浙江省名校协作体G12联盟2026届高三下学期二模数学试卷含解析（word版+pdf版）

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（解析来源于浙江省高中数学）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知 ,其中 为虚数单位,则
A. -2 B. 2 C. -4 D. 4
【答案】D
【解析】.
2. 已知 ,则
A. 32 B. 16 C. 8 D. 4
【答案】A
【解析】.
3.体积为 的球的表面积为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
4.已知向量 ，若 ，则
A. -2 B. 2 C. -6 D. 6
【答案】C
【解析】 ,得 .
5.已知双曲线 的左焦点为 为虚轴端点,直线 与渐近线 交于点 , 若 ,则该双曲线的离心率是
A. B. 2C. D. 3
【答案】B
【解析】 ,则过 两点的直线方程为 ,
联立 ,得交点 横坐标为 ,
由 ,得 ,所以 .
6.已知函数 在区间 上单调递增,则 取值范围为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ,增区间为 .
7.已知数列 满足 ,且 ,则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 ①,
当 时, ②,
①-②,得 ,即 ,
,所以 ,所以 ,
又 ,因此 ,所以 .
8.若曲线族 (具有某种共同性质的所有曲线的集合) 满足条件: 存在直线 ,使得曲线族中存在无数个点在该直线上，称该曲线族是 “完美的”，下列曲线族是 “完美的” 是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A 项: 圆心为 ,半径为 ,圆心在抛物线 上,随着 增大,圆心沿着抛物线迅速上移,半径也增大,这些圆会覆盖一个广阔的抛物线带状区域, 但不存在一条能同时被无数个圆经过的固定的直线,故 A 错误;
B 项: 圆心为 ,半径为 ,圆心在抛物线 ,当 趋向于 0 时,圆心趋向于原点,且半径很小,那么要让直线与圆始终有交点,则直线需要经过原点. 当 增大时,圆心向上移动,半径也随之变大, 这样过原点的直线, 不一定能保证与圆都会有交点, 故 B 错误;
项: 圆心为 ,半径为 ,圆心到直线 的距离为 ,此时直线与圆始终有两个交点,当 变化时,直线与无数个圆都有交点,符合题意,故 正确;
D 项: 圆心为 ,半径为 ,同 A 选项,故 D 错误.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.为测试一种新研发药物的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了 100 只, 得到如下数据 (单位: 只):
从该动物种群中任取 1 只,记事件 表示此动物发病,事件 表示此动物使用药物,定义 的权值 ,在 发生的条件下 的权值 ,则
A. 的估值为 的估值为 B. 的估值为 的估值为
C. 可化为 D. 可化为
【答案】AC
【解析】 ,故 A 正确, B 错误;
,故 C 正确, D 错误.
10.在正三棱柱 中， ，点 满足 ， ， ， ，则
A. 当 时， B. 当 时， 与 异面
C. 若 面 ，则 D. 若点 在平面 内,则
【答案】ACD
【解析】A 项: ,故 A 正确;
B 项: 当 在直线 上,故 B 错误;
项: 取 的中点 ,当 面 面 ,故 正确;
D 项:
,故 D 正确.
11.已知集合 ，其中 ，且 ， ，定义 的和集 ,则
A. 若 是等差数列,则 的元素个数为
B. 若 是等比数列,则 的元素个数为
C. 若 的元素个数为 ,则 是等差数列
D. 若 的元素个数为 ,则 是等比数列
【答案】ABC
【解析】A 项: 显然与首项无关,不妨 ,则 ,故 A 正确;
B 项: 个数与首项无关,不妨 ,对于 ,不妨 ,
则 ,两边关于 不同系,故 ,
所以 ,
所以个数为 ,故 B 正确;
C 项: 因为个数为 ,所以 .
又 , 且从小到大排列,
又 ,所以 与 之间至少有一个,
所以排序比照有 ,所以 是等差数列,故 正确;
D 项: 构造,对 满足 “前 个中任意两数之和的最大值” 即可,无需等比,故 D 错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.曲线 在点 处的切线方程为________.
【答案】
【解析】由题可知 ,则切线斜率为 ,所以切线方程为 .
13.已知 ，则 的值为_______.
【答案】
【解析】 ,化简得 ,
解得 或 ,又因为 ,所以 ,即 ,
14.某校数学教师命制一张试卷, 试卷要求考查函数、几何、概率统计三个板块内容, 其中函数题 3 道、几何题 2 道、概率统计题 2 道, 且同板块试题难度互不相同. 现要求同一板块的试题不相邻且难度从易到难, 则该试卷不同的排版方案有_____种.(用数字作答)
【答案】38
【解析】
【解析一】(杭州陈老师)
因为同种类型的题目, 已经按照从易到难排好, 故只需考虑 7 个位置中, 每种题型分别在哪些位置; 将函数题记为 ,几何题记为 ,概率统计题记为 ,按照 3 个 所在位置分类:
一、 的位置如图:_____ _____ _____，则 与 的位置情况有 种；
二、 的位置如图: _____ _____ _____ _____ 或者 _____ _____ _____ _____ ，则相邻的两个空位必须一个为 ，另一个为 ， 故两种情况下， 与 的位置情况数均为 种，共 8 种情况；
三、 的位置如图:_____ _____ _____ _____ 或 _____ _____ _____ _____ 或 _____ _____ _____ _____ 或 _____ _____ _____ _____ ，
即两个 之间的空位数为分别为 1 和 2,最左或最右还有一个空位,同样,相邻相邻的两个空位必须一个为 ,另一个为 ,故第三类共有 种情况;
四、 的位置如图: _____ _____ _____ _____ ，与前两类类似， 与 的位置情况数为 种；
五、 的位置如图: _____ _____ _____ _____ 或 _____ _____ _____ _____ ，三个相邻的空位，必为 或者 ，于是共有 种情况；
综上,不同的排版方式共有 种。
故答案为: 38
【解析二】(错过的雨老师)
设函数题由易到难为 ,几何题由易到难为 ,概率统计题由易到难为 ,
先排函数题只能是 ,将剩下的插入, ,设 与 之间插入 个, 与 之间插入 个,则所有可能的 为 .
