吉林省吉林市实验中学2026届高三下学期模拟预测数学试题含答案

这是一份吉林省吉林市实验中学2026届高三下学期模拟预测数学试题含答案，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若复数 z 满足 z=i1−i ，则 z 在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知向量 a=1,m,b=m,4 ，则 “ m=2 ” 是 “ a//b ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 若椭圆 C 的长轴长是短轴长的 5 倍,则椭圆 C 的离心率为( )
A. 45 B. 15 C. 255 D. 55
4. 若 x,y 满足限制条件 x+y−2≥03x−4y+4≥0x≤4 ,则目标函数 z=x−22+y2 的最大值为 ( )
A. 25 B. 20 C. 12 D. 18
5. 已知函数 fx=ex+csx+ax 有最小值，则 a 的取值范围是( )
A. −∞,0 B. −∞,1e C. 1,+∞ D. 1,e
6. 设 A,B 为两个相互独立的随机事件,且 PA=2PB . 已知在 A,B 至少一个发生的条件下, A,B 恰有一个发生的概率是 45 ,则 PB= ( )
A. 14 B. 15 C. 18 D. 110
7. 三角形的重心是指三角形三条中线的交点, 垂心是指三条高的交点, 且已知三角形的重心、垂心位于同一条直线上, 这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”. 在平面直角坐标系中作 △ABC,AB=AC=6 ,点 B−3,2 ,点 C1,−2 ,且其“欧拉线”与圆 M:x+a2+y+a+22=r2 相切,则圆 M 上的点到直线 x−y+6=0 的距离的最小值为 ( ).
A. 22 B. 22 C. 322 D. 522
8. 若关于 x 的方程 ex−a−alnx−a=a2 有 2 个不同实根,设 t=lna−1a ,则()
A. t∈−∞,−32 B. t∈32,+∞
C. t∈−32,−12 D. t∈12,32
二、多选题
9. (多选题) 下列关于棱锥、棱台的说法正确的是 ( )
A. 棱台的侧面一定不会是平行四边形 B. 棱锥的侧面只能是三角形
C. 由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥D. 棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥
10. 已知圆锥曲线 x2m+y2n=1mn≠0 的焦点为 F1,F2 ,若此曲线上存在点 P ,满足 PO2>PF1PF2 (其中 O 为坐标原点),则这个曲线可能是( )
A. 离心率为 12 的椭圆 B. 离心率为 34 的椭圆
C. 离心率为 2 的双曲线 D. 离心率为 43 的双曲线
11. 将函数 fx=Asinωx+φ+b,A>0,ω>0,00 与椭圆 C 交于 A,B 两点 (点 A 在第一象限). 当 k=22 时, A,B 在 x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点.

(1)求 C 的标准方程；
(2)若 AM⊥x 轴于点 M ，连接 BM 并延长交 C 于点 P ，记直线 AP 的斜率为 k0 .
(i) 证明: kk0 为定值;
(ii) 设 AB=tAP ,求 t 的最小值.
1. B
因为 z=i1−i=i1+i1−i1+i=−1+i1−i2=−12+12i ,
所以复数 z 在复平面内对应的点为 −12,12 ,位于第二象限.
2. A
充分性分析: ∵m=2,∴a=1,m=1,2,b=m,4=2,4 , ∴b=2a,∴a//b ,故充分性成立;
必要性分析: ∵a//b,∴b=λa ,
∵a=1,m,b=m,4 ,
∴m,4=λ1,m,∴m=λ4=λm,∴m=±2 ,故必要性不成立.
故“ m=2 ”是“ a//b ”的充分不必要条件
3. C
设椭圆的长轴长为 2a ,短轴长为 2b ,
由于椭圆 C 的长轴长是短轴长的 5 倍,故 2a=5×2b ,即 a=5b ,
故椭圆 C 的离心率为 e=ca=a2−b2a2=1−b2a2=1−15=255 .
4. B
由题知可行域为图中阴影区域,由 3x−4y+4=0x=4 ,解得 x=4,y=4 ,所以 C4,4 ,
由 x+y−2=0x=4 ,解得 x=4,y=−2 ,所以 B4,−2 ,
由 x+y−2=03x−4y+4=0 ,解得 x=47,y=107 ,所以 A47,107 ,
因为 z=x−22+y2 可看成可行域内的点 x,y 到点 H2,0 的距离的平方,
又 HA2=2−472+10049=20049,HB2=4+4=8,HC2=4+16=20 ,
所以 z=x−22+y2 的最大值为 20,

