河北省石家庄市重点高中2024-2025学年高一下学期5月期中考试 数学（含解析）

这是一份河北省石家庄市重点高中2024-2025学年高一下学期5月期中考试 数学（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若zz−1=1+i，则z=( )
A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i
2.已知向量a和b满足|a|= 3，|b|=1，|a+b|= 7，则向量b在向量a上的投影向量为( )
A. −23aB. 12aC. 23aD. −12a
3.若棱长为2 3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A. 12πB. 24πC. 36πD. 144π
4.在△ABC中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 所对的边，若a= 2，b= 6，A=30∘，则边c= ( )
A. 2B. 2 2或 6C. 2或2 2D. 2 2
5.如图，在四面体P−ABC中，PA⊥平面ABC,AC⊥CB,PA=AC=2BC=2，则此四面体的外接球表面积为( )
A. 3πB. 9πC. 36πD. 48π
6.已知平面α，直线l1，l2满足l1⊄α，l2⊂α，则“l1// l2”是“l1// α”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
7.正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线AB1与直线BC1夹角的余弦值是( )
A. 12B. 32C. ± 32D. ±12
8.如图，已知菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=120∘，E为边BC的中点，将▵ABE沿AE翻折成▵AB1E(点B1位于平面ABCD上方)，连接B1C和B1D，F为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是( )
①平面AB1E⊥平面B1EC；②AB1与CF的夹角为定值π3；
③三棱锥B1−AED体积最大值为2 33；④点F的轨迹的长度为π2．
A. ①②B. ①③C. ①②④D. ②③④
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知i为虚数单位，z为复数，以下四种说法正确的是( )
A. zz=z2
B. 3+i>1+i
C. 若z=1+2i2，则复平面内z所对应的点位于第三象限
D. 已知k∈R，若关于x的方程x2+k+2ix+2+ki=0有实数根，则实数根必为x= 2
10.已知平面向量a=(2,−3)，b=(2,1)，则( )
A. (a−2b)⊥b
B. a与b可作为一组基底向量
C. a与b夹角的余弦值为 6565
D. a在b方向上的投影向量的坐标为(23,13)
11.如图，在四面体ABCD中，点P,Q,M,N分别是棱AB,BC,CD,AD的中点，截面PQMN是正方形，则下列结论正确的为( )
A. AC//截面PQMNB. 异面直线PM与BD所成的角为60°
C. AC⊥BDD. BD⊥平面ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知m∈R，复数z=1+4mim+i在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围是 ．
13.如图所示，△ABC和△A'B'C'的对应顶点的连线AA'，BB'，CC'交于同一点O，且AOA'O=BOB'O=COC'O=12，则VO − ABCVO − A ' B ' C '= ．
14.已知{a,b}是平面内一组基底，|2a+b|=1，|a−b|= 3，则a+b与2a+b所成角的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(14分)
已知复数z1=1+2i
(1)若复数z1是方程z2+a⋅z+b=0的一个复数根，求实数a，b的值;
(2)若复数z2满足z1z2=1−1z1，求|z2|.
16.(14分)
已知各棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥S−ABCD，
(1)求它的表面积；
(2)求它的体积．
17.(15分)
已知a=m,3，b=1,m+2．
(1)若a//b，求m的值；
(2)若a⋅b=2，求a与b夹角的余弦值．
18.(17分)
已知向量a=(cs2x,2csx)，b=(2 3,sinx)，函数f(x)=a·b．
(1)求f(x)的单调递减区间;
(2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，再向右平移π12个单位得到g(x)的图象，求g(x)在[−π12,π6]上的值域．
19.(17分)
如图，在四棱锥P—ABCD，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD=2，AD=3，
(1)设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH/​/平面PAD；
(2)求证：PA⊥平面PCD；
(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值．
答案和解析
1.C 2.B 3.C 4.C 5.B 6.A 7.A 8.C
9.AC 10.BC 11.AC
12.(0,12)
13.18
14.π3
15.解：(1)因为z1=1+2i，
则z12=(1+2i)2=−3+4i，
则z12+a⋅z1+b=a+b−3+(2a+4)i=0，
所以a+b−3=02a+4=0，
所以a=−2，b=5．
(2)因为z1z2=1−1z1，
则z2=z11−1z1=z12z1−1=−3+4i2i=2+32i，
则|z2|= 22+(32)2=52．
16.解：(1)∵四棱锥S−ABCD的各棱长均为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形，设E为AB的中点，则SE⊥AB，SE=5 32，
∴S侧=4S△SAB=4×12×5×5 32=25 3，S底=52=25，
它的表面积S=S底+S侧=25 3+25 3 ；
(2)连接AC，BD，交于点O，连接SO，EO，则SO为棱锥的高，
则OE=52，则SO=5 22，故棱锥的体积V=13×25×5 22=125 26．
17.解：(1)因为a//b，所以m(m+2)−3=0，
解得：m=−3或m=1．
(2)因为a=(m,3),b=(1,m+2),a⋅b=2，
所以m+3(m+2)=2，解得：m=−1，
所以a=(−1,3),b=(1,1)，
cs ⟨a,b⟩=a⋅b|a||b|=2 (−1)2+32⋅ 12+12= 55，
所以a与b夹角的余弦值为 55．

18.解：(1)因为向量a=(cs2x,2csx)，b=(2 3,sinx)，
函数f(x)=a⋅b=2 3cs2x+2sinxcsx= 3cs2x+sin2x+ 3
令π2+2kπ⩽2x+π3⩽3π2+2kπ,(k∈Z)，
解得：π12+kπ⩽x⩽7π12+kπ,(k∈Z)，
即fx的单调递减区间为[π12+kπ,7π12+kπ],(k∈Z);
(2)根据三角函数图象的伸缩变换和平移变换规律求得：g(x)=2sin 4x+ 3，
因为x∈[−π12,π6]，所以4x∈[−π3,2π3]，
sin4x∈[− 32,1]，
则g(x)=2sin 4x+ 3∈0,2+ 3，
即g(x)=2sin 4x+ 3在−π12,π6上的值域为0,2+ 3．

19.证明：(1)如图：
证明：连接BD，由题意得AC∩BD=H，BH=DH，
又由BG=PG，得GH/​/PD，
∵GH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，
∴GH/​/平面PAD；
(2)证明：取棱PC中点N，连接DN，
依题意得DN⊥PC，
又∵平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD=PC，DN⊂平面PCD，
∴DN⊥平面PAC，
又PA⊂平面PAC，∴DN⊥PA，
又PA⊥CD，CD∩DN=D，
CD⊂平面PCD，DN⊂平面PCD，
∴PA⊥平面PCD；
(3)解：连接AN，由(2)中DN⊥平面PAC，
知∠DAN是直线AD与平面PAC所成角，
∵△PCD是等边三角形，CD=2，且N为PC中点，
∴DN= 3，
又DN⊥平面PAC，AN⊂平面PAC，
DN⊥AN，
在Rt△AND中，sin∠DAN=DNDA= 33．
∴直线AD与平面PAC所成角的正弦值为 33．