浙江省名校协作体G12联盟2025-2026学年高二下学期开学考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份浙江省名校协作体G12联盟2025-2026学年高二下学期开学考试数学试卷（Word版附解析），文件包含23书面表达之说明介绍类解析版docx、23书面表达之说明介绍类学用版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。
1.本卷满分150分，练习时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4.练习结束后，只需上交答题卷.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，，（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由，可得，
又，所以.
2. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
详解】由，得.
所以直线的斜率为.
设直线的倾斜角为 ，则.
所以.
3. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由向量的线性运算可得结果.
【详解】.
故选：A.
4. 圆与圆的位置关系是（ ）
A. 外离B. 相交C. 相切D. 内含
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆心距和两圆半径的关系判断即可.
【详解】圆的圆心为，半径为；
圆的圆心为，半径为.
所以，
即，所以圆与圆外离.
5. 已知，q：直线与直线平行，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据两直线平行求出的值，结合充分条件、必要条件的概念判断即可.
【详解】因为直线与直线平行，
所以，即，解得或.
当时，，满足平行条件.
当时，，满足平行条件.
所以，两直线平行时或.
因此是的充分不必要条件.
6. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线右支于A，B，，且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线的定义及余弦定理，结合题意可得的关系，从而求得双曲线的离心率.
【详解】由，得.
又，所以.
因为，所以，.
设双曲线（，）的焦距为，则.
因为，所以，
即，所以，化简得，
所以双曲线的离心率为.
7. 已知数列的前n项和为，，，则的值是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据整理得，令，进而证明数列为等比数列，再结合等比数列通项公式得，最后代入公式求解即可.
【详解】因为，，
所以，即，
等式两边同时除以得：，即，
令，则，，
所以，即数列为等比数列，公比为，首项为，
所以，即，
所以，即，
所以.
8. 已知正方体的棱长为2，点为棱的中点.球体O为与正方体的所有棱都相切的球体，则三边与球体公共部分的长度总和是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出平面截球所得截面圆的圆心及半径，在三角形中，以中点为坐标原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，求出截面圆的方程，进而求出截面圆与三边的交点坐标，利用两点间距离公式即可求解.
【详解】根据已知棱切球的球心就是正方体中心，半径.
如图，设与的交点为，过球心作平面的垂线，垂足为，
斜边上高，所以，
所以平面截球所得截面圆（圆心是）的半径，
如图，在矩形中，作，交于点，
在中，，，所以，
所以，
在三角形中，如图建立直角坐标系，
所以，，，截面圆，
圆与三角形各边的交点分别为，，，，，
所以三角形三边与正方体的棱切球（与12条棱都相切的球）的公共部分长度总和为.
联立，求得，，
直线方程为，
联立，求得，
同理求得，
所以，
所以三边与球体O公共部分的长度总和是.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若复数，则下列结论正确的是（ ）
A. z的虚部为B. z的共轭复数为
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用复数的概念及运算即可判断.
【详解】对于A，z的虚部为，故A错误；
对于B，z的共轭复数为，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
10. 已知正实数a，b满足，则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【详解】对于A项，由基本不等式 ​，代入已知等式得：，
令则不等式化为，结合 ，解得，
即，得到，当且仅当 时，等号成立，故A正确；
对于B项，由基本不等式，令，则，
整理得到，结合 ，解得 ，即，
当且仅当 时，等号成立，故B错误；
对于C项，先化简得到，将代入得到，
由选项 A 知，则，故，
当且仅当 时，等号成立，故C正确；
对于D项，由得到，其中 ，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确
11. 已知平面内动点到定点的距离与到定直线的距离之和等于3，其轨迹为曲线，若过点的直线与曲线交于，两点，则下列结论正确的是（ ）
A. 点的轨迹方程为
B. 若，则
C. 的最小值为3
D. 若半径为的圆与曲线有且只有一个交点，且与轴切于点，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，利用题目信息列方程，去绝对值即可求出轨迹方程，可判断A；对于B，利用抛物线的定义，结合图象即可判断；对于C，分为在左支和在左、右两支两种情况分别求最小值，即可判断；对于D，代数法：设切线方程，求出切点坐标，根据切线与圆相切列方程组，即可求出答案；几何法：设切点为，在圆上找到一点，根据抛物线的光学性质得到为等边三角形，从而得到方程，联立求出点坐标，即可得到答案.
【详解】由题意知，，
当时，可化为，当时，可化为，故A错误；
对于B选项，如图所示，
根据抛物线定义可知，，，
所以，
，
所以，所以，故B正确；
对于C选项，当交在左支，最小值为通径4，当交在两支时，最小值为3，故C正确；
D选项代数法：设切线方程为，
（*），
则切点为，
由题意得圆的方程为，
则，
将（*）代入上式得，，
消得，解得，
所以.
几何法：【光学性质】设抛物线与圆相切于点,
为的角平分线，轴，，
又∵轴，
∴等边三角形，
所以方程为，
联立抛物线方程：，
易知与右支有一交点，且与x轴切于点F的圆不存在，
所以.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设函数，则______.
【答案】
【解析】
【分析】直接代入函数解析式计算，再求和即可得答案.
【详解】因为函数，
所以，，
所以.
故答案为：
13. 动直线与动直线相交于点，则的最小值为______.
