江苏省镇江一中2025-2026学年高二（上）期末数学试卷

这是一份江苏省镇江一中2025-2026学年高二（上）期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.双曲线x24−y2=1的渐近线方程是( )
A. y=±2xB. y=±12xC. y=±4xD. y=±14x
2.已知y=f(x)是R上的连续可导函数，则“f′(x0)=0”是“x=x0是函数y=f(x)的一个极值点”的( )条件．
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分又不必要
3.圆x2+(y−1)2=1关于直线x−y=0对称的圆的方程是( )
A. x2+(y+1)2=1B. (x+1)2+y2=1
C. (x−1)2+y2=1D. x2+y2=1
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4+a14=1，则S17等于( )
A. 17B. 18C. 172D. 9
5.两条平行直线l1：x+3y−4=0与l2：2x+6y−9=0之间的距离( )
A. 140B. 110C. 102D. 1020
6.已知公差不为0的等差数列的第2，3，6，m项依次构成一个等比数列，则m等于( )
A. 13B. 14C. 15D. 18
7.将圆x2+y2=4横坐标不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线的轨迹方程是( )
A. x24+y2=1B. x2+y24=1C. x216+y42=1D. x24+y162=1
8.设a∈R，若函数y=eax+3x，x∈R有大于零的极值点，则( )
A. a>−3B. a−13D. ab>0)的左右顶点为A、B，点P为椭圆C上异于左右顶点的一点，过点P向x轴作垂线，垂足为Q，下列说法正确的有( )
A. kAP⋅kBP=−b2a2B. 存在点P使得∠APB=π2
C. 当点P运动到短轴端点时∠APB最大D. PQ2AQ⋅BQ为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f(x)=xex的单调增区间为______．
13.直线(1+4k)x−(2−3k)y+(2−14k)=0与圆x2+y2=9相交于A，B两点，则弦长AB的最小值为 ．
14.设b为实数，若直线y=2x+b与曲线y= x2−1有两个不同的公共点，则b的取值范围 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=13x3−4x+a．
(1)当a=13时，求函数f(x)的极值；
(2)若函数f(x)有三个不同的零点，求实数a的取值范围．
16.(本小题15分)
已知椭圆的两个焦点分别是F1(−1,0)，F2(1,0)，椭圆上一点P到两个焦点的距离之和为4．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过右焦点斜率为1的直线与椭圆交于A，B两点，求△F1AB的周长与面积．
17.(本小题15分)
设数列{an}满足：a1=1，且对任意的n∈N∗，都有an+1=2an+1．
(1)求证：{an+1}为等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn；
(3)求数列{n⋅an}的前9项和T9．
18.(本小题17分)
抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，点M(m,3)是抛物线上的一点，M到焦点的距离是4．
(1)求m的值及抛物线的准线方程；
(2)过抛物线焦点的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC//y轴；点P为AB中点，过点P向x轴作垂线交抛物线于点Q．
求证：①A，O，C三点共线．
②抛物线上Q点处的切线与AB平行．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ex+a−lnx+a．
(1)当a=−1时，求y=f(x)的最小值；
(2)若f(x)≥0，求实数a的取值范围；
(3)若y=f(x)有两个不同的零点x1，x2，求证：x1+x2>2．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：双曲线x24−y2=1的渐近线方程是x24−y2=0，整理可得y=±12x．
故选：B．
2.【答案】B
【解析】解：令f(x)=x3，则f′(x)=3x2，当x=0时，f′(0)=0，但是f′(x)≥0恒成立，从而f(x)在R上单调递增，无极值；
x=x0是函数y=f(x)的一个极值点，显然f′(x0)=0．
所以，“f′(x0)=0”是“x=x0是函数y=f(x)的一个极值点”的必要不充分条件．
故选：B．
利用举反例即可否定充分性，必要性由极值定义，显然成立．
考查了充分必要条件以及函数极值与导数的关系；考查了学生逻辑推理能力．
3.【答案】C
【解析】解：圆x2+(y−1)2=1的圆心为(0,1)，半径为1．
设点(0,1)关于直线x−y=0的对称点为(m,n)，则n−1m×1=−1m2−1+n2=0，
解得m=1，n=0．
所以对称圆的圆心为(1,0)，半径为1，方程为(x−1)2+y2=1．
故选：C．
通过求原圆心关于对称轴的对称点，结合半径不变，得到对称圆的方程．
本题考查圆的方程，考查点关于直线的对称点的求法，正确求出圆心坐标是关键，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：由题意可得，S17=17(a1+a17)2=17(a4+a14)2=17×12=172．
故选：C．
根据等差数列求和公式及性质，代入数据，即可得答案．
本题主要考查了等差数列的求和公式及性质的应用，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：直线l2：2x+6y−9=0变形为x+3y−92=0，
因为l1：x+3y−4=0，
所以l1与l2之间的距离d=|−92+4| 1+9= 1020．
故选：D．
利用两条平行直线间的距离公式求解．
本题考查两条平行直线间的距离公式，考查学生的计算能力，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由题意得a3是a2，a6的等比中项，故a32=a2⋅a6，即(a1+2d)2=(a1+d)⋅(a1+5d)，
化简得d2=−2a1d，因为d≠0，所以d=−2a1，
由题意得a6是a3，am的等比中项，故a62=a3⋅am，
即(a1+5d)2=(a1+2d)⋅[a1+(m−1)d]，
将d=−2a1(a1≠0)代入解得m=15．
故选：C．
设等差数列为{an}，公差为d(d≠0)，根据a32=a2⋅a6求出d=−2a1，再根据a62=a3⋅am即可求出答案．
本题主要考查了等差数列与等比数列的综合应用，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查曲线方程的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
由题意横坐标不变，纵坐标变为原来的一半直接代入圆的方程整理可得所求的曲线方程．
【解答】
解：由题意纵坐标变为原来的一半可得：x2+(2y)2=4，
整理可得：x24+y2=1．
故选：A．
8.【答案】B
【解析】解：设f(x)=eax+3x，则f′(x)=3+aeax．
若函数在x∈R上有大于零的极值点．
即f′(x)=3+aeax=0有正根．
当有f′(x)=3+aeax=0成立时，显然有a0，得参数a的范围为a