山东省济宁市2024-2025学年高一下学期期末质量监测 数学试卷（含解析）

这是一份山东省济宁市2024-2025学年高一下学期期末质量监测 数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了07， 已知，则， 为了得到的图象，可将的图象等内容，欢迎下载使用。
2025.07
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，则（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】B
解析：因为，则，
所以.
故选：B.
2. 若数据的平均数为2，则数据的平均数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
解析：若数据的平均数为2，
则数据的平均数为.
故选：C
3. 用斜二测画法画出平面四边形的直观图为菱形，如图所示，其中，，则四边形的面积为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】D
解析：根据斜二测画法原图如下：
，所以四边形的面积为8.
故选：D.
4. 为了得到的图象，可将的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
【答案】A
解析：将向左平移个单位长度得到，
故选：A.
5. 已知平面，和直线，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】C
解析：对于A，若，，则或异面或相交，故A错误；
对于B，若，，则或，故B错误；
对于C，若，，则，故C正确；
对于D，若，，则或，故D错误.
故选：C
6. 已知，，且，的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：由题可得在上的投影向量为.
故选：B
7. 如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走，到达处，在处测得山顶的仰角为，已知，，，则山高（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
解析：过作的垂线，设，

，
，，
，
，
解得.
故选：A.
8. 已知正三角形的边长为2，，，与相交于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：由题可得，，，
所以，
，
，
所以.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，，都是非零向量，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C 若，则D. 若，则
【答案】BC
解析：对于A，，一个与共线，另一个与共线，易知不一定相等，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，因为，所以，
所以，即，故C正确；
对于D，，又，
可得，所以不一定相等，故D错误；
故选：BC.
10. 某市文化和旅游局制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅服务不断提升游客出游体验，促进文旅消费增长.现为进一步发展该市文旅，提升经济，2025年5月份对该市旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度得分采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则下列结论正确的是（ ）
A. 频率分布直方图中
B. 2025年5月份对该市旅游的游客满意度得分的中位数近似值为80
C. 2025年5月份对该市旅游的游客满意度得分的平均数近似值为78
D. 若落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，则落在的平均成绩为87，落在的成绩的方差为23
【答案】ABD
解析：，解得：，A正确；
中位数是累积频率达到0.5的点.从累积频率看：中位数位于和分界线，所以中位数为80，B正确
，C错误
，
，D正确
故选：ABD.
11. 在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 正方体内切球的体积为
B. 与所成角
C. 平面截正方体的截面面积为
D. 底面半径为，高为的圆柱，能整体放入该正方体中
【答案】ACD
解析：对于选项A：因为正方体的棱长为2，
可知正方体内切球半径，所以内切球的体积为，故A正确；
对于选项B：取的中点，连接，
因为分别为的中点，则，
且，则，可知与所成角为（或其补角），
又因为，，则，
所以与所成角为，故B错误；
对于选项C：取的中点，连接，
因为分别为的中点，则，，
且，，可得，，
可知为平行四边形，可得，
同理可得，则，
可知平面截正方体的截面为，
且，
所以截面面积为，故C正确；
对于选项D：以为圆柱的轴，
设，，，，且，
因为，则，
根据对称性可得，则，
所以圆柱能整体放入该正方体中，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，若，则________.
【答案】##
解析：因为，
所以.
故答案为：
13. 某校数学兴趣社团有男生50人，女生30人，现用比例分配的分层抽样方法从中抽取容量为24的样本，则应抽取男生的人数为________.
【答案】15
解析：由题可得分层抽样的抽样比为，
所以抽取容量为24的样本，则应抽取男生的人数为.
故答案为：15
14. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，若的外接圆的半径为1，则的最大值为________.
【答案】
解析：根据题意，
又，所以，
而，
即，
当时，，
解得，
又外接圆的半径为1，所以，
所以的最大值为
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数.
（1）若复数为纯虚数，求实数的值；
（2）当时，复数是关于的方程的一个根，求实数，的值.
【答案】（1）
（2）
（1）
因为复数为纯虚数，
所以，
复数为纯虚数，实数的值为.
（2）
，则，
又复数是关于的方程的一个根，
所以也是方程的根，
则，
所以.
16. 某科技公司测试两款新型无人驾驶配送车型（A型号与B型号）在复杂城市环境中的配送效率.记录了在10次典型任务中，两种型号车的配送时间（单位：分钟）分别为：
已知该公司要求配送时间不超过15分钟，且配送时间越稳定，配送效率越高.
（1）分别计算、两种型号车的配送时间的平均数和方差；
（2）根据计算结果分析，哪种型号更符合公司的要求.
【答案】（1）型号车的配送时间的平均数为，方差为，型号车的配送时间的平均数为，方差为，
（2）型号更符合公司的要求
（1）
型号车的配送时间的平均数
，
型号车的配送时间的方差
，
型号车的配送时间的平均数
，
型号车的配送时间的方差
，
所以型号车的配送时间的平均数为，方差为，
型号车配送时间的平均数为，方差为，
（2）
由（1），则都满足该公司要求配送时间不超过15分钟，
又，所以型号配送时间更稳定，效率更高，
所以型号更符合公司的要求.
17. 已知，，.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）
（1）
因为，，则，
若，则，解得.
（2）
因为，，
则，整理可得，
且，则，可得，
即，所以.
18. 设的内角，，的对边分别为，，，已知，.
（1）求角的大小；
（2）若点在直线上，当为锐角三角形时，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（1）
因为，由正弦定理可得，
且，
则，
可得，
因为，则，可得，即，
且，所以.
（2）
设，则，
因为为锐角三角形，则，解得，
由正弦定理可得，
则，
，
可得，
构建，
可知在内单调递减，且，
当趋近于时，趋近于，
可得，所以的取值范围为.
19. 如图，在三棱锥中，，，，.
（1）若为的重心，点在棱上，且，求证：平面；
（2）若三棱锥外接球的表面积为.
（i）求二面角的余弦值；
（ii）若点是棱上的动点（异于端点），求直线与平面所成角的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；
（2）（i）；（ii）.
（1）
证明：取中点，连接，
因为为的重心，所以在且，
因为点在棱上，且，
所以，又在平面外，平面，
所以平面；
（2）
（i）因为三棱锥外接球的表面积为，所以三棱锥外接球的半径为，
在中，所以球心即为中点，
所以.
因为，所以与全等，，
过作交于点，连接，则，
所以为二面角的平面角，
因为，，
所以二面角的余弦值；
（ii）由题可得，又由（i）可得，
因为，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，
过作平面交平面于点，则，连接，
则即为直线与平面所成角，
设，
在中，
所以，
所以，则，
在中，
所以，
因为，
所以，
所以，即直线与平面所成角的取值范围为.A型号
10
11
12
13
14
11
10
11
15
13
B型号
11
13
10
11
12
10
14
12
12
15