【答案】2
【解析】
【分析】易知动直线与动直线分别过定点，且两直线垂直，所以点的轨迹为以为直径的圆（不含两点).根据的几何意义（斜率），利用点到直线的距离公式可求得其取值范围，从而求得的最小值.
【详解】由，得，所以动直线过定点，不含直线；
由，得，所以动直线过定点，不含直线.
又直线与动直线垂直，
所以点的轨迹是以为直径的圆（不含点）.
因为线段的中点为，，
所以点的轨迹方程为.
令，则，即.
可以看作上的点与点的连线的斜率，
设到直线（不过)的距离为，则，
即，即，解得且.
所以，且，所以，且.
故的最小值为.
14. 已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理和余弦定理可得，再利用辅助角公式可得出，可求出.
【详解】由正弦定理得，因此可知，
代入余弦定理，得，
同除以得，即，其中，
当且仅当，即时，等号成立；
故，即，因此.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，，且函数的最小正周期为.
（1）求ω及的值；
（2）将函数的图象向左平移个单位，得到函数，求在区间上的值域.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角的正弦、余弦公式及辅助角公式将化简为的形式，根据最小正周期计算公式可得的值，从而求得的值；
（2）先求得的解析式，再结合余弦函数在给定区间上的单调性求得在区间上的值域.
【小问1详解】
由题意，.
∵函数的最小正周期为，∴，所以；
所以，所以.
【小问2详解】
由题可知.
若，则，
令，.
因为在上单调递增，在上单调递减，且，
所以
所以在区间上的值域为.
16. 已知函数，其中a，
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若，，求a的取值范围.
【答案】（1）在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（2）.
【解析】
【分析】（1）去除绝对值写出分段函数的表达式，再利用二次函数的单调性求解即可.
（2）当时，先去除绝对值得到恒成立，再分离参数，利用基本不等式求解即可.
【小问1详解】
当时，
又因为抛物线开口向上，对称轴为，
开口向上，对称轴为，
所以当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
【小问2详解】
因为，
所以，对所有恒成立
化简得到
令，则，
令
当且仅当，即时等号成立.
所以
17. 如图，四棱锥中，平面，，，，，，M是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，在线段上是否存在点Q，使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）取的中点，根据中位线定理证明，利用平行四边形的性质证明 ，再由线面平行的判定定理证得平面.
（2）假设在线段上是否存在点Q满足题意，建立空间直角坐标系，并设，，根据线面角的向量求法，列出关于的方程，求解可得.
【小问1详解】
取中点N，∵M为中点，∴，且.
又∵，，∴，且，
∴四边形为平行四边形，所以 .
∵平面，平面
∴平面.
【小问2详解】
∵平面，且，所以两两垂直.
以点A为坐标原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
得，，，，.
∴，，，，，.
假设存点Q满足题意，设，
.
设平面的法向量为
则，令，则
设直线与平面所成的角为，则
，
化简得，解得或.
因为，所以，即.
18. 已知正项数列前n项和为，且，表示不超过x的最大整数，如，，.
（1）求数列的通项公式：
（2）记，求的值；
（3）记，若，求n的最小值.
【答案】（1）
（2）2551 （3）316
【解析】
【分析】（1）利用递推关系可证明等差数列求通项公式；
（2）利用分组求和，放缩求和可求值；
（3）利用对数运算性质来估计项数，即可求解.
【小问1详解】
由，当时，可得，
两式相减可得：
所以，（），又因为，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，即；
【小问2详解】
由，
则，
因为，
，
所以，
即.
【小问3详解】
由，则，，，，
可得：当时，，，
当时，记
则
两式相减可得：
则，
因为时，，，所以
则
所以，因为，所以，所以.
19. 已知椭圆：（）的焦点为，直线与轴交于点，与椭圆交于点，（在轴上方），且当线段轴时，其长度为3.
（1）求椭圆的方程；
（2）若为线段的中点，求点到直线的距离的最小值（其中O为坐标原点）；
（3）若直线与轴交于点，直线与椭圆交于、两点，且满足.若过点的切线与直线交于点，求的面积.
【答案】（1）
（2）
（3）3
【解析】
【分析】（1）由题意可得的值，结合线段轴时，其长度为3即可求出，的值，进而确定椭圆方程.
（2）设出点坐标及直线方程，与椭圆方程联立结合斜率公式求出，得到直线方程，根据点到直线的距离公式及二次函数的性质即可求出最小值.
（3）求出点的坐标及过点的切线方程，设直线的方程，与椭圆方程联立结合已知条件得到，进而得到直线所过定点，并验证该定点在切线上，进而求三角形面积即可.
【小问1详解】
因为椭圆的焦点为，所以，则.
当轴时，，故，解得，.
所以，椭圆的方程为：
【小问2详解】
设，则：，
联立椭圆方程整理得，所以，
解得，
所以，
可得，进而：.
于是.
令，所以，
当时d取最小值.
所以点P到直线的距离d的最小值为.
【小问3详解】
由题意知，直线：，与联立可得（在轴上方）.
则椭圆在点处的切线方程为，即.
设直线的倾斜角为，因为直线的倾斜角为，且，
所以直线的倾斜角为.
所以.
设直线的方程为：，，
联立，消去x可得：，
，，
故
即，
也即
整理得，即
当时，直线的方程为，则恒过点，
又点在椭圆在点处的切线上，所以椭圆在点处的切线与直线的交点为，即.
当时，直线过点，结合图象可知，无法满足，不符合题意.
此时，点到直线的距离为，又，
所以.