① ， ， 与 ， 与 可互换， 种；
② ，
，同上为 8 种；
④ ， ，共 14 种；
⑤ ,共2种;
⑥ ，同上为 2 种；
所以一共有 种 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知公差不为零的等差数列 的前 5 项和为 35 ，且 ， ， 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 满足 ，求证: .
【解析】(1)设数列 的通项公式为 ，
由 ,故 : 2 分
又 成等比数列,故 ,解得 , 4 分
因为 ,故 代入 可得 ,故 7 分
(2) , 9 分
故 11 分
13 分
16.已知锐角 中，角 的对边分别为 ，且 .
(1)求 ；
(2)在以下三个条件中选择一个作为已知，求 .
① 面积为3√3；② 边上的的中线长为3，③ ， ， 成等差数列.
【解析】(1) 由 , 2 分
由于 是锐角三角形,故 , 4 分
由正弦定理 ，故 . 7 分
(2)由余弦定理 ，得到 . 9 分
选择① 面积为 :
12 分
又由于 ,得 . 15 分
选择② 的中线 长为 3 :
12 分
又由于 ,得 . 15 分
选择③ 成 等差数列:
,又由于 ,得 . 15 分
17.如图，在三棱锥 中， 是棱 的中点， ， 是边长为 2 的正三角形，平面 平面 .
(1)证明: ；
(2)点 满足 ，且 平面 ，
(i) 求 的值；
(ii) 求直线 与平面 所成角的正弦值.
【解析】
( 1 )・・在正三角形 ABC 中，D 是棱 AB 的中点，
平面 平面 面 ， 3 分
又 6 分
(2) (i) 法 1.综合法
共面,
延长 交于点 ,连接 平面 ,面 面 ,
为 中点,
,即 10 分
法 2.坐标法
由(1)可知 面 ，以 为坐标原点，
分别以 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系
,
设面 的法向量为 ， ，得
平面 . 10 分
(ii) 由 (i) 可得平面 的法向量 ,又 ,
设直线 与平面 所成角为 ,
则 15分
18.已知椭圆 ,动点 在抛物线 上,过点 作椭圆的两条切线分别交抛物线于不同的两点 .
(1)求椭圆 的焦距；
(2)若切线 与椭圆的切点恰好是 的中点，求直线 的方程；
(3)证明:直线 经过定点，并写出定点坐标.
【解析】(1) 由题意, , 3 分
焦距 4 分
( 2 )设直线 ，切点为
由 得 得 6分
则
又由 得 , 8 分
或 ,
直线 的方程为 或 10 分
(3)
直线 的方程为
通分化简得 12 分
将直线 方程与椭圆联立,得 ,
由相切得判别式
化简整理得 14 分
同理
因此 是关于 的方程 的两根
故由韦达定理知
而与(2)同理得直线 的方程为 ，
故 即直线 经过定点 ,证毕. 17 分
19.已知 是实数，函数 ，其中 是自然对数的底数.
(1)当 时，讨论 的单调区间；
(2)若对任意的 ， 均有极小值点 ，且 ，求实数 的取值范围；
(3)若方程 有两个根 ，当 取最小值时，求 的值.
【解析】( 1 ) ， 2 分
当 时, ,故 单调递增;
当 时,令 ,解得 ,
故 在 单调递减,在 单调递增. 4 分
(2)当 时，
当 时, ,故 单调递减,故 不可能有极小值点; 5 分
当 时, 在 单调递减,在 单调递增.
因此 均有极小值点 ,且 , 7 分
令 ,故对任意的 . ,
故 在 上单调递增,在 单调递减, ,且 时, ; 时, 的图像如图, 故 恒成立,故 . 10 分
(3)方程 有两个根 ，
由(2)可知 ，否则 单调，不可能有两个根， 11 分
方程 有两个根 等价于 有两个根 ,
令 ,由 ; 当 ;
当 ,故可知 . 12 分
记 ,上式等价于 有两个根 ,
两式相减可得 ,记 ,
故上式可写成 ,故 ,
又 代入 得 , 14 分
令 ,
故 ,令 ,故 , 故 是单调递增,要求 的最小值,就是求 的最小值. 15 分
下面考虑 的最小值.
,令 ,
当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减;
故存在 使得 ,即 ,
所以 时, 单调递减; 时, 单调递增; 故 ,即 时, 取最小值. 16 分
故 . 17 分发病
未发病
合计
使用药物
5
45
50
未使用药物
25
25
50
合计
30
70
100