浙江省名校协作体2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题（Word版附解析）

这是一份浙江省名校协作体2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线 3x-y+2025=0的倾斜角为( )
A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘
2.已知双曲线y2m-x22=1的焦距为2 3，则m的值为( )
A. 4B. 2C. 1D. 2
3.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90∘，AB=AC=AA1=4，P是棱B1C1的中点，则C到平面ABP的距离为( )
A. 2 3B. 2 5C. 6 55D. 8 55
4.已知直线l的方向向量u=(1,5,4)，平面α的法向量n=(3,5,x)，若直线l与平面α平行，则实数x的值为( )
A. 7B. -7C. 2D. -2
5.圆x2+y2-4=0与圆x2+y2-2x+2y-6=0的公共弦长为( )
A. 2 3B. 3C. 14D. 142
6.已知F为抛物线C:y2=x的焦点，其中O为坐标原点，直线l交抛物线C于A、B两点，且OA⋅OB=-14，点F关于直线l的对称点为H，则直线OH的斜率的最大值为( )
A. 23B. 2 23C. 33D. 2 33
7.已知直线l1:mx-y-3=0与直线l2:2x+(m+3)y+1=0垂直，则实数m的值为( )
A. 3B. -3C. 2D. 1
8.已知等差数列{an}，m，n，p∈N*，则“2n=m+p”是“2an=am+ap”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.给出下列命题，其中正确的有( )
A. 空间中任意两个向量一定共面
B. 若空间向量a=(2,2,-3)，b=(1,1,1)，则a与b的夹角为钝角
C. 若{a,b,c}是空间的一个基底，则a，b，c中任意两个向量不共线
D. 若{a,b,c}是空间的一个基底，则{a,b,c-a}也是空间的一个基底
10.已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则下列结论正确的有( )
A. 若SnTn=12n-1，则{an}为常数列B. 若SnTn=12n-1，则{bn}为常数列
C. 若SnTn=n+12n-1，则a4b5=817D. 若SnTn=n+12n-1，则{anbn}是递增数列
11.在平面直角坐标系中，圆锥曲线可以用方程来表示，图形的几何性质被方程的系数所确定.曲线的方程是依赖于坐标系的，而方程所表示的曲线的几何性质是不依赖于坐标系的，所以表示这些几何性质的量，如圆锥曲线的离心率，焦距等，不会由于直角坐标系的位置变化而变化.已知某圆锥曲线的方程为x2+xy+y2=1，P(m,n)是曲线上任意一点，则( )
A. 该曲线关于坐标原点O对称B. m2+n2的取值范围是[23,1]
C. 该曲线是双曲线，离心率为 2D. 该曲线是椭圆，离心率为 63
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知公比不为±1的等比数列{an}满足a12a13=a2am，则正整数m的值为 .
13.已知圆O:x2+y2=5，其中O为坐标原点，直线l:x+my-1=0(m∈R)与圆O交于点A、B，则△AOB的面积的最大值为 .
14.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是线段BC1上的一点，则直线DP与平面AC1D所成角的正弦值的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=n2.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=1anan+1，求数列{bn}的前n项和Tn.
16.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，曲线y=x2-4x+3与坐标轴的交点都在圆C上.
(1)求圆C的方程;
(2)设P是直线l:y=2x-2上的一点，过P向圆C引两条切线，切点为A、B，使得△PAB为正三角形，求点P的坐标.
17.(本小题12分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA=PD= 2，AB=BC=12AD=1，∠BAD=∠ABC=π2，E是PD的中点.
(1)证明：CE//平面PAB;
(2)若PC= 2，求平面EBC与平面PAB夹角的余弦值.
18.(本小题12分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，长轴长为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点T(t,0)(t0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由韦达定理得y1+y2=m，y1y2=-n，
则x1x2=y12y22=(y1y2)2=n2.
因此OA⋅OB=x1x2+y1y2=n2-n=-14，
即n2-n+14=0，解得n=12，
所以直线l的方程为x=my+12，
又Δ=m²+4n=m²+2>0，可得m∈R.
设H(x0,y0)，
由F(14,0)与H(x0,y0)关于直线l:x-my-12=0对称，
可得FH的中点(14+x02,y02)在直线l上，有14+x02-m⋅y02-12=0，①
又y0x0-14⋅1m=-1，可得y0=m(14-x0)②
由①②整理可得，x0=m2+34(m2+1)，y0=-m2(m2+1).
则直线OH的斜率kOH=y0x0=-2mm2+3.
当m=0时，kOH=0;
当m≠0时，|kOH|=|2m|m2+3=2|m|+3|m|≤22 |m|×3|m|= 33，当且仅当|m|=3|m|，即m=± 3时等号成立，
所以|kOH|≤ 33，则直线OH的斜率最大值为 33.故选C.
