贵州贵阳市乌当区2026届高三下学期3月模拟统测数学试题含答案

这是一份贵州贵阳市乌当区2026届高三下学期3月模拟统测数学试题含答案，共22页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若集合 A={−1,0,2},B={0,2,5} ，则 A∪B 中的元素个数是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
2. 已知复数 z 满足 z+zi=1+3i ，则复数 z 的实部和虚部分别是( )
A. -1,1 B. 2,1 C. -1, i D. 2, i
3. 设函数 fx=3x+1,x≤1lg12x−1,x>1 ,若 fx=−3 ,则 fx−8= ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 春节期间, 某家庭准备了 5 个不同的马年新春红包, 全部装入 3 个不同的红包袋中, 每个红包袋至少装 1 个红包, 则不同的装法种数是( )
A. 90 B. 150 C. 240 D. 300
5. 若椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的长轴长是短轴长的 2 倍,右焦点是抛物线 y2=2px 的焦点,则 ap= ( )
A. 22 B. 2 C. 2 D. 22
6. 已知 P 是函数 y=x+1xx>0 的图象上的任意一点,过 P 分别向直线 y=x 和 y 轴作垂线, 垂足分别为 A,B ,则 PA⋅PB= ( )
A. -1 B. −12 C. 0 D. 12
7. 已知定义在 0,+∞ 上的函数 fx 的导函数为 f′x ,若 f′x4x2−21 的解集是( )
A. −∞,3 B. 3,+∞ C. 0,3 D. 12,3
8. 将 6 名同学安排到 A,B,C 三个公司实习,每名同学只去一个公司实习,至少安排 1 名同学去 A 公司实习,至少安排 2 名同学去 B 公司实习,至少安排 2 名同学去 C 公司实习,则不同的安排方法有( )
A. 120 种 B. 150 种 C. 210 种 D. 300 种
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 将函数 y=sin2x 的图象向左平移 π4 个单位,再将横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变, 得到函数 gx 的图象,则 ( )
A. 函数 gx 的图象的一条对称轴为直线 x=π2
B. 函数 gx 的图象的一个对称中心为 π2,0
C. 函数 gx 的周期为 π2
D. 不等式 gx≥12 的解集为 −π3+2kπ,π3+2kπk∈Z
10. 为了解某校学生的某次数学测试情况, 随机抽取部分学生成绩(最低分为 50 分，满分 100 分)，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的有( )

A. 90,100 对应矩形的高度为 0.016
B. 样本众数估计值为 75
C. 样本平均数估计值为 77.4
D. 样本成绩的第 70 百分位数落在 [70,80) 内
11. 已知异面直线 l1,l2,l1⊥l2,A∈l1,B∈l2,AB⊥l1,AB⊥l2,P∈l1,Q∈l2 ,四点 A,B,P,Q 不共面， O 是线段 PQ 的中点， AB=2,PQ=4 ，则()
A. 当 AP=2 时， BQ=22
B. 当 AP=2 时，直线 AB,PQ 所成角为60°
C. 点 O 到直线 AB 的距离为 3
D. 三棱锥 A−BPQ 的体积的最大值为 3
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知等比数列 an,a2a4=2a2+a4=a6 ，则 a2= _____.
13. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 上任意一点 P 到其两条渐近线的距离之积为 29a2+b2 ，则双曲线 C 的离心率为_____.
14. 已知函数 fx=3−ax,x≥0−x3−ax+2,x0 ，则 a 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设数列 an 满足 3a1+5a2+⋯+2n+1an=2n .
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)求数列 an2n−1 的前 n 项和 Sn .
16. 某电商公司为研究直播带货中平台流量推广投入 x (单位:万元)与销售额 y (单位: 万元)的关系，统计了最近 10 场直播带货中平台流量推广投入和销售额数据，计算得: i=110xi=50,i=110yi=400,i=110xiyi=2200,i=110xi2=300.
(1)求销售额 y 关于直播带货中平台流量推广投入 x 的线性回归方程；
(2)该公司计划下一场直播投入总额 10 万元，现有两种方案:方案一:全部用于平台流量推广; 方案二: 部分用于平台流量推广,部分用于主播佣金激励. 其中平台流量推广投入 x 万元 0≤x≤10 ,主播佣金激励投入 10−x 万元.根据以往经验,主播佣金激励投入 t 万元的销售额为 12t−t2 万元; 平台流量推广的效果仍符合 (1) 中的回归方程. 比较两种方案, 如何分配投入才能使销售额最大? 并求出最大销售额.
参考公式: 线性回归方程 y=bx+a 中, b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2,a=y−bx .
17. 如图,在三棱柱 ABC−A1B1C1 中,平面 ACC1A1⊥ 平面 ABC ,四边形 ACC1A1 是矩形, AB=AC=2,BC=AA1=22.

