林长春·中考真题）先化简．再求值：，其中．
15．（2023·江苏·中考真题）在张相同的小纸条上，分别写有：①；②；③；④乘法；⑤加法．将这张小纸条做成支签，①、②、③放在不透明的盒子中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子中搅匀．
(1)从盒子中任意抽出支签，抽到无理数的概率是______；
(2)先从盒子中任意抽出支签，再从盒子中任意抽出支签，求抽到的个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率．
专项练习
一、单选题
1．若式子有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．最简二次根式与是同类二次根式，则的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
4．下列根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
6．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．若，则（）
A．B．C．D．
8．把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
9．已知是实数，且满足，则相应的的值为( )
A．13或3B．7或3C．3D．13或7或3
10．如图，正方形，顶点在数轴上表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点所表示的数为，则正方形的面积为（ ）
A．B．7C．D．10
二、填空题
11．使式子有意义的x的取值范围是 ．
12．若与最简二次根式是同类二次根式，则 ．
13．若，则 ．
14．已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简 ．
15．已知，，则代数式的值是 ；
16．下面是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第5行的最后一个数是 ；第n（n为整数且）行从左向右数第个数是 （用含n的代数式表示）．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．已知，，解答下列各题：
(1)求的值；
(2)求的值．
19．如图，小华家有一块长方形空地，空地的长为，宽为，小华准备在空地中划出一块长为，宽为的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜．
(1)求长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式）
(2)求种植青菜部分的面积．
20．【观察思考】观察下列等式特征，探索规律．
第①个等式：；
第②个等式：；
第③个等式：；
第④个等式：：
(1)计算：_____；_____；
(2)若，则正整数_____；
【规律应用】
(3)根据上述等式规律，化简：
．
21．阅读材料与综合实践：
通过分子、分母同乘一个式子把分母的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化．
如：，．
解决问题：
(1)将下列式子分母有理化：
， ， ；
(2)比较大小： （直接填“或或”）；
(3)定义：两个二次根式满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”．若与是关于的“友好二次根式”，求的值．
概念
定义与条件
二次根式
把形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式，而 a 有意义的条件是a≥0。
最简二次根式
一般地，如果一个二次根式满足下面两个条件，那么我们把这样的二次根式叫做最简二次根式：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
同类二次根式
化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式。