7.【答案】A
【解析】解：因为线l1:mx-y-3=0与直线l2:2x+(m+3)y+1=0垂直，
所以2m-m+3=0，
解得m=3.
8.【答案】A
【解析】解：由等差数列的性质知，
当2n=m+p时，有2an=am+ap，
若{a n}为常数列，则有 2a1=a2+a3，而2×1≠2+3，
∴2an=am+ap时，2n=m+p不一定成立，
∴“2n=m+p”是“2an=am+ap”的充分不必要条件.
9.【答案】ACD
【解析】解：对于A，0与任意向量共面，任意两非零向量平移后表示向量的有向线段一定在同一平面内，所以任意两向量共面，A正确；
对于B，a⋅b=1>0，且a与b不共线，则a与b的夹角为锐角，B错误；
对于C，根据空间向量基底定义，基底中任意两基向量不共线，C正确；
对于D，{a,b,c}是空间的一个基底，则a，b，c中任意两个向量不共线，从而可得a，b，c-a中任意两向量不共线，所以{a,b,c-a}也是空间一个基底，D正确.
故选：ACD.
10.【答案】ACD
【解析】解：对于A，等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，SnTn=12n-1，
S2n-1T2n-1=(2n-1)an(2n-1)bn=anbn=12(2n-1)-1=14n-3，得an(4n-3)=bn，且a1b1=1，b1≠0
设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1,d2，
则an=a1+(n-1)d1=d1n+a1-d1,bn=b1+(n-1)d2=d2n+b1-d2，
所以(d1n+a1-d1)(4n-3)=d2n+b1-d2，
4d1n2+(4a1-7d1)n-3(a1-d1)=d2n+b1-d2，
根据对变量n，左二次，右一次函数式子相等得
4d1=04a1-7d1=d2-3(a1-d1)=b1-d2，①所以d1=0，{an}为常数列，A正确；
对于B，由①得d2=4a1，根据a1b1=1，b1≠0，所以d2≠0，{bn}不为常数列，B错误；
对于C，SnTn=n+12n-1，
S2n-1T2n-1=(2n-1)an(2n-1)bn=anbn=2n-1+12(2n-1)-1=2n4n-3，a1b1=2
所以anbn=d1n+a1-d1d2n+b1-d2=2n4n-3，
得a1=d12d1=d2，设d12=k，k为常数，
得an=a1+(n-1)d1=nd1=2nk，bn=(4n-3)k，a4b5=8k(20-3)k=817，C正确；
对于D，anbn=2n(4n-3)k2，an+1bn+1-anbn=2(n+1)(4n+1)k2-2n(4n-3)k2=2(8n+1)k2>0，
所以{anbn}是递增数列，D正确.
故选ACD.
11.【答案】AD
【解析】解：对于A，将(-x,-y)代入方程x2+xy+y2=1，得到(-x)2+(-x)(-y)+(-y)2=x2+xy+y2=1，方程不变，所以该曲线关于坐标原点 O对称， A选项正确.
对于B，设m=rcsθ，n=rsinθ，m2+n2=r2，又P(m,n)是曲线上任意一点，
则有r2cs2θ+r2csθsinθ+r2sin2θ=1
即r2(1+12sin2θ)=1，r2=11+12sin2θ.
因为-1≤sin2θ≤1，所以12≤1+12sin2θ≤32.
则23≤r2≤2，即m2+n2的取值范围是[23,2]，B选项错误.
对于C，D，
设x=rcsθ，y=rsinθ，代入方程x2+xy+y2=1，
r2+r2sinθcsθ=1.
做代换：θ'=θ+π4(相当于将原来图形绕原点旋转45∘).
即：r2+r2sin(θ'-π4)cs(θ'-π4)=1.
即：r2+12r2sin(2θ'-π2)=r2-12r2cs(2θ')=r2-12r2(cs2θ'-sin2θ')=1.
记：x'=rcsθ'，y'=rsinθ'，
从而：x'2+y'2-12x'2+12y'2=1.即：12x'2+32y'2=1，此时离心率e= 2-23 2= 63.
故C选项错误，D选项正确.
故选AD.
12.【答案】23
【解析】解：∵数列{a n}为等比数列且公比不为±1，
∴由等比数列的性质：若m+n=p+q则a ma n=a pa q，反之也正确，
∵a12a13=a2am，
∴12+13=2+m，
所以m=23.
故答案为23.
13.【答案】2
【解析】解：由题意可得，直线l:x+my-1=0(m∈R)恒过定点M(1,0)，
圆O:x2+y2=5的圆心O(0,0)，半径R= 5，
设圆心O到直线l的距离为d，
当OM⊥l时，d最长为1，
直线l不过圆心，故d∈(0,1],
SΔAOB=12⋅2 5-d2⋅d= 5d2-d4= -(d2-52)2+254，d∈(0,1]
当d=1时，即1 1+m2=1，解得m=0时，SΔAOB取得最大值2，
所以△AOB的面积的最大值为2.