(1)证明: AA1⊥ 平面 ABC .
(2)求平面 ABC 与平面 A1BC1 夹角的余弦值.
(3)在线段 BC1 上是否存在点 D ，使得直线 AD 与平面 A1BC1 所成角的正弦值为 223 ？若存在,求出 BDC1D 的值; 若不存在,请说明理由.
18. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的焦距与短轴长均为 22 .
(1)求椭圆 C 的标准方程.
(2)已知直线 l1:y=kx k>0 与椭圆 C 交于 A,B 两点，点 A 在 x 轴上方，过点 B 作斜率为 k2 的直线 l2 ,交椭圆 C 于另一个点 P .
①证明: AB⊥AP .
②求 △ABP 面积的最大值.
19. 已知函数 fx 在 R 上可导,且满足 ① f0=0 ; ② f′x 在区间 [0,+∞) 上单调递增.
(1)证明: fx≥xf′0 在区间 [0,+∞) 上恒成立;
(2) 记 a=f′0>0 ,当 x>0 时,恒有 fx1 时, fx=lg12x−1=−3 ,解得 x=9>1 ,
所以 fx−8=f9−8=f1=3+1=4 .
4. B
将 5 个不同的红包分 3 组, 有两种不同的方式,
①: “1,1,3”型,则有 C53C21C11 A22=10 种分法;
②: “ 2,2,1 ”型，则有 C52C32C11 A22=15 种分法,所以共有 25 种分法,
将分好的 3 组,装入 3 个不同的红包袋中,共有 25 A33=150 种装法.
5. A
椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的长轴长是短轴长的 2 倍,
所以 2a=2×2b ,即 a=2b ,所以 b=a2 ,
抛物线 y2=2px 的焦点为 p2,0 ,该焦点为椭圆的右焦点,
所以 a2=a22+p22 ,所以 a2=p22 ,即 ap=22 .
故选: A
6. B
设 Pt,t+1tt>0,Am,m ,由 OA⋅PA=0 ,
即 mt−m+mt+1t−m=0 ,解得 m=t+12t ,
所以 At+12t,t+12t,B0,t+1t ,
则 PA=12t,−12t,PB=−t,0 ,
所以 PA⋅PB=−t×12t+0×−12t=−12 .
7. D
设 gx=fx−x2x>0 ,则 g′x=f′x−2x .
因为 f′x−22 . 因为 f5=3 ,所以 g5=f5−52=−22 ,所以 g2x−1>g5 . 因为 gx 在 0,+∞ 上单调递减,所以 00 ,所以 a0 ,即 a>2x−x2max .
设 gx=2x−x2 x60 ,所以投入 6 万元到平台流量推广,4 万元到主播佣金时销售额最大,最大销售额为 76 万元。
综上可得:分配 6 万元投入平台流量推广、 4 万元投入主播佣金时销售额最大，最大销售额为 76 万元.
17.(1) 因为 AB=AC=2,BC=22 ，所以 AB2+AC2=BC2 ，所以 AB⊥AC .
因为平面 ACC1A1⊥ 平面 ABC ,且平面 ACC1A1∩ 平面 ABC=AC,AB⊂ 平面 ABC , 所以 AB⊥ 平面 ACC1A1 .
因为 AA1⊂ 平面 ACC1A1 ,所以 AB⊥AA1 .
因为四边形 ACC1A1 是矩形,所以 AA1⊥AC .
因为 AC⊂ 平面 ABC,AB⊂ 平面 ABC ,且 AB∩AC=A ,所以 AA1⊥ 平面 ABC ;
(2)由(1)可知 AC,AB,AA1 两两垂直，则以 A 为坐标原点，
AC,AB,AA1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

因为 AB=AC=2,AA1=22 ,所以 A10,0,22,B0,2,0,C12,0,22,A1B=0,2,−22 , A1C1=2,0,0 .
设平面 A1BC1 的法向量为 n=x,y,z ,
则 n⋅A1B=2y−22z=0n⋅A1C1=2x=0 ,令 y=2 ,得 n=0,2,1 .
易知平面 ABC 的一个法向量为 m=0,0,1 .
设平面 ABC 与平面 A1BC1 的夹角为 θ ,
则 csθ=cs⟨n,m⟩=n⋅mnm=13=33 ,
即平面 ABC 与平面 A1BC1 夹角的余弦值为 33 .
(3)假设存在满足条件的点 D ，且 BD=λBC 1( 0≤λ≤1 )，
使得直线 AD 与平面 A1BC1 所成角的正弦值为 223 .
由 (2) 可知 A0,0,0,B0,2,0,C12,0,22 ,
则 AD=AB+BD=AB+λBC1=2λ,2−2λ,22λ .
因为直线 AD 与平面 A1BC1 所成角的正弦值为 223 ，
所以 cs⟨n,AD⟩=n⋅ADnAD=223×4λ2+4λ2−8λ+4+8λ2=223 .
解得 λ=14 ,所以 BD=14BC1 ,即 BDC1D=13 ,
则存在满足条件的点 D ,此时 BDC1D=13 .
18.(1) 由题意可得 2a2−b2=222b=22a2=b2+c2 ,解得 a=2,b=2 , 所以椭圆 C 的标准方程是 x24+y22=1 .
(2)解法一:联立方程 y=kx,x24+y22=1, ，解得 x=22k2+1y=2k2k2+1 或 x=−22k2+1y=−2k2k2+1 . 因为点 A 在 x 轴上方,所以 A22k2+1,2k2k2+1,B−22k2+1,−2k2k2+1 , 则直线 l2 的方程为 y−−2k2k2+1=k2x+22k2+1 ,即 y=k2x−k2k2+1 . 又由 y=k2x−k2k2+1x24+y22=1 ,消去 y 化简得 k2+2x2−4k22k2+1x−12k2+82k2+1=0 , 则 xBxP=−12k2+82k2+1k2+2 ,所以 xP=6k2+4k2+22k2+1 , 故点 P 的坐标为 6k2+4k2+22k2+1,2k3k2+22k2+1 . 如图:

①证明:因为 A22k2+1,2k2k2+1,P6k2+4k2+22k2+1,2k3k2+22k2+1 ， 所以直线 AP 的斜率 kAP=2k3k2+22k2+1−2k2k2+16k2+4k2+22k2+1−22k2+1=2k3k2+2−2k6k2+4k2+2−2=2k3−2kk2+26k2+4−2k2+2 =−4k4k2=−1k
所以 k⋅kAP=−1 ,故 AB⊥AP .
②因为 A22k2+1,2k2k2+1,B−22k2+1,−2k2k2+1 ，
所以 AB=22k2+1+22k2+12+2k2k2+1+2k2k2+12=4k2+12k2+1 .
因为 A22k2+1,2k2k2+1,P6k2+4k2+22k2+1,2k3k2+22k2+1 ,
所以 AP=22k2+1−6k2+4k2+22k2+12+2k2k2+1−2k3k2+22k2+12
=4kk2+1k2+22k2+1 .
因为 AB⊥AP ,所以 △ABP 的面积 S=12AB⋅AP=12×4k2+12k2+1×4kk2+1k2+22k2+1 =8k3+k2k4+5k2+2=8k+1k2k2+1k2+5.
设 t=k+1k ,由 k>0 ,得 t≥2 ,当且仅当 k=1 时,等号成立,
所以 S=8t2t2−2+5=8t2t2+1=82t+1t .
因为对勾函数 y=2t+1t 在 [2,+∞) 上单调递增,所以 2t+1t≥2×2+12=92 ,
故 S=82t+1t≤169 ,当且仅当 t=2 即 k=1 时等号成立,
所以 △ABP 面积的最大值为 169 .
解法二: ① 设 Ax1,y1x1>0,y1>0,Px2,y2 ，则 B−x1,−y1 . 如图:

联立方程 y=kx,x24+y22=1, 解得 x12=41+2k2,y12=4k1+2k2 ,所以 OA2=x12+y12=41+k21+2k2 .
又因 A,P 在椭圆上,所以 x124+y122=1x224+y222=1 ,两式相减 x12−x224+y12−y222=0 , y1−y2x1−x2⋅y1+y2x1+x2=−12,
又因为 kAP=y1−y2x1−x2,kBP=y2−−y1x2−−x1=y1+y2x1+x2 ,所以 kAP⋅kBP=−12 ,且 kBP=12k , 所以 kAP⋅12k=−12 ,即 kAP⋅k=−1 ,故 AB⊥AP .
②设直线 AB 的倾斜角为 α ，直线 BP 的倾斜角为 β ，则 tanα=k,tanβ=12k ，
tan∠ABP=tanα−β=tanα−tanβ1+tanαtanβ=k−12k1+12k2=k2+k2 ,
因为 △ABP 是直角三角形， AP=ABtan∠ABP ， AB=2OA ，
所以 S=12ABAP=12AB⋅ABtan∠ABP=12AB2tan∠ABP
=122OA2tan∠ABP=2×41+k21+2k2×k2+k2=8k3+k2k4+5k2+2=8k+1k2k2+1k2+5 ,
设 t=k+1k ,由 k>0 ,得 t≥2 ,当且仅当 k=1 时,等号成立,
所以 S=8t2t2−2+5=8t2t2+1=82t+1t .
因为对勾函数 y=2t+1t 在 [2,+∞) 上单调递增,所以 2t+1t≥2×2+12=92 ,
故 S=82t+1t≤169 ,当且仅当 t=2 即 k=1 时等号成立,
所以 △ABP 面积的最大值为 169 .
19.(1) 令 ℎx=fx−xf′0 ,求导得 ℎ′x=f′x−f′0 ,
因为 f′x 在区间 [0,+∞) 上单调递增,所以 f′x≥f′0 ,所以 ℎ′x≥0 ,
所以 ℎx 在 [0,+∞) 上单调递增,所以 ℎx≥ℎ0=f0−0×f′0=0 ,
所以 fx≥xf′0 ;
(2)因为 a=f′0>0 ，由(1)可知 fx≥ax ，当 x>0 时，恒有 fxφ0=e0−a×0−1=0 ,所以 ex−ax−1>0 ,即 fx1 ,令 φ′x=0 ,解得 x=lna ,
当 0