故选: B.
5. A
当 a>0 时,令 x→−∞ ,则 fx→−∞ ,则 fx 无最小值,不符合题意;
当 a=0 时, fx=ex+csx>csx≥−1 ,而当 x→−∞ 时, ex→0 ,当 x→+∞ 时,
fx→+∞ ,故 fx 的值域为 −1,+∞ ,无最小值,不符合题意;
当 a0 ,并将方程转化成 ex−a−alnx−a=a2 或 ex−a−alnx−a=−a2 ,即 ex−a−alnx−3a2=0 或 ex−a−alnx−a2=0 .
设 gx=ex−a−alnx−3a2,mx=ex−a−alnx−a2 ,
因为 g′x=m′x=ex−a−ax ,因为 g′′x=m′′x=ex−a+ax2>0 ,所以 g′x 在 0,+∞ 单调递增.
当 x→0+,g′x→−∞ ,当 x→+∞,g′x→+∞ ,
又因为 g′x 在 0,+∞ 上是连续的函数,
所以根据零点存在定理, g′x=0 有唯一根 x0 ,即 ex0−a=ax0 ,
两边取对数得 lnex0−a=lnax0 ,化简得 x0−a=lna−lnx0 ,整理得 x0+lnx0=a+lna ,
因为 y=x+lnx 在 0,+∞ 严格递增,故 x0=a . 所以 gx 在 x0,+∞ 单调递增,
在 0,x0 单调递减,故函数 gx 在 x=x0=a 取得最小值 ga=ea−a−alna−3a2
=1−alna−3a2 ,
同理函数 mx 在 x=x0=a 取得最小值 ma=ea−a−alna−a2=1−alna−a2 ,
因为 ma−ga=1−alna−a2−1−alna−3a2=a>0 .
因为当 x→0+ 和 x→+∞ 时 gx 与 mx 均趋近于正无穷,从而当两个函数的最小值一正一负时,方程有且仅有 2 个实根,即 ma>0 且 ga0,1−alna−3a2n ,设焦点为 F1−c,0,F2c,0c>0 ,且 c=m−n ,
由椭圆的定义可知 PF1+PF2=2aa=m ,
由余弦定理 PF12=OF12+OP2−2OF1OPcs∠POF1 ,
PF22=OF22+OP2−2OF2OPcs∠POF2,
又 cs∠POF1+cs∠POF2=0 ,
所以 PF12+PF22=2PO2+2c2 ,
又 PF1+PF22=PF12+PF22+2PF1PF2=4a2 ,
所以 PF1PF2=2a2−PO2−c2 ,
又 PO2>PF1PF2 ,
所以 PO2>2a2−PO2−c2 ,所以 PO2>a2−c22 ,
又椭圆上 PO2 的最大值为 a2 ，显然 a2>a2−c22 恒成立，
故所有椭圆上均存在点 P 满足 PO2>PF1PF2 ,
又椭圆的离心率 e∈0,1 ,故 A、B 正确;
当 mn0>n ,设焦点为 F1−c,0,F2c,0c>0 ,且 c=m−n ,
由双曲线的定义可知 PF1−PF2=2aa=m ,
由余弦定理 PF12=OF12+OP2−2OF1OPcs∠POF1 ,
PF22=OF22+OP2−2OF2OPcs∠POF2,
又 cs∠POF1+cs∠POF2=0 ,
所以 PF12+PF22=2PO2+2c2 ,
又 PF1−PF22=PF12+PF22−2PF1PF2=4a2 ,
所以 PF1PF2=PO2+c2−2a2 ,
又 PO2>PF1PF2 ,
所以 PO2>PO2+c2−2a2 ,所以 c2−2a21 ,所以 1