故答案为2.
14.【答案】[0,12]
【解析】解：设正方体的棱长为2，
以D为坐标原点建立空间直角坐标系，A2,0,0,C10,2,2,D0,0,0，
设Pm,2,2-m0≤m≤2，
则DP=m,2,2-m,DC1=0,2,2,DA=2,0,0，
设平面AC1D的法向量为n=x,y,z，则n⋅DC1=2y+2z=0n⋅DA=2x=0，取n=0,1,-1，
设直线DP与平面AC1D的夹角为θ，
则sinθ=csn,DP=m 2⋅ m2+4+2-m2=m2 m2-2m+4，
当m=0时，sinθ=m2 m2-2m+4=0，
当m∈0,2时，sinθ=m2 m2-2m+4=12 4m2-2m+1∈0,12,
综上，sinθ∈0,12，即直线DP与平面AC1D所成角的正弦值的取值范围为[0,12].
故答案为[0,12].
15.【答案】解：(1)当n=1时，a1=S1=1，
当n≥2时，∵Sn=n2，
∴Sn-1=(n-1)2，
两个式子相减得an=2n-1，
当n=1时，a1=1也满足an=2n-1，
所以{an}的通项公式为an=2n-1；
(2)bk=1akak+1=1(2k-1)(2k+1)=12(12k-1-12k+1)，
故Tn=12(1-13)+12(13-15)+12(15-17)+…+12(12n-1-12n+1)=12(1-12n+1)=n2n+1.
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
16.【答案】解：(1)曲线y=x2-4x+3与坐标轴的交点为(1,0)，(3,0)，(0,3)
由题意可设C的圆心坐标为(2,t)，所以(2-1)2+(t-0)2=(2-0)2+(t-3)2，解得t=2，
所以圆C的方程为(x-2)2+(y-2)2=5.
(2)由题意得∠PCA=60∘，在Rt△PCA中，|PC|=2r=2 5，
设P(a,2a-2)，则|PC|2=(a-2)2+(2a-2-2)2=20，解得a=0或a=4，
所以点P的坐标为(0,-2)或(4,6).
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
17.【答案】解：(1)取PA中点F，连接EF，BF，由条件可知，EF是△PAD的中位线，
所以EF=//12AD，又因为BC=//12AD，所以EF=//BC，所以四边形EFBC是平行四边形，所以CE//BF，
又因为CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB，所以CE//平面PAB;
(2)取AD中点O，连接PO，OC，由条件可知，在等腰直角三角形PAD中，PO=1，
在直角梯形ABCD中，CO=1，由PO2+OC2=PC2，故PO⊥OC，又因为PO⊥AD，AD，OC⊂平面ABCD，AD∩CO=O，
所以PO⊥平面ABCD，如图以O为坐标原点，分别以OA、OC、OP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，
则A(1,0,0)，B(1,1,0)，P(0,0,1)，C(0,1,0)，D(-1,0,0)，
故E(-12,0,12)，BC=(-1,0,0)，EB=(32,1,-12)，AB=(0,1,0)，AP=(-1,0,1)，
设平面EBC的一个法向量为n1=(x1,y1,z1)，则n1⋅BC=0,n1⋅EB=0,-x1=0,32x1+y1-12z1=0,取n1=(0,1,2)，
设平面PAB的一个法向量为n2=(x2,y2,z2)，则n2⋅AB=0,n2⋅AP=0,得y2=0,-x2+z2=0,取n2=(1,0,1)，
设平面EAB与平面PAB的夹角为θ，则csθ=n1⋅n2n1⋅n2= 105，即平面EAB与平面PAB夹角的余弦值为 105

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
18.【答案】解：(1)由题意知：2a=4，ca=12，解得a=2，c=1，故b2=a2-c2=3，所以椭圆C的方程为x24+y23=1.
(2)(i)由题可知A是MN的中点，即|AM|=|AN|，且|OP|=|OQ|，易知S1=12|PA|⋅|AN|，S2=12|QA||AM|，故S1S2=|PA||QA|=13，故A是OP的中点.
①当k=0时，易知P(-2,0)，A(-1,0)，此时t=-1;
②当k≠0时，由y=kx,x24+y23=1,得(3+4k2)x2=12，
由条件可知P(-2 3 3+4k2,-2 3k 3+4k2)，A(- 3 3+4k2,- 3k 3+4k2)，
故直线MN的方程为：y+ 3k 3+4k2=-1k(x+ 3 3+4k2)，
由直线MN过点T(t,0)(t